线性代数考试试卷+答案超强合集

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，

1

352

x1 x2 x3 0

x 0，则 __________。2．若齐次线性方程组 x1 x2 x3 0只

x x x 0 223 11

共10分）1. 若0

1

有零解，则 应满足 。 3．已知矩阵A，B，C (cij)s n，满足AC CB，则A与B分 a11

A 别是 阶矩阵。4．矩阵 a21

a 31

A 3A E 0，则A

2

a12

a22 的行向量组线性5．n阶方阵A满足a32

，错误的在括号内 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”

填“×”。每小题2分，共10分）1. 若行列式D中每个元素都大于零，则D 0。（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组a1，a2， ，am中，如果a1与am对应分 0

1

，as线性相关。量成比例，则向量组a1，a2，（ ）4. A

0 0

1000

0001

0 0 ，则A 1 A。（ ）5. 若 1 0

1

为可逆矩阵A的特征值，则A 1的特征值为 。 ( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，

将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A为n阶矩阵，且A 2，则AAT （ ）。

， s（3 s n）线性① 2n② 2n 1 ③ 2n 1 ④ 42. n维向量组 1， 2，

， s中任意两个向量都线性无关② 1， 2， ， s中存无关的充要条件是（ ）。① 1， 2， ， s中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ 在一个向量不能用其余向量线性表示③ 1， 2，

1， 2， ， s中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。① 任意n个n 1维向量线性相关②

任意n个n 1维向量线性无关③ 任意n 1个n 维向量线性相关④ 任意n 1个n 维向量线性无关4. 设A，B均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。① 若A，B均可逆，则A B可逆

② 若A，B均可逆，则 AB 可逆③ 若A B可逆，则 A B可逆

④ 若

A B可逆，则 A，B均可逆5. 若 1， 2， 3， 4是线性方程组A 0的基础解系，则

1 2 3 4是A 0的（ ）① 解向量 ② 基础解系

③ 通解 ④ A

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

x abx bbb

ccx cc

dddx d

的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分)1. 计算行列式

aaa

。

解· x aaaa

bx bbb

ccx cc (x a b c d)

dddx dbx bbb

x a b c dx a b c dx a b c dx a b c dccx cc

dddx d

(x a b c d)

bx bbb

ccx cc

dddx d1000

bx00

c0x0

d00x

(x a b c d)x

3

2. 设AB A 2B，且A

3 1 0

011

1 0 ,4

求B。解.(A 2E)B A

(A 2E)

1

2

2 13120

1 21

1 5 1

1，B (A 2E)A 4

1 2

2 32

1 2

0

23. 设B

0

03

1

1000 110

0 0

, 1 1

2

0C

0 0

1200

4 3

且矩阵 满足关系式X(C B)' E, 求 。4. 问a取何值时，下列向量组线性1 2

1

2

, a

2

1

2

1

2 x1 x2 x3 3 1

, 3 。5. 为何值时，线性方程组 x1 x2 x3 2有唯

2 x x x 2 23 1a

a

1

相关？ 1

2 1 2

一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。① 当 1且 2时，方程组有唯一 2 1 1

解；②当 2时方程组无解③当 1时，有无穷多组解，通解为 0 c11 c206. 设

0 0 1 1 2 1 3

4 9 0 10 1 , 2 , , . 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用34 1 1 3 7

0 3 1 7

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

1

该极大无关组线性表示。7. 设A 0

0

012

0

0，求A的特征值及对应的特征向量。五、证明题 (7分) 1

若A是n阶方阵，且AA IA 1， 证明 A I 0。其中I为单位矩阵。×××大学线性

代数期末考试题答案

一、填空题 1. 5 5. A 3E

二、判断正误 1. × 三、单项选择题 1. ③ 四、计算题 1. x aaaa

bx bbb

ccx cc (x a b c d)

dddx dbx bbb

x a b c dx a b c dx a b c dx a b c dccx cc

dddx d

(x a b c d)

bx bbb

ccx cc

dddx d1000

bx00

c0x0

d00x

(x a b c d)x

3

2. 1 3. s s，n n 4. 相关

2. √ 2. ③

3. √ 3. ③

4. √ 5. ×

4. ② 5. ①

2.(A 2E)B A (A 2E)

