状态空间分析法

第二章 状态空间分析法

2－1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程

任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组(一个或多个)独立的状态变量来描述。

设系统有n个状态变量x1，x2，…，xn，它们都是时间t的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由x1，x2，…，xn为轴的n维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:

X = (x1，x2，…，xn)T

X称作系统的状态向量。

设系统的控制输入为：u1，u2，...，ur，它们也是时间t的函数。记：

U = (u1，u2，...，ur)T

那么表示系统状态变量X(t)随系统输入U(t)以及时间t变化的规律的方程就是控制系统的状态方程，如式（2－1）所示。

………………………………………………………

………（2－1）

其中 F = (f1，f2，...，fn)T 是一个函数矢量。

设系统的输出变量为y1，y2，...，ym，则Y = (y1，y2，...，ym)称为系统的输出向量。表示输出变量Y(t)与系统状态变量X(t)、系统输入U(t)以及时间t的关系的方程就称作系统的输出方程，如式2－2所示。

T

………………………………………………

…………. (2－2)

其中 G = (g1，g2，...，gm)T 是一个函数矢量。

在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。 根据函数向量F和G的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种：

? ? ?

线性定常(时不变)系统（LTI-Linear Time Invariant）； 线性不定常(时变)系统；

非线性定常系统； ? 非线性时变系统。

在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。这时，系统的动态方程可以表示如下：

…………

….（2－3）

……………

…（2－4）

写成矢量形式为：

………………………………………………………………………

……（2－5）

上式中，Anxn称为系统矩阵，Bnxr称为输入(或控制)矩阵。A由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而B则主要体现了系统输入的施加情况。

Cmxn矩阵称为输出矩阵，它表达了输出变量与状态变量之间的关系，Dmxr矩阵称为直接转移矩阵，表示了控制向量U直接转移到输出变量Y的转移关系。一般控制系统中，通常情况D=0。

将（2-5）式表示的系统动态方程用方块图表示为如图2-1所示。系统有两个前向通道和一个状态反馈回路组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接转移。

图2－1 系统动态方程的方块图结构

2－2 建立实际物理系统的动态方程

一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等。要研究它们，一般先要建立其运动的数学模型（微分方程(组)、传递函数、动态方程等）。根据具体

系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，并利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定律等，即可建立系统的动态方程模型。

[例2-1] 机械平移系统 如图2-2为一加速度仪的原理结构图。它可以指示出其壳体相对于惯性空间（如地球）的加速度。

设:

xi 为壳体相对于惯性空间的位移;

x0 为质量m相对于惯性空间的位移;

y= xi - x0 为质量m相对于壳体的位移.

根据牛顿第二定律，这个系统的运动方程为:

将 x0 = xi- y代入,我们就可以得到关于加速度仪以变量y为输出的微分方程:

以质量m相对于壳体的位移y作为状态变量x1，m相对于壳体的速度为状态变量x2，并将质量m相对于加速度仪外壳的位移y作为系统输出，以加速度仪外壳相对于地面的加速度

作为系统输入u，那么有：

写成矢量形式为：

…………………………………

……（2－6）

这就是图2-2所示加速度仪的动态方程。

当加速度为常数，且系统达到稳定状况时，有：

所以我们可以通过y的读数，确定运动物体的加速度值。

【例2-2】 RLC电路如图2-3所示. 以ei作为系统的控制输入u(t)，eo作为系统输出y(t)。建立系统的动态方程。

该R-L-C电路有两个独立的储能元件L和C，我们可以取电容C两端电压和流过电感L的电流i作为系统的两个状态变量，分别记作x1和x2。根据基尔霍夫电压定律和R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：

整理得：

写成矢量形式为：

…………………………………………………

………（2－7）

这就是如图2-3所示RLC电网络的动态方程。

【例2-3】 电枢控制式电机控制系统如图2-4所示. 其中R、L和i(t)分别为电枢回路的内阻、内感和电流，u(t)为电枢回路的控制电压，Kt为电动机的力矩系数，Kb为电动机的反电动势系数。

根据电机原理，电机转动时，将产生反电势eb，其大小为：

eb=Kb*ω

在磁场强度不变的情况下，电动机产生的力矩T与电枢回路的电流成正比，即：

T=Kt*i(t)

