第一章习题答案

机械振动基础

习 题

1-1 一物体放在水平台面上，当台面沿竖直方向作频率为5Hz的简谐振动时，要使物体不

跳离台面，试问对台面的振幅有何限制？ 解：物体做简谐运动，设系统运动方程为：

u(t)?asin(?t??)

对物体分离作受力分析: ??(t)?mg?Fs mu要使物体不条离台面，要求Fs?0，即： ??(t)?mg mu??(t)max?a?2 也就是g?u?a?g?2?g4?f2?0.0099m

1-2 求简谐运动u1(t)?5cos40t和u2(t)?3cos39t合成运动的最大振幅与最小振幅，并求其

拍频和周期。 解：最大振幅为8

最大振幅为2 拍频为40?39?1Hz 周期为2? 1-3 写出图示系统的等效刚度表达式。当m?2.5kg，k1?k2?2?105N/m，k3?3?105N/m时，求系统的固有频率。 k1k3umk2题1-3图 解：系统等效刚度为： ke?(k1?k2)k3?1.7?105Nm k1?k2?k3 系统的固有频率为： ?n?ke?260.77rad/s m1-4 图中简支梁长l?4m、抗弯刚度EI?196且k?4.9?105N/m，m?400kg。.?106Nm2，

分别求图示两种系统的固有频率。

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第1章 单自由度系统的振动

2lmk2l2l2lkm题1-4图

解：简支梁的等效刚度 ke?48EI?14.7?105Nm 3l左图系统等效于弹簧并联：

k1?k?ke?19.6?105Nm

系统固有频率为：

?n?k1?70rad/s mkke?3.68Nm k?kek2?30.3rad/s m右图系统等效于弹簧串联：

k2?系统固有频率为： ?n?1-5 钢索的刚度为4?105N/m，绕过定滑轮吊着质量为1000kg的物体以匀速0.5m/s下

降。若钢索突然卡住，求钢索内的最大张力。 解：此问题等效于单自由度无阻尼系统的自由振动

k?20rad/s m?(0)?0.5ms 初始条件是：u(0)?0,u 固有频率?n?则系统的振幅a?u(0)?2?2(0)u?n2?0.025

4故由振动引起的最大动张力T?T1?T2?mg?ka?2?10N

1-6 图示重物挂在弹簧上使弹簧静变形为?s。现重新将重物挂在未变形弹簧的下端，并给

?0，求重物的位移响应和从开始运动到它首次通过平衡位置的时间。 予向上的初速度u50

机械振动基础 ku0m?su 题1-6图 解：系统的固有频率为

?n?kg ?m?s?(0)??u?0 初始条件是：U(0)???s,U 则系统的振幅a?u(0)?2?2(0)u?n2

初相位??artg????u0??? ?u?0? 那么系统的位移响应为u(t)?asin(?t??) 系统首次经过平衡位置，也即u(t)?0，于是有： t???u0?????g????art?? ??g???????s??u0??1-7 证明对于临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。

证明：??1时

u(t)?(a1?a2t)e 式中e??nt-?nt

?0，而a1?a2t单调，故对任意a1,a2，也即任意初始条件u(t)至

多 有一次过平衡位置；

??1时

u(t)?a1e2???????1???nt???a2e2???????1???nt??

?e2???????1???nt???????2???ae?1??2?1???nt??

?a2???51

第1章 单自由度系统的振动

式中e2???????1???nt???0，而a1e2?nt?2?1?a2单调，故对任意a1,a2，也即任意

初

始条件u(t)至多有一次过平衡位置；

1-8 一单自由度阻尼系统，m?10kg 时，弹簧静伸长?s?001.m。自由振动20个循环后，

振幅从64.?10?3m降至16.?10?3m。求阻尼系数c及20个循环内阻尼力所耗能量。 解：静平衡时：

mg?k?s k?10N/m 系统固有频率?n?4kg??31.6rad/s m?s 自由振动20个循环有：

A164?10?3 20??ln?ln?ln4 ?3A2016?10 此时??0.0729

又??2??，c?2m?n?