1

2 2 1

1 21

1 5

1

1，B (A 2E)A 4

1 2

2 32

2

2 3

1

0 C B 0 0

2100

3210

4 1 32' ， (C B)

32

1 401 21

001 2

0123

0012

0

0 0 1

1 2 1 0

01 21

001 2

0 0 0 1

3.

C B

' 1

1 2 1 00 0

，X E C B '0 1

4.

1

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

a

a1，a2，a3

1212

12

1212 18

(2a 1)(2a 2)当a

2

a 12

12

或a 1时，向量组a1，a2，a3线性相

a

关。5.① 当 1且 2时，方程组有唯一解；②当 2时方程组无解③当 1时，有无穷多 2 1 1

组解，通解为 0 c11 c206.

0 0 1 1

4

(a1，a2，a3，a4)

1 0 1 0 0 0

0100

0010

2 2 1 0

29 1 3

10 3 1

3 1 100

0 7 7 0

21 3 3

1 4 4 1

3 1

20

0 10 7 0

2100

1 4 16 13

3

2

16

13

则

r a1，a2，a3，a4 3，其中a1，a2，a3构成极大无关组，a4 2a1 2a2 a37.

1

E A

00

0

1E A 0

0

00 2

000

( 1) 0特征值 1 2 3 1，对于λ

3

1 2

1＝1，

1

0 1 0

0，特征向量为k0 l0

0 0 1

A I A AA AI A I A I A

五、证明题∴

2 I A 0a13c1

a2

a3

，

a1a2b2c2

a3c3

∵ I A 0一.单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.如果b1

c1

b3 m，则2b1 2b22b3 3c23c3

=( ).A.6m； B. 6m；

3333

C.23m； D. 23m。2. 设A、B是m n矩阵，则( )成立.A.R(A B) R(A)； B. R(A B) R(B)；

C.R(A B) R(A) R(B)； D. R(A B) R(A) R(B)。3. 设A是s n矩阵，则齐次线性方程组Ax 0有非零解的充分必要条件是( ).

A.A的行向量组线性无关 B. A的列向量组线性无关

C.A的行向量组线性相关 D. A的列向量组线性相关4. 设

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

a b 1

3a b

5 2 2 1

34

5

则a,b分别等于（ ）．A. 1,2 B. 1,3 C. 3,1 ，2

D. 6,2 5. 若x1是方程AX B的解，x2是方程AX O的解，则（ ）是方程AX B的解（c为任意常数）.A.x1 cx2 B. cx1 cx2 C. cx1 cx2 D.

cx1 x2二.填空题（每小题3分，共15分）1.设A,B均为n阶方阵，且A a,B ，则

(2A)B

T

1

2.

0

T

1 1

1

.3. 若对任意的3维

x1 x2

列向量x (x1,x2,x3),Ax ，则A= ．4．设

2x x3 1 1 4

a 0,b 2,c与a正交，且b a c则 =，c5. 设向量组

2 3

1 (1,0,0), 2 ( 1,3,0), 3 (1,2, 1)线性

T

T

T

21 120

4236

1

三.计算行列式（101

3

5

1 3 4 5

114 12

,a ,a ,a . 四.（10分）设a1 234

1 1 2 3 2

2 2231

1

求向量组a1,a2,a3,a4的秩和一个最大无关组.五（.10分）已知矩阵满足XA B，其中A 2

0

1B

0

21

361

0 1， 1

0 2

求X.六.（8分）设方阵A满足A A 2E 0,证明A可逆，并求A的逆矩阵.七.(8 ，3

分）已知向量组a1,a2,a3线性无关，b1 2a1 a2，b2 3a2 a3，b3 a1 4a3，证明向量组b1,b2,b3 1

线性无关.八.（12分）求矩阵A 4

1

130

0

0的特征值和对应于特征值的所有特征向量。九.（12分） 2

x1 x2 2x3 1

取何值时，下列非齐次线性方程组 x1 x2 x3 2(1)无解，（2）有唯一解，（3）有无穷多解？

5x 5x 4x 1

123

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

并在有无穷多解时写出通解。

一、填空题 （共5 小题，每题 3 分，共计15 分） 1. 2ab; 2.

n

1 1 3.