根据基尔霍夫电压定律，电枢回路有下列关系：

对电机转轴，根据牛顿定律，有：

取电枢回路电流i(t)、电机轴转角θ及其角速度ω为系统的三个状态变量x1、x2、x3，取电机轴转角θ为系统输出，电枢控制电压u(t)为系统输入，我们有：

写成矢量形式为：

………………………………………………

…….（2－8）

【例2-4】 多输入多输出系统（MIMO） 如图2-5所示机械系统,质量m1，m2各受到f1，f2的作用，其相对静平衡位置的位移分别为x1，x2。

根据牛顿定律，分别对m1，m2进行受力分析，我们有：

取x1、x2、v1、v2为系统四个状态变量x1、x2、x3、x4，f1(t)、f2(t)为系统两个控制输入u1(t)、u2(t)，则有状态方程：

如果取x1、x2为系统的两个输出，即：

写成矢量形式，得系统的动态方程为：

……………………

…………（2-9）

2－3 由控制系统的方块图求系统动态方程

系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。

要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成： 第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、比例器（k）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。

第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dxi/dt。

第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。

【例2-5】某控制系统的方块图如图2－6（a）所示，试求出其动态方程。

(a)

(b)

图2－6 系统方块图

解：

该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。

图2－6（a）所示方块图经等效变换后如图2－6（b）所示。我们取每个积分器的输出端信号为状态变量x1和x2，积分器的输入端即态方程：

和

。从图可得系统状

取y为系统输出，输出方程为：

写成矢量形式，我们得到系统动态方程：

………………………………………………

(2－10)

【例2-6】 求如图2－7（a）所示系统的动态方程。

图 2－7（a）系统方块图

图2－7（b）第一次等效变换

图2－7（c）由标准积分器组成的等效方块图

解：

图2-7（a）中第一个环节可以分解为，即分解为两个通道，

如图2－7（b）左侧点划线所框部分。第三个环节为一个二阶振荡环节，它可以等效变换为如图2－7（b）右侧双点划线所框部分。

进一步，我们可以得到图2－7（c）所示的由标准积分器组成的等效方块图。

依次取各个积分器的输出端信号为系统状态变量x1、x2、x3、x4，由图2－7（c）可得系统状态方程：

由图可知，系统输出y =x1。 写成矢量形式，得到系统动态方程：

……………………………………………

…（2－11）

2－4 由系统的微分方程或传递函数求其动态方程

从经典控制理论中知道，任何一个线性系统都可以用下列线性微分方程表示：

……………………（2

－12）

其传递函数就是输出信号y(t)的Laplace变换Y(S)与输入信号u(t)的Laplace变换U(S)之比，其形式为如下S的有理分式：

………………………(2

－13)

（2－12）与（2－13）表示同一系统，只不过前者在时间域上表示，后者在复域S上表示。上式中，mn时称非正常型，这是不能实现的系统，所以我们一般假定m≤n。

由系统的传递函数求其状态方程的过程称为系统的实现问题，因为传递函数只是表达了系统输出与输入的关系，却没有表明系统内部的结构，而状态空间表达式

却可以完整的表明系统内部的结构，有了系统的状态空间表达式，就可以唯一地模拟实现该系统。系统的实现是非唯一的，这个问题将在2－5节详细说明。 系统的实现一般有直接法，串联法和并联法三种。

2－4－1 系统实现的直接法

不失一般性，我们假设m=n,则（2－13）式可以写成:

………………

…（2－14）

其中：令：

（i=0,1…n-1）

………………………………………………（2－

15）

则代入（2－14）得：

……………………………………………………………………

（2－16）

(2-15)式代表的子系统是一个严格正常型系统，其实现可如下进行：

引入新变量Y1(S)，并且令：

………………………………………………

…… (2－17)

则由（2－15）式：

……………………………………………

…… (2－18)

