俄罗斯教材《代数引论》的启迪(4)

俄罗斯教材《代数学引论》的启迪（初稿）

庄 瓦 金

（漳州师范学院，福建，363000）

二十年前，北京大学三位教授根据1982年斯普林格出版社的英文版翻译了莫斯科大学A.И.柯斯特利金院士的《代数学引论》[1，2]，使得国内同行们对俄罗斯高水平的代数教材有所认识。但鉴于中国国情，至今还没看到该书对中国大学本科代数教学有实质的影响。而今，在中国数学会、中国工业与应用数学学会、国家自然科学基金委员会的关注下，数学天元基金资助、高等教育出版社出版了庆祝莫斯科大学成立250周年而推出的一批优秀数学教材的中译本，其中有A.И.柯斯特利金的《代数学引论》（第二、三版）三卷本[3~5]（以下简称《引论》）。笔者看后，很受启发，现根据这几年来对高等代数研究的基础[17~23]，对《引论》作些思索，为提升中国大学本科代数教学水平奉献余力。

一 《引论》的特色

稍读[3~5]，笔者认为，A.И.柯斯特利金之著有以下四大特色。 1 继承性

[1]的英文版译者指出：A.И.柯斯特利金“发展了莫斯科大学的代数课”，这从《引论》著者经历就可以看出。A.И.柯斯特利金1959年获莫斯科大学数理科学博士学位，1972年任莫斯科大学高等代数教研室主任，1976年升为教授，同年当选为苏联科学院通讯院士，1977－1980任莫斯科大学数学系主任，1991年起为莫斯科大学学术委员会成员，他的《引论》理所当然地继承了А.Г.库洛什等老一辈代数学家的代数教材，这还从[3~5]的补充文献也得到进一步证实。

在注意《引论》继承自己前辈工作之时，我们注意到《引论》三卷本与N.Jacobson的《抽象代数学》三卷本[6]在分卷上的相似性，这也多少说明[3~5]继承了国际上代数教材的遗产，使得这三卷本能够更好地贯串一条主线。因此，《引论》的继承性不仅是莫斯科大学的，而且也包涵了全世界各著名大学的。

值得一提的是，[3~5]的俄文版，第二卷2004年出版，第三卷2001年出版，估计第一卷也是2001年出版，也就是说：这三卷本是在著者去世之后出版的。记得Φ.Ρ.甘特马赫尔的《矩阵论》俄文第二版也是在著者去世后出版的。看来，这里说的继承性是莫斯科学派集体继承性，这是多么伟大的继承性，它体现了俄罗斯数学家的优良品格。

2 整体性

《引论》的特色不仅在于教材的系统性，更在于教材的整体性。首先是代数科学的整体性，中国的高等代数与抽象代数两门课程，在[3~5]中则整合为一，使整个代数教材的水平提高了一个层次，让学生尽早接触抽象代数思想，推进了学生对代数结构的理解。这显然对于学生的整个数学学习大有好处。其次是数学课程的整体性，《引论》第一卷的前言一开头就写到：“人们很早就感到有必要把代数、线性代数和几何放到一个统一的教程中。而教科书《代数学引论》自出版后的22年来可以看作是这种统一处理的初步考试。”因此，《引论》突出了代数与几何的统一；同时也注意了与分析的联系，特别是注意到了线性代数的两大后继课程：计算数学与泛函分析，这不仅在教材中有交代，而且在基本术语上相一致，如“线性变换”称为“线性算子”。再次是数学语言的整体性，在[1]中，著者就注意了范畴论，在[4]中注意了范畴中的“态射”，这或许影响了丘维声在[7]中前言的用词。

3 权威性

《引论》的第一版译成英文，所加的译者序就显示其权威性，译者称A.И.柯斯特处金是“一位有献身精神且有成就的”，从[3~5]的著者简介：“主要从事李代数、有限群、非结合代数、上同调群、群和代数的组合理论、表示论、整数格的研究。1968年获苏联国家奖。”可见，柯斯特利金几乎涉及整个代数深刻领域的研究，从而保证了他作为莫斯科大学代数学科带头人的权威性，也保证了《引论》的权威性。这种权威除了著者的实力外，还有著者长达三十年的实践，还有著者继承莫斯科大学250年的传统。因此，这种权威是世界的，因而《引论》已译成英文、保加利亚文、西班牙文、波兰文、法文、中文。作为大学本科