1A

10 ; 4 . 2,c ( 2,2, 1)T; 5. 无关

01

2

1

二、选择题 （共 5 小题，每题 3 分，共计15 分

1. (B); 2. (D) ; 3. (D); 4．(C) ; 5. (A). 三、（10分）

2

41 解： 31 11c4 c

2

2452120332062 2 1521032 60 2

r4 r2214 31 20221

132400

r4 r121420 31 1

320

0 0 020

四 （10分）

解：A 1 0，所以A可逆，有 X BA 1， 53

3 A 1

2 11

210

X BA

1

1

20 5

3 3

1 1

0

1

3 11 2

1 2

1 2

1

0

4

五. （10分）

1345 1

345 解：( 1

4 12 1, 2,3, 4)

01 5 3

1 1 23 222 22

3

1 0 081111

13

4

5 1

34 5 1

3

4

01 5 3

01 5 3 01 5

0111

0

8111

1

006 4 3

1 3

00 003

00 0

1

3分

3分

4分

4分

3分 3分 2分 6分

2

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

向量组的秩为4， 1, 2, 3, 4为最大无关组。 2分 六、 证明：恒等变形A2 A 2E，A(A E) 2E， 3分 A[

12

(A E) ]

，所以A可逆，且AE

1

12

(A E)。 3分

七、证法一 ：把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

2

a,a,a1 b1,b2,b 312 3

0

031

1 0, 4

记B AK， 3分

设BX 0，以B AK代入得

A(Kx) 0，因为矩阵A的列向量组线性无关，根据向量组线性无关的定义知Kx 0

，

3分

又因K 25 0，知方程 Kx 0只有零解x 0。

所以矩阵B的列向量组b1,b2,b3线性无关。 4分

2

a1,a2,a3 1

0

031

1 0, 4

证法二： 把已知条件合写成 b1,b2,b3

记B AK， 3

分

因 K 25 0，知 K可逆， 根据上章矩阵性质4知R A R B 3分

因矩阵A的列向量组线性无关，根据定理4 知R A 3，从而 R B 3， 再由定理4知矩阵B的三个列向量组b1,b2,b3线性无关。 4分 八 （12分）

1

13 0

002

(2 )(1 )

2

解: A的特征多项式为A E

41

所以A的特征值为 1 2, 2 3 1.

4分

3

当 1 2时,解方程(A 2E)x 0.由A 2E 4

1

110

0 1 0~0 00

010

0

0 0

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

0

得基础解系 p1 0,

1

所以kp1(k 0)是对应于 1 2的全部特征向量.

4分

2

当 2 3 1.时,解方程(A 1 E)x 0.由A E 4

1 1

得基础解系 p2 2,

1

120

0

0 1

~

1

0 0

010

1 2, 0

所以kp2(k 0)是对应于 2 3 1的全部特征向量。

4分

九．（12分）

1

解：(Ab) 1

5

15

2

4

1 1 r2 r12 r 0 5r 31

0 1

2

1 5 5

2

2 6

1

3 6

1

3 5r2

0 r

0

10

25 4

1

3 4分 9

（1） 当

45

时，R(A) 2,R(Ab）=3，方程组无解；

（2）当 ,且 1时， R(A) R(Ab）=3=n，方程组有唯一解；

5

4

（3）当 1时，R(A) R(Ab）=2 n=3，方程组有无穷多个解。 4分

x1 x2 2x3 1

3x3 3

原方程组同解于

x1

通解 x2

x 3

，

x1 x2 1

x3 1

，

1 1

c R） c1 0，。 4分 （

0 1

第一部分 选择题 (共28分)

一、1.设行列式 A. m+n

a11a21

a12a22

=m，

a13a23

a11a21

=n，则行列式

a11a21

a12 a13a22 a23

等于（ ）

B. -(m+n)

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

1 A= 0

0

020

0 0 3

C. n-m D. m-n2.设矩阵

，则A-1等于（ ）

A.

