高中数学竞赛专题讲座 - 数列

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高中数学竞赛专题试题讲座——数列

一、选择题部分

1．（2006年江苏）已知数列?an?的通项公式an?

?A?a1

2n?4n?52，则?an?的最大项是（ B ）

?B?a2

?C?a3

?D?a4

32（2006安徽初赛）正数列满足a1?1,a2?10,an2an?2?10an n?3?，则lg(a100)? （ ）?t?A、98 B、99 C、100 D、101

3. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，?，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、?sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和”为 （ A ）

A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004

4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<

1125的最小整数n是 （ ）

B．6

C．7

13 A．5 D．8

的等比数列，

解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-8[1?(?1)]n∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)=

1?313=6-6×(-

13)n，∴|Sn-n-6|=6×(

13)n<

1125，

得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。 5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=

3xn?13?xn2005，则?xn= （ ）

n?1 A．1

xn?B．-1

3333xn C．2+3 D．-2+3

解：xn+1=

1?，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+

?6), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+3,

2005x3=-2-3, x4=-1, x5=-2+3, x6=2-3, x7=1，??，∴有?xn?x1?1。故选A。

n?1、{bn}6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{an}的前n项和分别为An，Bn记

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Cn?an?Bn?bn?An?an?bn(n?1)则数列{Cn}的前10项和为 ( C )

A10?B102 A .A10?B10 B. C.A10?B10 D.A10?B10 7．（2006年浙江省预赛）设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如f(123)?12?22?32?14。记f1(n)?f(n)，fk?1(n)?f(fk(n))，k?1,2,3,?，则

f2006(2006)＝

(A) （ D ）

20 (B) 4 (C) 42 (D) 145.

解： 将f(2006)?40记做2006?40，于是有

2006?40?16?37?58?89?145?42?20?4?16??

从16开始，

fn是周期为8的周期数列。故

f2006(2006)?f2004(16)?f4?250?8(16)?f4(16)?145. 正确答案为D。

二、填空题部分

1.数列

?an?的各项为正数,其前n项和

n?1___.

Sn满足Sn?12(an?1an),则

an=___n?2．（200 6天津）已知a,b,c,d都是偶数，且0?a?b?c?d，d?a?90，若a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列，则a?b?c?d的值等于 194 ．

1112345??10?610?345?111?11111?3. （2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，?，记这个数列前n项和为S(n)，则limn3=___________。

12n???S(n)4．（2006年江苏）等比数列?an?的首项为a1?2020，公比q??个数列的前n项的积，则当n? 12 时，f?n?有最大值．

．设f?n?表示这

5. 在x轴的正方向上，从左向右依次取点列 ?Aj?,j?1,2,?，以及在第一象限内的抛物线y?232x上从左向右依次取点列?Bk?,k?1,2,?，使?Ak?1BkAk（k?1,2,?）都是等

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边三角形，其中A0是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 2005。

【解】：设第n个等边三角形的边长为an。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点Bn的坐标为（a1?a2???an?1?an2，

an?3?。 ?a1?a2???an?1??）

2?2?再从第n个等边三角形上，我们可得Bn的纵坐标为

?1?2an??an??2?2?32an。从而有

32an?an12an?3?，即有 。 a?a?a???a?a?a???a??1?2n?1n12n?12?2?22an2122由此可得a1?a2???an?a1?a2???an?1?an?12?122?an （1） , 以及

an?1 （2） 12(an?an?1)?12(an?an?1)(an?an?1).

（1）－（2）即得 an?变形可得 (an?an?1?1)(an?an?1)?0.

由于an?an?1?0，所以 an?an?1?1。在（1）式中取n ＝ 1，可得 故a1?1。

因此第2005个等边三角形的边长为 a2005?2005。

6.(2005年浙江)已知数列xn，满足(n?1)xn?1?xn?n, 且x1?2， 则x2005=

xn?1n?1???12a1?12而a1?0，a1，

22005!?12005!。

【解】：由 (n?1)xn?1?xn?n，推出 xn?1?1?xn?1?1?1(n?1)!xn?1n?1?xn?1?1(n?1)n?xn?2?1(n?1)n(n?1)。因此有

x1?1(n?1)n(n?1)?2?1(n?1)!.