教材，没有这种权威性，是不可能有如此多种译本的。

4 先进性

《引论》第一卷的前言中，对第三卷有个说明：这里的代数属初等水平，但充分包含了当代每个数学家所需的代数系统。因此可以猜想：《引论》是以培养数学家为目标的。这在以后的各卷中都有明确的表露。在第一卷的第一章“代数的起源”中，在对高斯消元法作注时，提及了1969年的施特拉辛的研究，为第二卷的待解问题：施特拉辛问题作了伏笔。第一章§7的例1是费马猜想，点出了费马数的最新成果F1945；例2是欧拉研究的一个多项式：形如n2?n+41

?n??n??n?的数；§7的最后的例子是“给定圆周上任意n个点，确定由?条弦划分的圆内的区域数R=1+??n?2??2??+??4??，

??????则留给读者完成。由此可见，《引论》在阐述代数起源时就把人们带进了解决数学难题的王国，为贯彻培

养数学家的宗旨打下基础。

再看《引论》各卷之末，第一卷是“关于多项式的公开问题”，第二卷是“有待解决的问题”，第三卷是“未解决的问题”，都充分体现了《引论》培养数学家的宗旨。当然，《引论》没有直接这么说，但在序言中明确写到：“教科书应当成为创造性思维的推动力”。著者就是围绕某些基本问题刻意安排大量习题，并与这些猜想相串通，以培养学生的创造性思维，为未来的数学家增进数学素质的。再加上教材内容之深刻，将之综合，充分地体现了《引论》的先进性，与欧美教材相比较，这种先进性也是世界的。

二 中国的矛盾

为了从《引论》中吸收营养，这里不得不面对我们之现实。 1 文革冲击

中国的大学本科代数课程，文化大革命以前主要是高等代数，近世代数在一般高校仅选修张禾瑞著的《近世代数基础》；五十年代高代讲的是A.?.库洛什《高等代数教程》的内容；五、六十年代之交以来，由于苏联第一颗人造地球卫星上天的影响[8

，9]

，吉林大学、北京大学、复旦大学、南京大学、武汉大学、

北京师大都编著出版了高代教材，中国的高等代数教材基本上与国际接轨，尤其是王湘浩、谢邦杰两先生的《高等代数》，应该说已达到较高水平，特别是1964年的修订本[10]，与A.И.柯斯特利金的三卷本的前两卷，存在着一定相似性。[10]有阐述群、环、域概念的第七章，因而接下阐述了域上向量空间及其线性变换的一般理论。为了使书中前面阐述的矩阵、多项式内容对于域上情形也适用，[10]还在第七章§4介绍域的特征之后用两页的篇幅回顾了“关于矩阵、行列式、线性方程组以及多项式的一般理论”，这与[3]第四章§3.6的“关于线性方程组的注记”是多么的吻合。我们设想，中国的《高等代数》教材如果能在20世纪六十年代[10]的基础上巩固、发展，或许其水平也可剂身于世界之列。但是，1966年的文化大革命，高等学校受到严重冲击，抽象的数学更是受到了严重冲击，《高等代数》几乎处于消失状态。不仅如此，文革还制造了数学家之间的隔核，大大削弱了集体攻关的力量。1977年恢复高考以来，《高等代数》才从死亡中复活，元气至今难以复原。

2 市场冲击

“学好数理化，走遍天下都不怕”，这是文化大革命以前人们的口头语，可时下，在市场经济的冲击下，已消失得无影无踪，每年大学招生，不仅高考状元无一人学习数业专业，而且连数学奥赛的优胜者也基本不念数学专业，新生质量较文革前大为下降，而且女生人数的比例在逐年增加。市场经济的冲击还远不止于此。如教材、教学参考书，我们统计了1977以来出版的46种带上高等代数帽子的各种图书，习题解答类竞多达一半，而教科书性质者，大多类同，较高水平又方便学生学习的是很少很少。因此，学生基本上停滞在单一的教材上苦学，难以提高自身的学习能力。更不少学生成了习题解答的奴隶，这样一门着力培养学生创造思维能力的课程竞有不少学生在背习题解答、应付考试，年复一年的这样高师数学毕业生到中学任教，请大家想想，这对于中国后代的数学教育有多么大的危害？！

有个名牌大学教授，在国内著名出版社出了一套高代教材，还被评为国家级名师。后来由于年龄原因，他不上高代课了，这套教材在该校也不用了，其他学校充其量是作作教学参考书，于是，他在另一个出版