1

3 0 0 1300

0120

0 0 1

B.

1 0 0

0120

0 0 1 3

C.

010

0 0 1 2

D.

1200

0130

0 0 1

3.设矩阵

3 A= 1

2

1012 1 4

，A*是A的

伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. –6 C. 2

有（ ） A. A =0

T

B. 6

D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必

B. B C时A=0

C. A 0时B=C A. 1 C. 3

D. |A| 0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性B. 2

D. 46.设两个向量组α1，α2， ，αs和β1，β2， ，

无关，则秩（A）等于（ ）

βs均线性相关，则（ ）

A.有不全为0的数λ1，λ2， ，λs使λ1α1+λ2α2+ +λsαs=0和λ1β1+λ2β2+ λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2， ，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+ +λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2， ，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+ +λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2， ，λs和不全为0的数μ1，μ2， ，μs使λ1α1+λ2α2+ +λsαs=0和μ1β1+μ2β2+ +μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（ ）

A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0

12

D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程

12

组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 C.A=0

B.

η1+

η2是Ax=b的一个解

D.2η1-η2是Ax=b的一个解

B.秩(A)=n-1

D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A)<n

述中正确的是（ ）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ

3是

A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，

0是矩阵

λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k≤3 C. k=3

B. k<3

A的特征方程的3重根，A的属于λ

D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

A.|A|2必为1 C.A-1=AT A.A与B相似

B.|A|必为1

D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

T

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CAC.则（ ） B. A与B不等价

C. A与B有相同的特征值

D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.

2 3

3 4 02 3

0 3 5

B.

3 24 6 120

1 0 2

1 C. 0 0

1 D. 1 1

第二部分 非选择题（共72分）

1

1525

16 36

×

15.

39

.16.设A=

1 1 1

11 1

，B=

1

3

1 24

2

.则A+2B17.设A=(aij)3

3

，|A|=2，Aij表示|A|中元素

2

2

aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则

2

(a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 . 20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .

21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）. 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和423.设矩阵

0 A= 1

2

10 310

6 3 8

2 = 1 2

，已知α是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .

24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

1 A= 3

1

242

0 0 1

3110 5

1313

2 4 1 3

25.设，B=

2

3 1

240

.求（1）ABT；（2）|4A|.26.试计算行列式

521

.27.设矩

4

阵A= 1

1

2123 0 3

，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组α

2

1 =1

0 3

，α

1

3 =2

2 4

，α

3

0 =3

2 1

，

α

0 1 =4

4 9

.试判断α

4

是否为α

1，α2，α3

的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

2 2 3 0 2 2

4 13 2 34

2032 4 3

623

A=

6 3 4

.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵

A=

的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化

下列二次型为标准形

2

f(x1,x2,x3)=x1

2x2 3x3 4x1x2 4x1x3 4x2x3，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本

22

-1

大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）=E+A+A2.

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； （2）η0，η1，η2线性无关。

2是其导出组

Ax=0的一个基础解系.试证明

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 6.D

2.B 7.C

3.B 8.A

4.D 9.A

5.C 10.B

11.A 12.B 13.D 14.C

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 616.

3 1

2

3 3

2

7 7

17. 418. –1019. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数20. n-r21. –522.