则c?m?n?/??10?31.6?0.0792/3.14?7.97N?ms 20个循环内阻尼力所耗能量 ?k?1212kAkA2?0.192J 1?221-9 已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为m?175.kg、k?7000N/m，求该系统

在零初始条件下被简谐力f(t)?52.5sin(10t?30o)N激发的响应。 解：系统的运动方程为：

mu(t)?ku(t)?f(?t??)

?(0)?0 初始条件是：u(0)?0,u令方程特解为：u(t)?Bdsin(?t??) 其中Bd??f0(k?m?)?(c?)222

由零初始条件知齐次方程解为零 系统的激发响应为：

u?(t)?f052.500sin(?t??)?sin(10t?30)?0.01sin(10t?30)22k?m?7000?17.5?10

1-10 质量为100kg的机器安装在刚度k?9?104N/m和阻尼系数c?2.4?103Ns/m的隔

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机械振动基础

振器上，受铅垂方向激振力f(t)?90sin?tN作用而上下振动。求： (1) 当???n时的稳态振幅Bd； (2) 振幅具有最大值时的激振频率?； (3) max{Bd}与Bd之比值。

k90000??30rad/s m100c2400 ????0.4

2m?2?100?30 (1) 当???n时

f?90 Bd?0? ?1.25?10?3 (m) ???nc?2.4?1000?30解：?n? (2) 振幅最大时激振频率

???n1?2?2?30?1?2?0.42?24.7rad/s

max?Bd???B02?1??2f0(k?m?)?(c?)2222?nB02(?n??2)2?(2??n?)2 (3) 振幅最大时激振频率???n1?2?2

?

(1??2)2?(2??)2(1??2)2?(2?0.4?)2max?Bd???2B 2?1??2?0.4?1?0.42 d?1.36(1??2)2?0.64?2? 其中??

?n1-11 一质量为m的单自由度系统，经试验测出其阻尼自由振动频率为?d，在简谐激振力作

用下位移共振的激振频率为?。求系统的固有频率、阻尼系数和振幅对数衰减率。 解：位移共振时

???n1?2?2

222?d??2

又?d??n1?? 那么?n? 阻尼比c?2m?n?2m2?d??

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第1章 单自由度系统的振动 ?2?2?2??2?1?2 振幅对数衰减率??221???d1??2??mcll题1-12图 f0sin?tkl 1-12 图示系统中刚性杆质量不计，写出运动微分方程。并分别求出???n和???n/2时质量m的线位移幅值。 解：对绞支点取矩，系统的运动微分方程为 ml2??4cl2??9kl2??3lf0sin?t 由上式有固有频率?n?3k m2c

3mkf静力幅B0?

3kl阻尼比??又稳态振动振幅

Bd?2?nB0(???)?(2??n?)2?nB0l2n222

当???n时质量m的线位移幅值：

2?nB0lfmu?Bdl???

22222???4ck(?n??)?(2??n?)n当???n/2时质量m的线位移幅值：

u?Bdl?2?nB0l(???)?(2??n?)2n222?4mf81mk?4c2

1-13 一电机质量为22kg，转速为3000转/分，通过4个同样的弹簧对称地支承在基础上。

欲使传到基础上的力为偏心质量惯性力的10%，求每个弹簧的刚度系数。 解：系统运动微分方程为：

(?)t Mu(t)?ku?m2es?in t由上式可得系统的稳定振型为：

u?(t)?Bdsin(?t)

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机械振动基础

me?2 其中Bd?

k?M?22又kBd?0.1me?

?3000?2??22???M?260???1.97?105N/m

则k??1111'4每个弹簧的刚度系数k?k/4?4.93?10N/m

1-14 发动机的工作转速为1500～2000 转/分，要隔离发动机引起的电子设备90%以上的振

动，若不计阻尼，求隔振器在设备自重下的静变形?s。

解：隔振系统的固有频率

2?n?kg ?m?s系统绝对运动传递率

Td?11 ??2?1?2?12?n由以上两式

g?1??? 1?2????Td?1500?2?2000?2?又，即157.1???209.4 ???6060可得0.0025??s?0.0044

?s?1-15 为测量频率为5Hz的简谐运动，分别设计位移传感器和加速度传感器，并要求其误差

不超过10%。若取??0.707，问对传感器的固有频率有何限制？

解：由题意知加速度传感器测得的振幅应为实际的90％，即 ?d?1?1?????2???222?90 100

解得：??0.69 则要求?n??5??7.25?HZ? ?0.69 位移传感器测得的振幅应为实际的90％，即 ?d??2?1?????2???222?90 100 解得：??1.43

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第1章 单自由度系统的振动

则?n?