社出的学习指导书，上册已出版多年，可下册市面上还没看到，看来这位教授感到，这么好的教材人家都不用了，学习指导书还有什么出版的价值！市场的冲击还稳函着人为的因素。一个小学老师去教经商，开了一家学生书店，专营中小学教参，可现在挂上××出版社华南片主管，工资、福利、医保比我们在座的每个教授还优，可他还有书店的收入！中国式的市场经济已严重冲击大学教学，抽象的高等代数又如何是好？

3 体制之疑

上面例子已涉及大学体制。熊丙奇先生在《教育熊视》[11]中有个标题：“大学最深刻的危机：体制化”，“官”太让人无可奈何！：有个代数教授，他的老师好不容易争取到一个出国名额，使他有机会跟一位国际代数名家读硕、读博、做博士后，回国后不久就评上教授，学校对他也十分关照，但中国的气候毕竟与欧美有异，他深知，要在国内为先，在国内一级刊物发文是自然之事，可他投这些一级刊的文章老是被退回，因此就查起审稿人的为人来了，但得到的答复是中国代数老前辈们为人极佳。于是，随着时间的流失，他想当 “院士”的雄心消失了，因而寻找机会，利用民主党派参政人才之缺，离开学校去当个副厅长，这种还算真才实学者的当官之路，钻体制的漏洞，一步步走上大学领导，利用手中的权力打扮自己，为数也不少，且党内居多，而且反转过来，欺压你这些教授，你们又怎么样？！这种现状怎不引起人们的关注！

中国实施经济改革，可教育不然。教育是在教育部的主导下进行的改革，体制问题左右一切，例如教材，鼓励老师积极性，可本科评估，教材认定的是姓“高”，像北大代数小组的《高等代数》，编著者都不好意思，第三版时加了“王萼芳、石生明修订”，可人们只认是高等教育出版社出版，不管北京大学的现实情况如何，不少学校仍然把它认定为首选教材，考研用书！在这样的体制下，丘维声退位，蓝以中日子也有担忧。前几天，蓝先生通过北大出版社理学部主任给我寄来了他的新著《高等代数学习指南》[12]，这是一本编著目的正确、阐述简洁、方便学习阅读并达到一定深广度的学习指导书，加上国家首批精品课程、北京大学的牌子，可在当今体制下，对市场、消路还是有担心。

4 环境混沌

上述表明，在当今体制下，环境受污染，已处于混沌。这类混沌的深广度如何？我们不仿来看看教育部抓的质量工程吧！此下，四年一次的“教学成果奖”评选，每年评定的“教学名师”、“精品课程”、“教学团队”，花样不少，名堂也应有尽有！我还当省政协委员时，针对其中的“名堂”曾写了个提案，教育厅可热情啊，连处长都来电话，以示重视。其中，关键的建议是各种评优应有“答辩”环节，厅里也同意了，可至今未见实施。原因何在？五颜六色，色彩交混。就说“教学成果奖”，既无发表正式论文，又无实际成果推广应用，单凭几个人七措八拼，整理出一篇“综述”，竟然可以评上省教学成果一等奖。最近试行“成果鉴定”，用一个鉴定专家的话说：问题不少(指所谓成果)，可在纸上这些都不会写，因而结论是很漂亮的。有了教学成果一等奖，随之带来的好处有“教学名师”、所“主持”的课程是省精品课程(从来不上这门课)。而且还上了政府特殊津贴，有一个获奖者，政府特殊津贴十几年前就报，可以说是纷了十几年，是评上了教学成果一等奖(其实他搞的是倒退教学)后才拿到津贴。如果能把所有获省教学成果奖的申报书及附件都在网上公开供人们浏览评议，我看有意思的东西一定不少！

至于“教学名师”，不上课、少上课的领导更容易上，只要他想评。而“精品课程”，网评为主，学校的网页慢点，你再好也没用；且单看网页，只要有钱、有权，我可以抄袭，可以找人做得漂漂亮亮的，还拍上不了？！因此，网评的材料必须是独立自主的，否则是在鼓励抄袭，其害无穷！

环境混沌，说到底是体制问题，教师在学校的地位。有个学校本科质量评审刚过不日，请来了一位名校校长报告，参加者是全校行政人员和副教授以上老师，人们不尽要问题：我们广大的青年教师(其中大多至少是硕士毕业生)，还不如临时工性质的行政人员吗？！政治上的歧视，还何以调动广大教师的教学积极性？高校是政客们主持的，危险！

