解一元二次方程（直接开方法、配方法、公式法、因式分解法）

一元二次方程

知识讲解

只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 【例题讲解】

例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等． 解：去括号，得： 40-16x-10x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0

其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．

小试牛刀

1. 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

2求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

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一元二次方程的解叫做一元二次方程的根

解一元二次方程:直接开方法 配方法 公式法 因式分解法 【例题讲解】

例1：解方程：x+4x+4=1 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1

所以，方程的两根x1=-1，x2=-3

例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．

解：设每年人均住房面积增长率为x， 则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因为增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．即，每年人均住房面积增长率应为20%．

例题共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思想称为“降次转化思想”

直接开方法：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的． 【小试牛刀】

1. 求出下列方程的根吗？

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2

（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0

2.某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

例题讲解 例1. 解下列方程

（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 解：（1）移项，得：x2+6x=-5 配方：x+6x+3=-5+3（x+3）=4 由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5 （2）移项，得：2x2+6x=-2

二次项系数化为1，得：x2+3x=-1 配方x2+3x+（ 由此可得x+

32335）=-1+（）2（x+）2= 22242

2

2

2

355353=±，即x1=-，x2=-- 222222 （3）去括号，整理得：x2+4x-1=0 移项，得x2+4x=1

配方，得（x+2）2=5 ， x+2=±5，即x1=5-2，x2=-5-2

从以上例题可以看出，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 配方法：总结用配方法解一元二次方程的步骤

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（1）移项；

（2）化二次项系数为1；

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；

（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

【小试牛刀】用配方法解以下方程

（1）3x2-5x=2． （2）x2+8x=9

（3）x2+12x-15=0 （4）

【课堂引入】例1. 用配方法解下列方程

（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52

例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）xm212

x-x-4=0 4?2+（m-2）x-1=0提出了下列问题．

若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．

解：存在．根据题意，得：m2+1=2 ，即 m2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0

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当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1

b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 x=

1?(?1)?91?3 即 x1=1，x2=- ?22?241． 2 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-

公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，

?b?b2?4ac?将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．

2a （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 小试牛刀

1．用公式法解下列方程．

（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 因式分解法

因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A·B＝0

A＝0或B＝0． 【例题精讲】

例1：用因式分解法解下列方程：

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(1)y2＋7y＋6＝0； (2)t(2t－1)＝3(2t－1)； (3)(2x－1)(x－1)＝1． 解：(1)方程可变形为(y＋1)(y＋6)＝0，y＋1＝0或y＋6＝0，∴y1＝－1，y2＝－6． (2)方程可变形为t(2t－1)－3(2t－1)＝0，(2t－1)(t－3)＝0，2t－1＝0或t－3＝0，∴t1＝，t2＝3．

3212(3)方程可变形为2x2－3x＝0．x(2x－3)＝0，x＝0或2x－3＝0．∴x1＝0，x2＝． 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．

(2)应用因式分解法解形如(x－a)(x－b)＝c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x－e)(x－f)＝0的形式，这时才有x1＝e，x2＝f，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：

原方程变形为：2x－1＝1或x－1＝1．∴x1＝1，x2＝2．

(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t－1)，请同学们思考？

【同步练习】 1．选择题

(1)方程(x－16)(x＋8)＝0的根是( )

A．x1＝－16，x2＝8 B．x1＝16，x2＝－8 C．x1＝16，x2＝8 D．x1＝－16，x2＝－8 (2)下列方程4x2－3x－1＝0，5x2－7x＋2＝0，13x2－15x＋2＝0中，有一个公共解是( )

A．．x＝

12B．x＝2 C．x＝1 D．x＝－1

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(3)方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解为( )

A．x1＝，x2＝3

35B．x＝ C．x1＝－，x2＝－3 D．x1＝，x2＝－3

353535(4)方程(y－5)(y＋2)＝1的根为( )

A．y1＝5，y2＝－2

B．y＝5

C．y＝－2

D．以上答案都不对

(5)方程(x－1)2－4(x＋2)2＝0的根为( )

A．x1＝1，x2＝－5 B．x1＝－1，x2＝－5 C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝－1，x2＝5 (6)一元二次方程x2＋5x＝0的较大的一个根设为m，x2－3x＋2＝0较小的根设为n，则m＋n的值为( )

A．1

B．2

C．－4

D．4

(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x2－16x＋55＝0的一个根，则第三边长是( )

A．5

(8)方程x2－3|x－1|＝1的不同解的个数是( )A．0 2．填空题

(1)方程t(t＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0的解为__________． (3)方程(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0的解为__________． (4)关于x的方程x2＋(m＋n)x＋mn＝0的解为__________． (5)方程x(x－5)＝5 －x的解为__________． 3．用因式分解法解下列方程：

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B．5或11 C．6 D．11

B．1 C．2 D．3

(1)x2＋12x＝0；

(4)x2－4x－21＝0；

(7)10x2－x－3＝0；

巩固提高练习

1. 用直接开平方法解下列方程：

（1）x2?225； （2）y2?144?0．

2. 解下列方程：

（1）(x?1)2?9； （2）(2x?1)2?3；

(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．

(5)(x－1)(x＋3)＝12；

(6)3x2＋2x－1＝0；

(2)4x2－1＝0； (3)x2＝7x；

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（3）(6x?1)2?25?0． （4）81(x?2)2?16．

3. 用直接开平方法解下列方程：

1（1）5(2y?1)2?180； （2）(3x?1)2?64；

4

（3）6(x?2)2?1； （4）(ax?c)2?b(b≥0，a?0) 4. 填空

（1）x2?8x?（ ）?（x? ）2．（2）x2?（3）y2?

5. 用适当的数（式）填空：

x2?3x?

2x?（ ）＝（x? ）2． 3by?（ ）＝（y? ）2． a ?(x?

)2；x2?px?

．

＝(x?

)2

3x2?2x?2?3(x?

)2?

6. 用配方法解下列方程

1）．x2?x?1?0 2）．3x2?6x?1?0 3）．(x?1)2?2(x?1)?

1?0 2 10

27. 方程x2?x?1?0左边配成一个完全平方式，所得的方程是

3 ．

8. 用配方法解方程．

3x2?6x?1?0 2x2?5x?4?0

9. 关于x的方程x2?9a2?12ab?4b2?0的根x1? ，x2? ． 10. 关于x的方程x2?2ax?b2?a2?0的解为 11. 用配方法解方程

（1）x2?x?1?0； （2）3x2?9x?2?0．

12. 用适当的方法解方程

（1）3(x?1)2?12； （2）y2?4y?1?0；

（3）x2?8x?84； （4）y2?3y?1?0．

13. 已知关于x的一元二次方程m2x2?(2m?1)x?1?0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．

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