即有 xn?1??1。 从而可得 x2005?2005!?12005!a17?a272。

a3737. (2005全国)记集合T?{0,1,2,3,4,5,6},M?{??a474|ai?T,i?1,2,3,4},将M中

的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）

A．

57?572?673?374 B．

57?572?673?274 C．

17?172?073?474

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D．

17?172?073?374

解：用[a1a2?ak]p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以74，得

32M??{a1?7?a2?7?a3?7?a4|ai?T,i?1,2,3,4}?{[a1a2a3a4]7|ai?T,i?1,2,3,4}.

M? 中的最大数为[6666]7?[2400]10。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列

的第2005个数是2400-2004=396。而[396]10?[1104]7将此数除以74，便得M中的数

17?172?073?474.故选C。

8．（2004 全国）已知数列a0,a1,a2,...,an,...,满足关系式(3?an?1)(6?an)?18,且a0?3，

n则?i?o1ai的值是_________________________。

解：设bn?1an,n?0,1,2,...,则(3?131bn?1)(6?1bn)?18, 1即

3bn?1?6bn?1?0.?bn?1?2bn?,bn?1?13?2(bn?1) 故数列{bn?}是公比为2的33等比数列，

bn?13n?2(b0?n13)?2(n1a0?13)?13?2n?1?bn?13(2n?1?1)。

?ai?o1inni??bi?0??3(2i?01i?1n?1?1n?21?2(2?1)?1)???(n?1)???2?n?3?。

3?2?13?9．（2005四川）设r,s,t为整数，集合{a|a?2?2?2,0?t?s?r}中的数由小到大组成数列{an}：7,11,13,14,?，则a36? 131 。

2解：∵r,s,t为整数且0?t?s?r，∴r最小取2，此时符合条件的数有C2?1

rstr?3，s,t可在0,1,2中取，符合条件有的数有C3?3

2同理，r?4时，符合条件有的数有C4?6

r?5时，符合条件有的数有C5?10 r?6时，符合条件有的数有C6?15

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r?7时，符合条件有的数有C7?21

2因此，a36是r?7中的最小值，即a36?20?21?27?131

三、解答题部分

1．（200 6天津）已知数列{an}满足a1?p，a2?p?1，an?2?2an?1?an?n?20，其中p是给定的实数，n是正整数，试求n的值，使得an的值最小．

【解】令bn?an?1?an，n?1,2,?由题设an?2?2an?1?an?n?20，有

n?1n?1i?1bn?1?bn?n?20，且b1?1???5分 于是

?(bi?1?bi)??(i?20)i?1，即

bn?b1?[1?2???(n?1)]?2n(n?1)．

∴bn?(n?1)(n?40)2?1． （※） ???????10分

又a1?p，a2?p?1，则a3?2a2?a1?1?20?p?17?a1?a2． ∴当an的值最小时，应有n?3，an?an?1，且an?an?1．

即bn?an?1?an?0，bn?1?an?an?1?0． ???????? 15分 由（※）式，得??(n?1)(n?40)?2?(n?2)(n?41)??2* 由于n?3，且n?N，解得??n?40?n?40，

∴当n?40时，a40的值最小． ????????????????? 20分

2．（2006陕西赛区预赛）(20分)已知sin(2???)?3sin?,设tan??x,tan??y,记y?f(x)。

(1)求f(x) 的表达式; f(x)?(2)定义正数数列{an};a1?22n?2x1?2x22

*12,an?1?2an?f(an)(n?N)。试求数列{an}的通项公式。

an?n?1?1.