三 《引论》的启示

在困难面前，中国人是有骨气的。陈省身先生生前曾倡导中国数学科学在21世纪率先赶上世界先进水平，为此，大学本科数学主干基础课教学任重而道远。下面结合《引论》的启示，说四点想法。

1 解放思想 提升水平

可能有人会说，高代难学，还要什么解放思想，提升水平？现在应该是实事求是！不错，实事求是本身就是解放思想。前面已说到王湘浩、谢邦杰两先生1964年的修订本[10]，这就是实事求是，水平比现在高。再看许以超先生文革前在北京大学、中国科技大学授课基础上的《代数学引论》[13]，其背景类似于A.И.柯斯特利金的[3~5]，但许先生的书只实践5年，而柯斯特利金的书至少实践22年，如果从他当教研室主任算起有30年(请注意，从他博士毕业到任教研室主任中间又有13年)。因此，只要不发生文化大革命，许先生的[13]将更为人爱，未必在[3~5]之下。万哲先院士的新著值得国人关注[14]。从[14]的序言可以看出，万先生的工作条件是一般的，特别是教学实践条件是缺乏的，如果有几所名牌大学能向万先生提供实践合作条件，[14]在独具特色的同时必将有更佳的深广度。[10，13，14]表明，中国有非常好代数名家与教材，关键是我们的体制如何去创造条件，让其顺利发展，提升水平。因此，解放思想十分必要，特别是解放广大教授的思想，让他们在教学第一线有真正发言权，有教育创新的和谐环境(包括教授离退休的年龄限制)。

中国地方大、发展不平衡。因此，解放思想，应该是国家一流大学先行，向《引论》学习把培养目标锁定为培养高水平数学家，探索《引论》的内容、处理方法有哪些适合中国国情，编著有别于大众化的较高水平的高代教材(北大[15]、清华[16]似乎已有所行动)。此外，一流大学的主干基础课应有院士级的带头人，其培养在自然状态下也是一件难事；一流大学的硕士研究生招生命题也应跟上，考出技巧、考出难度、考出特色。

至于一般大学的本科数学教学，大部分学生毕业后将要到中学任教，当然无法跟一流大学走。但也应该解放思想，在面向全体学生的同时注意提升自己的水平，注意有逐年增加的考上硕士研究生的学生，而高代教材，吸纳[10]，酌情吸纳[3~5]，适用的优秀教材，也应该摆上教改规划，争取早日面市。

2 整体谋划 协力实践

美国有个《美国国家线性代数课程研究小组》，隶属于国际线性代数学会。中国数学会下面有教育工作委员会，是否也应承担高校数学主干基础课改革的指导、组织工作？！教育部还有教材评审组这样的构建，这是否能与数学会合力起来？因此，我建议构建全国性的高等代数教学研讨会，在此会议形式下形成组织领导学术班子(这当然是民间性质的)。这样，除了会上有高水平的研究报告、研究成果外，各个高校，首先是名牌大学有自己或合作的教材改革计划与实践成果；一般高校在全国大形势下也有结合自己实际的计划与实践。

因此，体制也应相应跟上。高校质量工程有不少钱，教育部、各省应当增设优秀教材、教学参考书出版基金，高等教育出版社应划出一些书号，用于高校主干基础课的专列出版，如“精品课程教材系列”。

3 突出主线 加宽认知

前面说的两点是宏观上的认识，下面说两点具体的认知。主线问题在[15，18]中已有阐述，说了就是当然不是科学的态度，还得有争论。最近一本“降低知识起点，加大教材使用弹性”的厚书[24]认为“矩阵??是线性代数的一条主线”。如果是工科高代，我看是可以商量的，但作为理科数学各专业的高等代数，鉴于学生在本科学习中必须认知20世纪抽象代数的概念、结构和方法，高代中应重视代数运算、代数结构的教学，以向量空间及其线性算子作为线性代数教学主线应该是顺理成章之事，至于各章教材的编排当然可以有异，提倡百家共存。

讲授要突出重点、重视难点分析，但认知量不宜减，酌情加宽基础理论的知识面，如相抵标准形的应用，矩阵广义逆例讲、多项式根的分布，商空间，对偶空间，共轭变换，正交空间，辛空间，张量的概念。当然还可点讲一些，让学生多知道些背景与知识，特别是向优生介绍高水平的教材、教学参考书以及后继课程的教材、专著，乃至国外名著，我在大学年代就看了不少国外代数名著，其基础就得益于这些名著。

