第二学期线性代数(A)期末考试试卷答案

2002-2003学年第二学期线性代数（A）期末考试试卷答案

北 方 交 通 大 学

2002-2003学年第二学期线性代数（A）期末考试试卷答案

一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中

12?113x?1 1．已知11是关于x的一次多项式，该式中x的系数为_______1_____．

应填：1． ?k?1? 2．已知矩阵A??1??11k1111k11??1?，且A的秩r?A??3，则k?____-3_______． 1??k? 应填：?3． 3．已知线性方程组

?x?y?0???2x?3y?5 ?2x?y?a?有解，则a?______-1_____． 应填：?1

4．设A是n阶矩阵，A?0，A*是A的伴随矩阵．若A有特征值?，则?2A*?必有一个特征值

?1是_________________． 应填：

?2A．

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设

?a11?A??a21?a?31a12a22a32a13??a21??a23? ， B??a11?a?aa33?11??31a22a12a32?a12??a13? ， a33?a13??a23第 1 页 共 8 页

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?0?P1??1?0?1000??1??0? ， P2??0?11???0100??0? ， 1??则必有【 】．

?A?. AP1P2?B ； ?B?. AP2P1?B ； ?C?. P1P2A?B ； ?D?. P2P1A?B． 应选：?C?．

2．设A是4阶矩阵，且A的行列式A?0，则A中【 】． ?A?. 必有一列元素全为0； ?B?. 必有两列元素成比例；

?C?. 必有一列向量是其余列向量的线性组合； ?D?. 任意列向量是其余列向量的线性组合． 应选：?C?．

3．设A是5?6矩阵，而且A的行向量线性无关，则【 】． ?A?. A的列向量线性无关；

?B?. 线性方程组AX?B的增广矩阵A的行向量线性无关；

?C?. 线性方程组AX?B的增广矩阵A的任意四个列向量线性无关； ?D?. 线性方程组AX?B有唯一解． 应选：?B?．

4．设矩阵A是三阶方阵，?0是A的二重特征值，则下面各向量组中： ⑴ ?1,3,?2?，?4,TT?1,T3?，?0,T0,T0?；

T ⑵ ?1,1,1?，?1,1, ⑶ ?1, ⑷ ?1,?1,2?，?2,T0?，?0,?2,1,TT0,1?； ?3,T4?，?3,0,6?；

T0,0?，?0,T0?，?0,1?；

肯定不属于?0的特征向量共有【 】．

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?A?. 1组； ?B?. 2组； ?C?. 3组； ?D?. 4组． 应选：?B?．

5．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【 】．

?A?. BAB； ?B?. ABA； ?C?. ?AB 应选：?A? ． 三．（本题满分10分）

设n阶矩阵A和B满足条件：A?B?AB． ⑴ 证明：A?E是可逆矩阵，其中E是n阶单位． ?1? ⑵ 已知矩阵B??2?0??3100??0?，求矩阵A． 2???2； ?D?.

2AB．

解：

⑴ 由等式A?B?AB，得A?B?AB?E?E，即

?A?E??B?E??E

因此矩阵A?E可逆，而且?A?E??B?E．

?1 ⑵ 由⑴知，A?E??B?E?，即A??B?E??1?1?E

A??B?E??1?E

?0? ??2?0??3000??0?1???1?1???0?0?010??00???10?????31???0??1200?0???1??0??0??1??0??0100??0? 1????1?1 ????3?0??1210?0??0? ?2???第 3 页 共 8 页

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四．（本题满分10分）

当a、b为何值时，线性方程组

x3?x4?0?x1?x2??x2?2x3?2x4?1? ????x?a?3x?2x?b234??3x1?2x2?x3?ax4??1?有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解． 解：

将方程组的增广矩阵A用初等行变换化为阶梯矩阵： ?1?0? A??0??311?1212a?3112?2a0??1??10????0b????1??0110012a?10120a?10??1? b?1??0?所以，⑴ 当a?1时，r?A??r?A??4，此时线性方程组有唯一解．

⑵ 当a?1，b??1时，r?A??2，r?A??3，此时线性方程组无解． ⑶ 当a?1，b??1时，r?A??r?A??2，此时线性方程组有无穷多组解． 此时，原线性方程组化为

?x1?x2?x3?x4?0 ?x2?2x3?2x4?0?因此，原线性方程组的通解为

?x1??x2??x3?x?4?x3?x4?1x3x4??2x3?2x4?1??

或者写为

?x1??1??1???1?????????x2?2?21???k???k?????

12?x3??1??0??0??????????0??1??0??x3?第 4 页 共 8 页

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五．（本题满分10分） ?1?2 设4阶矩阵A???3??4123412341??2?，求A100． 3??4? 解： ?1?2 由于A???3??4123412341??1????22?????1111?， 3??3????4??4?所以，A100?1??1??1???????222????1111????1111?????1111? ?3??3??3???????4?4????4??????????????????????100个A?1??1??1??1?????????2222 ?????1111?????1111?????1111??????1111?

?3??3??3??3?????????4?4?4??4?????????????????????????99组?1???2由于?1111????10，所以

?3????4??1???2???1111??1099?3????4??1?2??3??4123412341??2? 3??4? A100?1099六．（本题满分10分） 已知α1??1,1, 解：

由于α1??1,1,?1,?1?与α2??1,2,0,3?的对应分量不成比例，所以α1与α2线性无关．

?1,?1?，α2??1,2,0,3?，求α3，α4，使得α1，α2，α3，α4线性无关．

满足α1，α2，α3，α4线性无关的向量α3与α4有很多，例如我们可以取

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