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5

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3．（2006安徽初赛）已知数列?an??n?0?满足a0?0，对于所有n?N?，有

an?1?230an?an??1?1a1n?，求5an的通项公式．

4. （2006吉林预赛）设{an}为一个实数数列，a1=t，an+1=4an(1－an)。求有多少个不同的实数t使得a2006=0。 （ 2

5．（2006年南昌市）将等差数列{an}:an?4n?1 (n?N*)中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{bn},求b2006的值.

解:由于an?15?an?60,故若an是3或5的倍数,当且仅当an?15是3或5的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+?)＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪?,注意第一个区间段中含有{an}的项

15

个,即8

个,

2004

+1）

3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{bn}的项

为:b1?7,b2?11,b3?19,b4?23,b5?31,b6?43,b7?47,b8?59,于是每个区间段中恰有15个{an}的项,8个{bn}的项,且有b8k?r?br?60k,k∈N,1≤r≤8.

由

于

2006

＝

8

×

250+6,

5.

而

b6?43,

所以

b2006?60?250?b6?60?250?43?16．（2004

湖南）设数列{an}满足条件：a1?1,a2?2，且

an?2?an?1?an(n?1,2,3,?)

求证：对于任何正整数n，都有 nan?1?1?1n

anakak?1ak?1ak?1(k?1,2,?)， 于是

证明：令 a0?1,则有 ak?1?ak?ak?1，且 1??nn??k?1akak?1n??k?1ak?1ak?1 由算术-几何平均值不等式，可得

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1?na1a2?a2a3???anan?1+na0a2?a1a3???an?1an?1

注意到 a0?a1?1，可知 1?1nan?1?n1anan?1 ，即 nan?1?1?1n

an7．（2006年上海） 数列?an?定义如下：a1?1，且当n?2时，

?an?1,当n为偶数时，??2 an??1,当n为奇数时．?a??n?1 已知an?3019，求正整数n．

解 由题设易知，an?0,n?1,2,?．又由a1?1，可得，当n为偶数时，an?1；当n(?1)是奇数时，an?30191an?1?1． ??????（4分）

由an??1，所以n为偶数，于是an?23019?1?1119?1，所以，

n2是奇数．

于是依次可得：an2??11911?1，

n2?1是偶数，an?2?41911?1?811?1，

n?24是奇数，

an?24??11188353?1，

n?64是偶数，an?6?811883?1?3853?1，

n?68是奇数，

an?68??1?1，

n?148是偶数，an?14?16?1??1，

n?1416是偶数，

an?14?32?1?23?1，

n?1432是奇数， ?????（9分）

an?1432??132?1，

n?4632是偶数，an?46?6432?1?12?1，

n?4664是奇数，

an?4664?2?1，

?1n?11064是偶数， an?110?2?1?1，

128所以，

n?110128?1，解得，n＝238． ?????? （14分）

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13. (2005全国)数列{an}满足：a0?1,an?1?7an?45an?3622,n?N.

证明：（1）对任意n?N,an为正整数；(2)对任意n?N,anan?1?1为完全平方数。 证明：（1）由题设得a1?5,且{an}严格单调递增.将条件式变形得2an?1?7an?22245an?36,两边平方整理得an?7anan?1?an?9?0 ① ?12?an?7an?1an?an?1?9?0 ②

2①-②得(an?1?an?1)(an?1?an?1?7an)?0,?an?1?an,?an?1?an?1?7an?0?

an?1?7an?ab?1. ③

由③式及a0?1,a1?5可知，对任意n?N,an为正整数.??????????10分

2（2）将①两边配方，得(an?1?an)?9(anan?1?1),?anan?1?1?(由③an?1?an?9an?(an?1?an)≡?(an?an?1)?mod3? ∴an?1?an≡(?1)nan?1an3).④

2?a1?a0?≡0（mod3）∴

an?1?an3为正整数

④式成立.?anan?1?1是完全平方数.??????????????20分

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