将上述二式分别作拉氏反变换，得：

…………………………………………

…（2－19）

………………………………

…（2－20）

选择状态变量如下：

………………………………………………………………

……（2－21）

即：

关于

，由（2－19）可得：

所以得系统状态方程为：

……………………………………

……（2－22）

至于系统的输出y，由（2－16）作拉氏反变换，并将（2－20）代入，可得：

………………………………………

…（2－23）

将（2－22）和（2－23）写成矢量形式，得系统（2－13）的动态方程：

………………………………

……（2－24）

式（2－24）所代表的系统实现的结构图如图2－8所示。这种系统的实现称作可控型（I型）实现，关于可控型我们将在后续章节介绍。

注意：当（2－12）式中m

直接可以从传递函数的分子、分母多项式的系数写出。当（2-12）式中m=0，即系统没有零点时，上述实现方法中，系统状态变量就是输出变量的各阶导数y、y、…、y

(0)

(1)

(n-1)

。在通常的低阶物理系统中，上述各状态变量的物理意义非常

明确，如位移、速度、加速度。

图2－8 传递函数的直接法实现

2－4－2 利用MATLAB求系统的直接实现

MATLAB中有一个函数tf2ss，它实现系统传递函数（Transfer Function）到系统状态空间(State Space)表达式的转换实现，实现的形式即如图2－8所示形式，只不过将图2－8中的状态变量的下标次序颠倒一下，即：

矢量形式为：

………………………………………

……（2－25）

【例2－7】利用直接法实现下列传递函数，并试用MATLAB求解。

解：

由（2－14）式，得：

（实际上因为m

所以由式（2－24）可得系统的直接法实现为：

用MATLAB语言求系统实现，可用下列语句求解

%Example 2-7

num=[2,6]; %G(s)的分子多项式系数

den=[1,4,5,2]; ％G(s)的分母多项式系数

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) %求状态空间表达式

end

运行结果为：

D＝0

2－4－3 传递函数的串联实现

式（2－13）所示传递函数为两多项式相除形式，分子多项式（Numerator）为

分母多项式（Denomirator）

如果为G(s)的m个零点，为G（s）的n个极点，那

么G(s)可以表示为：

………………………………

…（2－26）

所以系统的实现可以由

如图2－9（a）所示。对第一个环节，由于：

共n个环节串联而成，

其结构图可以是如图2－9（b）中虚框表示。其他环节可类似地等效变换，所以可以得图2－9（b）所示的只有标准积分器和比例器、综合器组成的等效方块图。根据2－3节所述方法，我们令各个积分器的输出为系统状态变量，则得系统状态方程为：

写成矢量形式为：

………………………

…（2－27）

(a)

(b) (m=n-1)

图2－9 串联实现结构图

【例2－8】 已知 解：

，求串联实现

其串联实现结构如图2－10所示。

图2－10 串联实现结构图

从图可知:

矢量形式为：

………（2－28）

2－4－4 传递函数的并联实现 系统传递函数

………………………………………

（）

其中

个不等的特征根（

为系统的特征方程。当Den(s)=0有n

）时，G(s)可以分解为n个分式之和，即：

(2－29）

其中，称作系统对应极点pi的留数。

根据（2－29）式，我们有：

上式可以用如图2－11所示的并联方式实现。

(a)

(b)

图2－11并联实现(无重根)

从图2－11（b）我们可得系统的状态方程：

输出方程为：

写成矢量形式为：

……………………………………………

…………（2－30）

请注意，这里的系统矩阵A为一标准的对角型。

当上述G(s)的分母Den(s)=0有重根时，不失一般性，假设：

即为q重根，其它为单根。这时G(S)可以分解为：

……………………………………………（2－31）

其中： i =1,2,…,q

j=q+1,q+2,…,n

由（2－31）式可知：

…

…（2－32）

（2－32）式可以用图2－12所示方块图表示。

取图2－12中每个积分器输出为状态变量，如图所示，则有：

矢量形式为：

注意这里的A为一约旦标准型。关于约当标准型，请参见2－5－3节。

图2－12 并联实现（有重根）

【例2－9】求下列传递函数的并联实现

解：分母各项多项式分解可得，所以：

所以系统并联实现的动态方程为：

2－5 系统状态方程的线性变换

2－5－1 系统状态空间表达式的非唯一性

回顾前面几节有关系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此会得出不同的系统状态方程。实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；系统方块图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。所以说系统动态方程是非唯一的。

但虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所产生的动态方程各种各样，其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系。