2

2

–223. 1 24.

z1 z2 z3 z4

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 25.解（1）AB=|4A|=64

3 521

110 5

1313

2 4 1 3

T

1 3 1

2420 2 0 3 1 1 2 4 0

=

8 18 36 10 10

1242

00 21

.（2）|4A|=4|A|=64|A|，而|A|=-2

）

5

12 5

10 0

6 5

2 5

3

3 1

.所以

解

·

5 110 5

110 5

1313

（

1 100

5

11 5

1

=-12826.

=

11 5

10

=

6 5

30 10 40.

27.解 AB=A+2B

即（A-2E）B=A

1 1 1

4 56

，而（

212

A-2E

3 0 3

）

-1

=

2 1 1 3 2 2

8 912

2 123 0 1 6 6 . 9

1

1 1 1

4 56 3 3 . 4

所以

B=(A-2E)A=

-1

3 4 3 1 4 1

=28.解一

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

1 0 3

324

02 1

1 1

04

9 0

3113

01 1

1 0

02

12 0

100

18 14

2 0

08

14 0

100

110

2 0

01

0 0

100

010

1 ,1 0

所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.

2x1 x2 3x3 0

x1 3x2 1

2x2 2x3 4

3x1 4x2 x3 9.

解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即

方程组有唯一解（2，1，1），组合系

T

数为（2

2039

，1

1026

0683

，1）.29.解

2300

1200

8

对矩阵

2300

A

1200

0830

施行初等行变换

A

1 0

0 02 1 2 0

0 2

2 0

6 21

2 1

3 0

0 2

7 02

3 1 0

=B.（1）秩（B）=3，所

以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无

25/5

1= 5/5

0

25/15

2= 45/15

/3

关的特征向量为ξ1=（2，-1，0）， ξ2=（2，0，1）.经正交标准化，得η

TT

，η.

λ=-8的一个特征向量为ξ3=

1

2 2 1 D= 0

0

，经单位化得η

3=

1/3 2/3 . 2/3

所求正交矩阵为

T=

25/5

5/5

0

2/1545/15/3

1/3

2/3

2/3

010

.对角矩阵

0 0 . 8

（也可取

25/5

T= 0

5/5

2/15 /3 45/15

1/3

2/3

2/3

.）

31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

y1 x1 2x2 2x3 222

x2 x3=（x1+2x2-2x3）-2（x2-x3）-5x3.设 y2

y3 x3 1

C= 0

0

210

0 1 1

x1 y1 2y2

y2 y3即 x2

x y3 3

， ，

因其系数矩阵

可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形

y12-2y22-5y32 .四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

2

3

32.证 由于（E-A）（E+A+A）=E-A=E，

所以E-A可逆，且

（E-A）-1= E+A+A2 .33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0. （1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b， 所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.

则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.

又由假设，ξ1，ξ

2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而

l0=0 .

所以η0，η1，η2线性无关。

一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1、设A，B为n阶方阵，满足等式AB 0，则必有（ ）

(A)A 0或B 0; (B)A B 0； （C）A 0或B 0; (D)A B 0。 2、A和B均为n阶矩阵，且(A B)2 A2 2AB B2，则必有（ ） (A) A E； (B)B E； （C） A B. (D) AB BA。 3、设A为m n矩阵，齐次方程组Ax 0仅有零解的充要条件是（ ） (A) A的列向量线性无关； (B) A的列向量线性相关； （C） A的行向量线性无关； (D) A的行向量线性相关. 4、 n阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A的秩小于n； (B) A 0；

(C) A的特征值都等于零； (D) A的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）

5、若4阶矩阵A的行列式A 5，A 是A的伴随矩阵，则A 6、A为n n阶矩阵，且A2 A 2E 0，则(A 2E) 1 。

1

7、已知方程组 2

1

23a

x1 a 2 x2

2 x31

1

3 无解，则a 。 4

8、二次型f(x1,x2,x3) 2x12 3x22 tx32 2x1x2 2x1x3是正定的，则t的取值范围是 。

三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式

xD

111

11 x11

111 y1

1111 y

x1 3x2x2 3 x2

xnxn xn 3

10、计算n阶行列式Dn

x1 x1

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

11、若向量组 1, 2, 3线性相关，向量组 2, 3, 4线性无关。证明：(1) 1能有 2, 3线性表出；(2) 4不能由 1, 2, 3线性表出。12、设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，A E可逆，且f(A) (E A)(E A) 1。证明（1） (E f(A))(E A) 2E；（2） f(f(A)) A。 五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤

2

13、设A 0

0 x1 x2 x3

x1 2x2 ax3 x 4x a2x

23 1

032

0

2，求一个正交矩阵P使得P 1AP为对角矩阵。14、已知方程组 3 0

0与方程组x1 2x2 x3　 a 1有公共解。求a的值。15、设四元非齐次 0

2

3

线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知 1， 2， 3是它的三个解向量，且 1 ，

4 5 1 2

2 3 求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C； 2、D； 3、A； 4、A。

3 4

二、填空题5、-125; 6、； 7、-1； 8、t 。

2

5

3

xx1 x01

01y1

01y1 y

三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：D

101

x0 x00

01y1

000 y

第二列减第一列，第四列减第三列得：D

101

（4分）

x1y1

0按第三列展开得D xy y

按第一行展开得D x0

x1

0y

xy

22

。 （4分）

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

n

10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子 xi 3 ，再通过行列式的变换化

i 1

n 为上三角形行列式Dn xi 3

i 1

n

（4x 3 i

i 1

x2x2 3 x2

xnxn xn 3

1

n 0

（4分） xi 3

i 1

x23 0

xn0

3

3

n 1

分）四、证明题11、证明：(1)、 因为 2，所以 2， 3, 3线性无关， 3

线性无关。，又 1， 2， 3线性相关，故 1能由 2， 3线性表出。 (4分)

r( 1， 2， 3) 3

，（2）、（反正法）若不，则 4能由 1， 2, 3线性表出，

3线性表出，不妨设不妨设 4 k1 1 k2 2 k3 3。由（1）知， 1能由 2，

1 t1 2 t2 3。所以 4 k1(t1 2 t2 3) k2 2 k3 3，

3, 4线性相关，矛盾。 12、证明 （1）这表明 2，

(E f(A))(E A) [E (E A)(E A)](E A)

(E A) (E A)(E A)(E A) (E A) (E A) 2Ef(f(A)) [E f(A)][E f(A)]

1

1

1

（4分）（2）

12(E A)

1

1

由（1）得：[E f(A)] 1

(E A)

12

，代入上式得

12(E A)

f(f(A)) [E (E A)(E A)] 12

(E A)

12

12

(E A) (E A)(E A)

(E A) A （4分）

五、解答题13、解：（1）由 E A 0得A的特征值为 1 1， 2 2， 3 5。 （4

0 1

分）（2） 1 1的特征向量为 1 1 ， 2 2的特征向量为 2 0 ， 3 5的特征向量为

1 0

0

3 1。 （3分）（3）因为特征值不相等，则 1, 2, 3正交。

1

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

0 1 0 11

（2分）（4）将 1, 2,

3单位化得p1 （5） 1，p2 0，p3 1 （2分） 0 1

1

0100

0取

P

p1,p2,p3

（6）

1 1

PAP 0

0

020

0

0 5

（1分）14、解：该非齐次线性方程组Ax b对应的齐次方程组为Ax 0因R(A) 3，则齐

次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。 （

5

分

）

另

一

方

面

，

记

向

量

2 1 ( 2 3)

T

，

0

则

A A(2 1 2 3) 2A 1 A 2 A 3 2b b b 0直接计算得 (3,4,5,6)

， 就

是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为

3 2

4 3

x k 1 k ，k R。 （7分）15、解：将①与②联立得非齐次线性

54 6 5

0, x1 x2 x3

0, x1 2x2 ax3

方程组: 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且2

x 4x ax 0,23 1

x 2x x　　 a 1.23 1

③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A作初等行变换得

1 1A

1 1

1242

1aa

2

1

0 1 0 0

00 0a 1

1100

1a 1(a 2)(a 1)

