线性代数测试试卷及答案

精品文档 线性代数（A 卷）

一﹑选择题(每小题3分,共15分)

1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( )

(A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+

2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( )

(A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确

3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( )

(A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--

4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ????= ? ?-????

的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ?-??

(D) 1001A ??= ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( )

(A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关

(C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分)

1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；

2. 设100210341A -?? ?=- ? ?-??

，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ；

3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ；

4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；

5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

精品文档 6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式2

2211

1a b

c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关，则λ= ；

8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为 ；

9. 若二次型2

2

2

123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围

为 ；

10. 设A 为n 阶方阵,且满足2240A A I +-=,这里I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题（每小题9分，共27分）

1. 已知210121012A ?? ?= ? ???

，100100B ?? ?= ? ???，求矩阵X 使之满足AX X B =+.

2. 求行列式1234

23413412

4123

的值. 3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的一个最大无关组和秩.

四﹑(10分)设有齐次线性方程组

12312312

3(1)0,(1)0,(1)0.x x x x x x x x x λλλ+-+=??-++=??++-=?

问当λ取何值时, 上述方程组(1)有唯一的零解﹔(2)有无穷多个解,并求出这些解. 五﹑(12分)求一个正交变换X PY =,把下列二次型化成标准形:

2

2

2

123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.

六﹑(6分)已知平面上三条不同直线的方程分别为

精品文档 123: 230,

: 230,: 230.

l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++=

试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.

线性代数（A 卷）答案

一﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A 二﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-1

6. ()()()c a c b b a ---

7. 0

8. 111,,23---

9. 405t -<< 10. 1142

A I + 三﹑1. 解 由AX X

B =+得1()X A I B -=-. (2分) 下面求1()A I --. 由于

110111011A I ?? ?-= ? ???

(4分)

而

1()A I --=011111110-?? ?- ? ?-??

. (7分)

所以

10111001()11101111100011X A I B --?????? ??? ?=-=-=- ??? ? ??? ?--??????

. (9分) 2. 解 1

23423413

4124123=102341034110412101

23123413411014121123= (4分) 1

2340113100

0440004

-=-- (8分) 160= (9分) . 3. 解 由于

精品文档 3112341234011301131301053307330733r r --???? ? ?---- ? ?- ? ?-- ? ?----????

324212345011300212700424r r r r -?? ?--- ? ?+ ?--?? 43123401132002120000r r -?? ?-- ?+ ? ???

(6分) 故向量组的秩是 3 ，123,,ααα是它的一个最大无关组。(9分) 四﹑解 方程组的系数行列式

111

111111

A λλλ-=--2(1)(2)λλ=-+- (2分) ①当2(1)(2)0A λλ=-+-≠,即1λ≠-且2λ≠时,方程组有唯一的零解; (4分) ②当1λ=-时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为

12 1 21 1 11 2 A -?? ?=- ? ?-??

, 它有一个二阶子式123021

-=-≠-,因此秩(A )2n =<(这里3n =),故方程组有无穷多个解.对A 施行初等行变换,可得到方程组的一般解为

13233

3,,,x x x x x x =??=??=? 其中3x 可取任意数; (7分) ③当2λ=时, 2(1)(2)0A λλ=-+-=,方程组的系数矩阵为

11 1 11 1 11 1 A ?? ?= ? ???

,

显然,秩(A )1n =<(这里3n =),所以方程组也有无穷多个解.对A 施行初等行变换 可得方程组的一般解为

123223

3,,,x x x x x x x =--??=??=? 其中23,x x 可取任意数. (10分)

精品文档 五﹑ 解 二次型的矩阵为

12 2 21 2 22 1 A ?? ?= ? ???

, (2分)

因为特征多项式为

21

2 2 2

1 2 (1)(5)22 1

I A λλλλλλ----=---=+----, 所以特征值是1-(二重)和5. (4分)

把特征值1λ=-代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得

1231231

232220,2220,2220,x x x x x x x x x ---=??---=??---=? 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值1λ=-的特征向量为

12(1,0,1),(0,1,1)T T αα=-=-.

利用施密特正交化方法将12,αα正交化:

11(1,0,1)T βα==-, 211(,1,)22

T β=--, 再将12,ββ单位化得

1(22T η=

,2(T η=, (8分) 把特征值5λ=代入齐次线性方程组()0I A X λ-=得

1231231

234220,2420,2240,x x x x x x x x x --=??-+-=??--+=? 解此方程组可得矩阵A 的对应于特征值5λ=的特征向量为

3(1,1,1)T α=.

再将3α单位化得

3T η=. (10分) 令

精品文档

123(,,)0

P ηηη?? ? ?

?== ? ? ? ? ??

?

则P 是一个正交矩阵,且满足

1100010005T P AP P AP --??

?

==- ? ???

.

所以,正交变换X PY =为所求,它把二次型化成标准形

222123123(,,)5f x x x y y y =--+. (12分)

六﹑证明:必要性

由123,,l l l 交于一点得方程组

230

230230ax by c bx cy a cx ay b ++=??

++=??++=?

有解,可知

231()()230()10231a b c

b c R A R A b

c a a b c c a c a b

a b

=?=?++= (2分)

由于222

1211[()()()]01b c

c

a b a c b a c a b

=--+-+-≠,所以0a b c ++= (3分)

充分性：0()a b c b a c ++=?=-+

2222222()2[()][()]022312366()10231a b

ac b ac a c a c a c b c a b c a b c b c b c a b c a a b c c a c a b c a b a b ??

=-=-+=-++-≠??

?

??==++=???又因为

()()2R A R A ?==, (5分) 因此方程组

精品文档 230230230ax by c bx cy a cx ay b ++=??++=??++=?

有唯一解，即123,,l l l 交于一点. (6分)

线性代数习题和答案

第一部分 选择题 (共28分)

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是

符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。

1.设行列式

a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，则行列式a a a a a a 111213212223++等于（ ） A. m+n

B. -(m+n)

C. n -m

D. m -n

2.设矩阵A =100020003?? ??

???，则A -1等于（ ） A. 13

000120001?? ???????? B. 10001200013?? ??

??????

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o4ke.html