第一章 线性定常系统的状态空间描述及运动分析

第一章线性定常系统的状态空间描述及运动分析

马树萍

§1.1线性定常系统的传递函数描述传递函数描述的是系统的输入—输出关系，用它描述系统时，假定对系统结构的内部信息一无所知，能够得到的只是系统的输入信息和输出信息，这种情况下，对我们来说，系统的内部结构就像一个“黑箱”一样，因此，传递函数只能刻画系统的输入—输出特性，它被称为系统的输入-输出描述和外部描述。使用传递函数方法描述系统所用的数学工具主要是拉普拉斯(Laplace)变换，因此，它主要适用于描述线性定常系统。

§1.1-1单变量情形回顾已知由下列常系数微分方程描述的定常系统

y n+ a n 1 y ( n 1)+"+ a1 y (1)+ a 0 y= b u ( m )+ b u ( m 1)+" b u (1)+ b u m m 1 1 0

(1.1.1)

其中 y (t )叫做系统的输出，u (t )叫做系统的输入， t为时间，y (i ) d i y ( j ) d ju= i, u= j, ai, b j均为常数， i=0,1,…,n, dt dt

j= 0,1," m, m≤ n.3

§1.1-1单变量情形回顾假定y (0)= y (1) (0)="= y ( n 1) (0)= 0

u (0)= u (1) (0)="= u ( n 1) (0)= 0对(1.1.1)两边取拉普拉斯变换，得

(1.1.2)

( s n+ an 1s n 1+"+ a1s+ a0 ) y ( s )= (bm s m+ bm 1s m 1+"+ b1s+ b0 )u ( s )

则

(1.1.3)称为系统(1.1.1)的传递函数。传递函数为s的真有理分式，则称系统为物理能实现的。单输入—单输出系统的传递函数必为真有理分式。

y ( s ) bm s m+ bm 1s m 1+"+ b1s+ b0 G(s)== n u (s) s+ an 1s n 1+"+ a1s+ a0

§1.1-1单变量情形回顾

s+ an 1s+"+ a1s+ a0多项式为系统(1.1.1)的特征多项式， n n 1代数方程 s+ an 1s+"+ a1s+ a0= 0叫系统(1.1.1)的特征方程，特征方程的根或说特征方程的零点叫系统(1.1.1)的极点，多项式n

n 1

的零点，叫(1.1.1)的零点，若系统(1.1.1)有相同的零点和极点，则称系统有零极点相消，零极相消后剩下的系统的零点和极点分别为传递函数的零点和极点。

bm s m+ bm 1s m 1+"+ b1s+ b0

§1.1-2传递函数矩阵多输入—多输出的线性定常系统，令输入变量组为{u1, u2,", u p},输出变量组为{ y1, y2,", yq},且假定系统的初始变量为零。用y i ( s)和 u j ( s )分别表示 yi和 u j的拉普拉斯变换，表示系统的由第j个输入端到第i个输出端的传递函数，其中 i= 1," q,j= 1," p,则由系统的线性属性(即满足叠加原理)可以导出： y1 ( s)= g11 ( s )u1 ( s )+ g12 ( s )u2 ( s )+"+ g1 p ( s )u p ( s ) y ( s )= g ( s )u ( s )+ g ( s )u ( s )+"+ g ( s )u ( s ) 2 21 1 22 2 2p p " yq ( s )= g q1 ( s )u1 ( s )+ g q 2 ( s )u2 ( s )+"+ g qp ( s )u p ( s )

§1.1-2传递函数矩阵向量方程的形式为 y1 (

s ) g11 ( s ) g12 ( s )" g1 p ( s ) u1 ( s ) y ( s) g (s) g ( s)" g (s) u (s) 22 2p 2 2 = 21 Y (s)= # ### # = G ( s )U ( s ) g q1 ( s ) g q 2 ( s )" g qp ( s ) u p ( s ) yq ( s )

称 G ( s )为系统的传递函数矩阵。G ( s )为的一个有理分式矩阵。当 g ij ( s )除严格真还包含真有理分式时，即 G ( s )的一个或一些元传递函数中分母和分子多项式具有相等的最高幂次时，称为真有理分式矩阵。

§1.1-2传递函数矩阵当且仅当 G ( s )为真的或严格真的时，它才是物理上可实现的。当且仅当 lim G ( s )=零阵 s→∞ G ( s )为严格真的， lim G ( s )=非零常阵 s→∞传递函数矩阵为真的。

§1.2线性定常系统的状态空间描述§1.2-1状态和状态空间系统的状态空间描述是建立在状态和状态空间概念的基础上的。定义1.1动力学系统的状态定义为完全的表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。组成这个变量组的变 xn (t )称为系统的状态变量，其中t≥ t0,",量 x1 (t ), x2 (t ), t0为初始时刻。由状态变量 x1 (t ) , t≥ t构成的列向量 x(t )= # 0 称为系统的状态向量，简称为状态。状态空间则定义为状态向量取值的一个向量空间。 xn (t )