1 a

0

0 0 a 1

. （4分）1°当a 1时，有

r(A) r(A) 2 3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此

时

1

0A

0 0

0100

1000

0 1

0

0，则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为:

0 1 0

,所以①与②

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

1

的全部公共解为k 0 ，k为任意常数. （4分）2° 当a 2时，有r(A) r(A) 3，

1

1

0

方程组③有唯一解, 此时A

0 0

0100

0010

0 0 1

1故方程组③的解为: 1 1 0

, 即①与②有唯一

0

公共解x 1 . （4分）全国2011

1

年4月高等教育自学考试线性代数（经

管类）试题课程代码：04184

说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．下列等式中，正确的是（ ） A

．C．5

B．

3D．

=

2．下列矩阵中，是

初等矩阵的为（ ）A． B

．

C． D．3．设A、B均为n阶可逆矩阵，且C

=，

则C-1是（ ）A．C．

B

．D．B．1 D．35．设向量

4．设A为3阶矩阵，A的秩r (A)=3，则

矩阵A*的秩r (A*)=（ ）A．0 C．2

若有常数a,b使C．a=1, b=-2

，

B．a=-1, b=2 b=26

．

向

量

组

，则（ ）A．a=-1, b=-2

D

．

a=1,

的极大线性无关组为（ ）

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

A

．B

．C

． D．7．设矩阵A

=，那么矩阵A的列向

量组的秩为（ ） A．3 C．1

有一个特征值等于（ ）

A

．

B．2 D．08．设

是可逆矩阵A

的一个特征值，则矩阵

B

．

C．

的特征向量为（ ）A．（0，0，0）T C．（1，0，-1）

T

D．9．设矩阵A=B．（0，2，-1）T

，则A的对应于特征值

D．（0，1，1）10．二次型f(x1,x2,x3) 2x12 x1x2 x22的

T

矩阵为（ ）A． B

．

C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小

题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11．行列

式

3

01 13

410 2

0102

12

__________.12．行列式

105

中第4行各元素的代数余子式之和为

__________.13．设矩阵A=

3

，B=（1，2，3），则BA=__________.14．设3阶方阵A的行列式|A|=

-1

-1

2

2

，

则|A|=__________.15．设A，B为n阶方阵，且AB=E，AB=BA=E，则A+B=__________.16．已知3维向量=（1，-3，3），

（1，0，-1）则+3=__________.17．设向量=（1，2，3，4），则的单

位化向量为__________.18．设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为__________.19．设3阶矩阵A与B相似，若A的特征值为,,|B|=__________.20．设A=

-1

111234

，则行列式

是正定矩阵，则a的取值范围为__________.三、计算题（本大题共6

小题，每小题9分，共54分）21．已知矩阵A=，B=

，求：（1）ATB；（2）|ATB|.

百度文库线性代数试题 及答案最强免费合集,类容详尽,覆盖面广

22．设A=，B=，C=，且满足AXB=C，求矩阵X.23．求向量组=（1, 2, 1, 0）

T

，=（1, 1, 1, 2），

T

=（3, 4, 3, 4），

T

=（4, 5, 6, 4）的秩与一个极大线性无关组. 24．判断线性

T

x1 x2 3x3 x4 1

方程组 2x1 x2 x3 4x4 2是否有解，有解时求出它的解.25．已知2阶矩阵A的特征值为

x 4x 5x 1

34 1

=1，=9，

对应的特征向量依次为=（-1，1），=（7，1），求矩阵A.26．已知矩阵A相似于对角矩阵Λ=

TT

，

求行列式|A-E|的值.四、证明题（本大题共6分）27．设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵.证明：

（1）AB-BA为对称矩阵；（2）AB+BA为反对称矩阵.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4afq.html