4 夯实基础，提高优生

一门主干基础课的教学，面上的控制很重要，但是极其不容易，高代教了三十余年，自己感到这个控制真正做得好的才是过去的一年。这个控制有两点，一是夯实全体学生的基础，让学生兴趣学习高代，看学生考试成绩如何？我上学年教两个教学班，有差异，但总的优生数较多，没有一定数量的优生数，夯实基础是一句空话。补考学生数也是夯实基础的重要指标，上学年两个教学班第一学期共二人补考，第二学

期只一人补考，为历史上最少，试卷已挂在网上，大家可以查查看。要做到此，平时教学要抓实，比如计算，反复向学生强调作业要独立完成，计算须自己一步一步去演算，否则考试是无处可抄的(不会出数据在书上的试题)。抓实教学，要了解差生，引导差生在平时学习中转变。二是提高优生的质量和数量，我院数学专业学生报考外校硕士研究生，高代成绩一般都考得较满意，有些学生就是靠高代高分才上总分线的，这也说明我院的高代教学是保证质量的。但也有人说：报漳州师院数学，高代成绩过关的不多，说明高代教学有问题，我看恰恰说明我们是重视质量，没有问题。

综上所述，《引论》给我们的启迪是质量、水平，作为一门主干基础课，要高质量、上水平，就必须有更多人的长期合作与努力。上述的发言或许是不合时宜的，请大家指正。

参 考 文 献

[1]A.И.柯斯特利金．代数学引论(上册)[M]．北京：高等教育出版社，1988． [2]A.И.柯斯特利金．代数学引论(下册)[M]．北京：高等教育出版社，1988．

[3]A.И.柯斯特利金．代数学引论(第一卷)，基础代数[M]．北京：高等教育出版社，2006． [4]A.И.柯斯特利金．代数学引论(第二卷)，线性代数[M]．北京：高等教育出版社，2008． [5]A.И.柯斯特利金．代数学引论(第三卷)，基本结构[M]．北京：高等教育出版社，2008．

[6]N.贾柯勃逊．抽象代数学，卷1，基本概念[M]，北京：科学出版社，1960；卷2，线性代数[M]，北京：科学出版社，1960；卷3，域论及伽罗瓦理论[M]，北京：科学出版社，1987．

[7]丘维声．高等代数学习指导书(上册)[M]，北京：清华大学出版社，2005． [8]N.贾柯勃逊。基础代数(第一卷第一分册)[M]．北京：高等教育出版社，1987．

[9]美国国家研究委员会．人人关心数学教育的未来[M]．北京：世界图书出版公司，1993． [10]王湘浩、谢邦杰．高等代数(1964年修订本)[M]，北京：人民教育出版社，1964． [11]熊丙奇．教育熊视——中国教育民间观察[M]．上海：东方出版中心，2008． [12]蓝以中．高等代数学习指南[M]．北京：北京大学出版社，2008． [13]许以超．代数学引论[M]．上海：上海科学技术出版社，1966． [14]万哲先．代数导引[M]．北京：科学出版社，2004．

[15]蓝以中．高等代数简明教程(上册，下册)(第二版)[M]．北京：北京大学出版社，2007． [16]张贤科，许甫华．高等代数学(第二版)[M]．北京：清华大学出版社，2004．

[17]庄瓦金．跨世纪高等代数教材改革的思考与实践[J]．数学教育学报，10(2) (2001)，80－83． [18]庄瓦金．三十年来中国《高等代数》教材(教学)之管见[J]．数学教育学报(将发表)．

[19]庄瓦金．重视教书育人 加强学法指导—高师《高等代数》素质教育的认识与实践之一[J]．福建高教研究，1997.4，46－48．

[20]庄瓦金．面向全体学生 优化课程教学—高师《高等代数》素质教育的认识与实践之二[J]．福建高教研究，1997.5，68－70．

[21]庄瓦金．突出主体地位 实践教育创新—高师《高等代数》素质教育的认识与实践之三[J]．漳州师院学报(自然科学版)，16(3)(2003)，88—92．

[22]庄瓦金．明确价值，潜心攻难—关于《高等代数》整体数学的研究[J]．漳州师院学报(自)(将发表)． [23]庄瓦金．突出代数体性，加强内在联系—从相似标准形谈起[J](将发表) ． [24]邱 森．高等代数[M]．武汉：武汉大学出版社，2008．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/78j7.html