状态空间分析与综合

第9章 线性系统的状态空间分析与综合

重点与难点

一、基本概念

1．线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念

状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。

状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。

状态向量 以状态变量为元素构成的向量。

状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。

状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。

输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。

状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示：

??Ax?Bu?x (9.1) ??y?Cx?Du（2）状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。

（3）状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性变换的目的在于使系统矩阵A规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性变换不改变系统的固有特性。

根据矩阵A的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。

（4）线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵?(t)（即矩阵指数e）及其性质：

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Ati． ?(0)?I

?(t)?A?(t)??(t)A ii．?iii. iv. v.

?(t1?t2)??(t1)?(?t2)??(?t2)?(t1)

??1(t)??(?t)

[?(t)]k??(kt)

vi. exp(At)exp(Bt)?exp[(A?B)t] (AB?BA) vii. exp(P?1APt)?P?1exp(At)P (P非奇异) 求状态转移矩阵?(t)的常用方法： 拉氏变换法

?(t)?L－1[(sI?A)?1] （9.2）

级数展开法

eAt?I?At?齐次状态方程求解

1221At???Aktk?? （9.3） 2k!x(t)??(t)x(0) （9.4）

非齐次状态方程式（9.1）求解

x(t)??(t)x(0)???(t??)Bu(?)d? （9.5）

0t（5）传递函数矩阵及其实现

传递函数矩阵G(s)：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系

G(s)?C(sI?A)?1B?D (9.6)

传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵G(s)，找一个系统{A,B,C,D}使式（9.6）成立，则将系统{A,B,C,D}称为G(s)的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数时，称该系统为G(s)的最小实现。

传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标准形实现、对角形实现和约当形实现等。

（6）线性定常连续系统的离散化及其求解

对式（9.1）表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述为

?x(k?1)??(T)x(k)?G(T)u(k) ?y(k)?Cx(k)?D(k) ?(9.8)

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其中

?(T)??(t)t?T

G(T)???(?)Bd?

0T离散状态方程式（9.1）的解为

x(k)??(T)x(0)???k?1?i(T)G(T)u(i) (9.9)

ki?0k?12. 线性系统的可控性与可观测性

??Ax?Bu，若在有限时间间隔（1）系统的（状态）可控性。设系统状态方程为xt?[t0,tf]内存在无约束的分段连续控制函数u(t)，能使系统从任意初始状态x(t0)转移

到任意的终止状态x(tf)，则称系统是状态完全可控的，简称可控。

线性定常连续系统可控性常用判据：

1） rank[B AB A2B ? An?1B]?n (9.10) 2）当A为对角矩阵且特征根互异时，输入矩阵B中无全零行（当矩阵A有相同特征根时不适用）。

当A为约当矩阵且相同特征根分布在一个约当块内时，输入矩阵中与约当块最后一行对应的行中不全为零，且输入矩阵中与相异特征根对应的行不全为零（当相同特征根分布在两个或两个以上约当块时不适用）。

3）(sI?A)B的行向量线性无关。 4）单输入系统{A,B}为可控标准形。

5）单输入单输出系统，当由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消时，系统可控、可观测（对多输入多输出系统不适用）。

连续系统状态方程离散化后的可控性：连续系统不可控，离散化的系统一定不可控；连续系统可控，离散化后的系统不一定可控（与采样周期的选择有关）。

（2）系统输出可控性。设系统状态空间表达式为式（9.1）,若在有限时间间隔

?1t?[t0,tf]内，存在无约束的分段连续控制函数u(t)，能使系统从任意初始输出y(t0)转移到最终内测量到的输出y(tf)，则称系统是输出完全可控的，简称输出可控。

输出可控性判据为

rank[CB CAB ? CAn?1B D]?q(C阵的行数)

状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，其间没有必然联系。 单输入单输出系统，若输出不可控，则系统或不可控或不可观测。

（3）系统状态可观测性。已知输出u(t)及有限时间间隔t?[t0,tf]内测量到的输出

y(t)，若能唯一确定初始状态x(t0)，则称系统是完全可观测的，简称可观测。

常用可观测性判据：

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1） rank[CT ATCT ? (AT)n?1CT]?n (9.11) 2）当A为对角矩阵且有相异特征值时，输出矩阵无全零列（A阵有相同特征值时不适用）。