?5??3.5?HZ? ?1.43f( )tf00t1题1-16图

t2t

?(0)?u?0下的响应。1-16 单自由度无阻尼系统受图示力激励，求系统在初始条件u(0)?u0、u

解：系统的运动微分方程及初始条件为

mu(t)?ku(t)?f(t)

?(0)?u?0 u(0)?u0,u ? t 0 ?0 t? ? t?t1 f(t)??f0 t 0

?0 t 1 ? t ?单位脉冲响应函数为

h(t)?1sin?nt, t?0 m?n由Duhamel积分，求得系统响应函数 (1) 当t?t1时，系统的响应为自由响应 u(t)?u0cos?nt?u0?nsin?nt, 0?t?t1

(2) 当t1?t?t2时，系统的响应为

u(t)?u0cos?nt??t1tfu0u0sin?nt??0d???sin?n(t??)d??u0cos?nt?0sin?nt0t1m??n?nn

f0[1?cos?n(t?t1)]k (3) 当t?t2时，系统的响应为

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机械振动基础

t1t2ftu00u(t)?u0cos?nt?sin?nt??0d???sin?n(t??)d???0d?0t1m?t2?nn ?u0cos?nt?u0sin?nt?n

?f0[cos?n(t?t2)?cos?n(t?t1)]k ?(0)?u?0下的相对位移响应。 1-17 图示系统，基础有阶跃加速度a0，求系统在u(0)?u0、u

mukcv 题1-17图 解：质量m的运动方程为 mu(t)??k(u?v)?c(u?v) 令ur(t)?u(t)?v(t)，则有 mur(t)?cur(t)?kur(t)??mv(t)??ma0 ?(0)?u?0 初始条件为u(0)?u0,u零初始条件下，由Duhamel积分得：

*ur(t)???ma00t

a1???n(t??)esin?d(t??)d???0m?d?d?t0e???nt(??)sin?d(t??)d???a0?e???nt ?2?1?cos(?dt??)?2?n?1?????初始条件引起的响应为：

??u???nu0ur(t)?e???nt?u0cos?dt?0sin?dt?

?d??*则系统的相对响应位移为：ur(t)?ur(t)?ur(t)

1-18 单自由度无阻尼系统的初始条件为零，求其在图示外力作用下的响应。

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第1章 单自由度系统的振动

f( )tf0

0 解：系统的运动微分方程及初始条件为

mu(t)?ku(?)tf( )tt1题1-18图

t2t

?(0)?0 u(0)?0,u 激励的表达式为：

?f0 0?t?t1??f f(t)??0(?t?t2) t1?t?t2

?t2?t1??0 t?t2由Duhamel积分，求得系统响应函数 (2) 当t?t1时，系统的响应为

f01tfsi?nt?(?d?)??(1?cs) u(t)?0nnto ?0m?nk (2) 当t1?t?t2时，系统的响应为

1t11tf0u(t)?f0sin?n(t??)d??(???t2)sin?n(t??)d?m?n?0m?n?t1t2?t1

?f0?1?t1?nt?t2?1cos?(t?t)?sin?(t?t)?cos?t???n1n1nk?(t2?t1?n)(t2?t1?n)t2?t1?

(3) 当t?t2时，系统的响应为

u(t)?

1t11t2f0fsin?(t??)d??(???t2)sin?n(t??)d??00nm?n?0m?n?t1t2?t1?f?1 ?0?sin?(t?t)?sin?(t?t)?cos?t?n1n2?n?k?(t2?t1)?n?

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