例如图2－8所示的传递函数的直接法实现，按照图上所示各状态变量的取法，我们有（2－24）式所示动态方程。如果我们将各变量次序颠倒，即令：

即取：

将

代入（2－24）动态方程，我们有：

因此有:

上式与（2－25）相同。也就是说（2－24）与（2－25）代表的动态方程是一种线性变换的关系。

进一步，由于上述非奇异的变换矩阵T可以有无数种，所以系统的动态方程也有无数种。

2－5－2 转化为对角标准型

虽然通过非奇异的线性变换，可以求出无数种系统的动态方程，但是有几种标准型对我们特别有用，如可控标准型、可观标准型、对角标准型和约当标准型。在本章，我们先讨论对角型和约当型。 设某系统的动态方程为：

……………………………………………………

…………（2－34）

其中系统矩阵A有n个不相等的特征根λi(i=1,2,3,…n),相应地有n个不相等的特征向量mi(i=1,2,3…n),所以有矩阵A的特征矩阵（模态矩阵）：

根据矩阵论中的知识，我们知道:

所以，我们对原系统（2－34）作下列线形变换：

代入(2-34)式，我们有:

……………………………………………

……(2－35) 其中：

……………………………………………

………（2－36）

所以要将（2－34）化为（2－35）所示对角型，只要系统矩阵A的n个不等的特征根λi（i=1,2,……n）已求出，A′和D′就可以直接写出，但要求出B′和C′,还需根据矩阵论中的知识求出矩阵M及其逆矩阵 M-1，然后根据（2－36）式求得。

【例2－10】 已知某系统的动态方程为：

试将系统化为对角型。

解：系统特征方程为：

有三个不等的特征根。特征向量满足下列条件：

所以对

取m11=1，得λ1对应的特征向量m1为：

同理可得：

，

所以：

所以系统的对角标准型为：

MATLAB中有一函数canon(A,B,C,D,_mod_)可以将（2－34）所示系统直接转化为对角型。运行结果返回As,Bs,Cs,Ds为对角型，返回的Ts表示所作的线性变换。但注意，这个变换公式为：

Z=TSX 而不是我们所介绍的：

X=MZ

也就是说，

这与（2-36）式有所区别。

图2－13 模拟结构图

MATLAB源程序如下：

%Example 2-10

A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6]; B=[1;0;0]; C=[1 1 0]; D=0;

[As,Bs,Cs,Ds,Ts]=canon(A,B,C,D,'mod') T=inv([1 1 1;-1 -2 -3;1 4 9]); [At,Bt,Ct,Dt]=ss2ss(A,B,C,D,T) end

上述MATLAB程序运行结果如下： As = -1.0000 0 0 0 -2.0000

0

0 0 -3.0000

Bs = -5.1962 -13.7477 -9.5394 Cs =

0.0000 -0.2182 0.2097 Ds = 0 Ts = -5.1962 -4.3301 -13.7477 -18.3303 -9.5394 -14.3091

At = -1.0000 -0.0000 0.0000 -2.0000 -0.0000 -0.0000

Bt =

-0.8660 -4.5826 -4.7697

-0.0000 0.0000 -3.0000

3.0000 -3.0000 1.0000 Ct =

-0.0000 -1.0000 -2.0000 Dt = 0

上述结果表明，同样将系统矩阵A变换为标准对角型，其变换矩阵也是非唯一的，实际上是有无数种的。这无数种变换矩阵不会改变（2－36）中A’的对角型形式，只改变B’和C’的结果。

所以我们有时对另一种形式的标准对角型状态空间表达式感兴趣，它的系统矩阵A’与（2－36）一样，而且进一步，B’也有标准的形式（1，1，…，1）T。 要得到上述标准型，我们只要作线性变换：

X=MTZ

其中M为模态矩阵，T为一个待定的对角矩阵，设T=diag(t1，t2，…，tn)。这时，式（2－35）变为：

其中：

其中T矩阵可以通过下式求得：

M-1B=T(1,1, …,1)T ＝diag(t1，t2，…，tn) (1,1, …,1)T

上例中，可以求得： T＝diag（3 _3 1） 从而得：

其系统实现的模拟结构图如图2－14所示，大家可以与图2－13作一比较。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7947.html