当A为约当阵且相同特征值分布在一个约当块时，输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不全为零，输出矩阵中与相异特征值对应的列不全为零（相同特征值分布在两个或更多个约当块时不适用）。

3）C(sI?A)?1的列向量线性无关。 4）单输出系统{A,C}为可观测标准形。

连续系统离散化后的可观测性：连续系统不可观测，离散化后一定不可观测；连续系统可观测，离散化后不一定可观测（与采样周期的选择有关）。

对偶原理：线性系统S1{A,B,C}与S2{A,C,B}互为对偶系统。若系统S1可控，则S2可观测；若系统S1可观测，则S2可控。

（4）线性定常系统的规范分解。从可控性、可观测性出发，状态变量可分解为可控可观测xco、可控不可观测xco、不可控可观测xco和不可控不可观测xco四类。以此对应将状态空间划分为四个子空间，系统也对应分解为四个子系统，这称为系统的规范分解。研究规范分解能更明显地提示系统结构特性和传递特性。

3. 线性定常系统的状态反馈与状态观测器

（1）状态反馈与极点配置。用状态反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是被控系统可控。

状态反馈不改变系统的零点，只改变系统的极点。

在引入状态反馈后，系统可控性不变，但其可观测性不一定与原系统一致。单输入无零点系统在引入状态反馈后不会出现零极点对消，故其可观测性与原系统保持一致。

（2）输出反馈（到状态微分处）与极点配置。用输出反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是被控系统可观测。

输出反馈不改变系统的零点。

在引入输出反馈后不改变系统的可观测性，但其可控性不一定与原系统保持一致。 （3）输出到输入参考点的常值增益反馈可以配置的闭环极点数为min{n,p?q?1}，

TTTB,q?rankC，故一般情况下不能像输出到状态微分处反馈那样任意配置式中p?rank系统闭环极点。

（4）状态观测器及其设计。若被控系统{A,B,C}可观测，则其状态可用形如

???(A?HC)x??Bu?Hy (9.12) x的全维状态观测器给出估值。矩阵H按任意配置极点的需要来选择，以决定状态误差衰减的速率。

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分离定理：若被控系统可控可观测，当用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行。即矩阵K与H的设计可分别独立进行。

4. 李雅普诺夫稳定性分析

（1）李雅普诺夫意义下的稳定性：

?平衡状态：在无外部激励的条件下，系统能维持在某个状态而不变化，即x则称xe为一个平衡状态。

x?xe?0零状态是线性系统的平衡状态，且当系统矩阵非奇异时，零状态是唯一的平衡状态。 李雅普诺夫稳定性：若要求||x(t0)?xe||???0，存在?(?,t0)?0，只要

||x(t0)?xe||??(t,t0)，上述条件更可满足，则称系统在xe处稳定。

（2）李雅普诺夫第二法（直接法）：

标量函数V(x)（如二次型函数）的定号性：正定、正半定、负定、负半定、不定。

??f(x,t)，其平衡状态满足李雅普诺夫稳定性定理：设系统状态方程为xf(0,t)?0，并设在原点邻域存在V(x,t)对x的连续一阶偏导数，则有

?(x,t)负定，则原点是渐近稳定的。 定理1：若V(x,t)正定，V?(x,t)负半定，V?[x(t;x,t),t]在非零状态不恒为零，定理2：若V(x,t)正定，V00则原点是渐近稳定的。

?(x,t)负半定，V?[x(t;x,t),t]在非零状态存在恒为零，定理3：若V(x,t)正定，V00则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。

?(x,t)正定，则原点是不稳定的。 定理4：若V(x,t)正定，V当平衡状态不在原点时，可通过坐标变换将其置于原点上，坐标变换不改变系统的固有性质。

??Ax,A为（3）线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析。设系统状态方程为x非奇异矩阵，故原点是唯一平衡状态。取二次型函数V(x)作为可能的李雅普诺夫函数，即

V(x)?xTPx

?(x)??xTQx?xT(ATP?AP)x 则 V系统渐近稳定的充要条件是：给定一正定实对称矩阵Q，有唯一的正定实对称矩阵P，ATP?AP??Q成立。xTPx是系统的一个李雅普诺夫函数。

线性定常离散系统x(k?1)??x(k)，零平衡状态xe?0渐近稳定的充要条件是：任意给定一个正定实对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程。

?TP??P??Q

纯量函数V[x(k)]?x(k)Px(k)是该离散系统的一个李雅普诺夫函数。如果沿系

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