§1.2-1状态和状态空间状态和状态空间的含义几点解释:①状态变量组可完全的表征系统行为：只要给定变量 x1 (t ), x2 (t )…, xn (t )在初始时刻 t0的值，以及输入变量 u1 (t ), u2 (t ),…,u p (t )在 t≥ t0各瞬时的值，则系统中任何一个变量在 t≥ t0时的运动行为也就随之完全的确定了。②状态变量组的最小性体现在：状态变量组x1 (t ), x2 (t ) ..., xn (t )是为完全表征系统行为所必需的系统向量的最少个数，减少变量数将破坏表征的完全性，而增加变量数将是完全表征系统行为所不需要的。

§1.2-1状态和状态空间③状态变量组在数学上的特征体现在：状态变量组 x1 (t ), x2 (t ),xn (t )构成系统变量中线性无关的一个极大变量组。状态空间是建立在实数域上的向量空间，其维数为n。对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中的一个点；而状态随时间的变化过程，则构成了状态空间中的一条轨迹。④状态变量组包含了系统的物理特征：当组成状态的变量个数n为有穷正整数时，相应的系统为有穷维系统，且称n为系统的阶次；当为无穷大时，相应的系统则为无穷维系统。⑤状态变量组选取上的不唯一性。由于系统中变量的个数一般大于n,而其中仅有n个线性无关的，因此决定了状态变量

组在选取上的不唯一性。

§1.2-2动态系统的状态空间描述在引入了状态和状态空间概念的基础上，就可来建立动力学系统的状态空间描述。

图1.1动力学系统结构示意图

§1.2-2动态系统的状态空间描述和输入—输出描述不同，状态空间描述中把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程，输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。数学上必须采用微分方程或差分方程来表征，并且称这个数学方程为系统的状态方程。连续动态过程的状态方程为

1= f1 ( x1, x2,", xn, u1, u2,", u p, t ) x " t≥ t0 x n= f n ( x1, x2,", xn, u1, u2,", u p, t )13

§1.2-2动态系统的状态空间描述状态和输入决定输出的变化是一个变量间的转换过程，描述这种转换过程的数学表达是为变换方程，并且称之为系统的输出方程或量测方程。一个连续的动力学系统的输出方程为

y1= g1 ( x1, x2,", xn, u1, u2,", u p, t ) " y= g ( x, x,", x, u, u,", u, t ) q 1 2 n 1 2 p q14

§1.2-2动态系统的状态空间描述系统的状态空间描述为状态方程和输出方程组成

= f ( x, u, t ), t≥ t 0 xy= g ( x, u, t ) u1 x1 u x 2 x= 2 u= # # x n u p

y1 g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) y g ( x, u, t ) f ( x, u, t ) 2 g ( x, u, t )= 2 y= f ( x, u, t )= 2 # # # y g x u t (,, ) f x u t (,, ) n q q

§1.2-2动态系统的状态空间描述离散动态过程的状态空间的描述。离散动态过程的一个重要特点是，系统的各个变量都被处理成为只在离散时刻取值，其状态空间描述只反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系。用k=0,1,2来表示离散的时刻，则离散时间系统(简称离散系统)的状态方程和输出方程的最一般形式为：

x(k+ 1)= f ( x(k ), u (k ), k ), k= 0,1, 2," y (k )= g ( x(k ), u (k ), k )16

§1.2-2线性定常系统的状态空间描述线性定常系统的状态空间描述的表达式为

= Ax+ Bu x y= Cx+ Du其中 x(t )为n维状态向量，n为系统的阶，u (t )为p维控制输入向量，y (t )为q维输出向量，A为n× n阶系统矩阵， B为n× p阶输入矩阵，C为q× n阶输出矩阵，D为q× p阶前馈矩阵，统称为系统的系数矩阵，均为实常阵。线性定常系统也叫做线性时不变系统，完全由系数矩阵决定，简记为(A,B,C,D)。

§1.2-2线性定常系统的状态空间描述线性定常系统,称系统矩阵A的特征值，特征向量，若当标准

型，特征方程，特征多项式为系统的特征值，特征向量，若当标准型，特征方程，特征多项式，系统的特征值也称作系统的极点。 q= 1,系统为单若 p= 1,则系统为单输入线性定常系统；输出线性定常系统，若 p= q= 1,系统为单输入—单输出系统，或单变量系统。

§1.2-2线性定常系统的状态空间描述线性定常离散系统的状态空间描述为

x(k+ 1)= Gx(k )+ Hu (k ), k= 0,1, 2," y (k )= Cx(k )+ Du (k )简记为 (G,H,C,D)。

§1.3输入输出描述导出状态空间描述考虑单输入—单输出线性定常系统。表征系统动态过程的输入—输出描述，时域为

y ( n )+ an 1 y ( n 1)+"+ a1 y (1)+ a0 y

= bm u ( m )+ bm 1u ( m 1)+"+ b1u (1)+ b0u等价的频域描述，即传递函数为m Y ( s) b s" b1s+ b0 g (s)== n m n+ U ( s ) s+ an 1s 1+"+ a1s+ a0

(1.3.1)

m≤n

(1.3.2)

§1.3输入输出描述导出状态空间描述引进状态变量 x,将其写成状态空间描述形式

= Ax+ bu x y= cx+ du

(1.3.3)

x为维n状态变量, A, b, c, d

分别为n× n, n×1, 1× n, 1×1的矩阵。将(1.3.1), (1.3.2)写成(1.3.3)的形式,称为实现问题，第5章作专门介绍。实现不具有唯一性传递函数。下面给出(1.3.1)或 (1.3.2)的几种状态空间描述形式：

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