大学物理上学习指导作业参考答案(DOC)

第一章 质点运动学

课 后 作 业

1、一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为] a＝2＋6 x2 (SI)

如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．

解：设质点在x处的速度为v，

a?dvdvdx???2?6x2 2分 dtdxdtvx ?vdv??2?6x2dx 2分

00?? v?2?x?x3?2 1分

1

2、一质点沿x轴运动，其加速度为a ? 4t (SI)，已知t ? 0时，质点位于x ??10 m处，初速度v??? 0．试求其位置和时间的关系式．

解： a?dv /dt?4t ， dv ?4t dt

vt?0dv??4tdt

0 v?2t2 3分

v?dx /d t?2t2

3、一质点沿半径为R的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为

1S?bt?ct2 其中b、c是大于零的常量，求从t?0开始到切向加速度与法向

2加速度大小相等时所经历的时间．

解： v?dS/dt?b?ct 1分

at?dv/dt?c 1分 an??b?ct?/R 1分

根据题意： at = an 1分

2即 c??b?ct?/R

2?dx??2tx00xt2dt

x?2 t3 /3+x0 (SI) 2分

解得 t?

Rb? 1分 cc- 1 -

4、如图所示，质点P在水平面内沿一半径为R=2 m的圆轨道转动．转动的角速度?与时间t的函数关系为??kt2 (k为常量)．已知t?2s时，质点P的速度值为32 m/s．试求t?1s时，质点P的速度与加速度的大小．

P O R

解：根据已知条件确定常量k

k?ω/t2?v/Rt2?4rad/s2 1分

??4t2, v?R??4Rt2

t?1s时， v = 4Rt2 = 8 m/s 1分 at?dv/dt?8Rt?16m/s2 1分

?? an?v2/R?32m/s2 1分

2? a??at2?an1/2?35.8 m/s2 1分

5、一敞顶电梯以恒定速率v ?10 m/s上升．当电梯离地面h =10 m时，一小孩竖直向上抛出一球．球相对于电梯初速率v0?20 m/s．试问： (1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？ (2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？

解：(1) 球相对地面的初速度

v??v0?v?30 m/s 1分

v?2抛出后上升高度 h??45.9 m/s 1分

2g离地面高度 H = (45.9+10) m =55.9 m 1分 (2) 球回到电梯上时电梯上升高度＝球上升高度

1 vt?(v?v0)t?gt2 1分

22v t?0?4.08 s 1分

g

6、在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如图所示．当人以?0(m·s?1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

- 2 -

解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知

l2?h2?s2

将上式对时间t求导，得

dlds 2l?2s

dtdt 题1-4图

根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，

dlds∴ v绳???v0,v船??

dtdt即 v船??vdsldll???v0?0 dtsdtscos?lv0(h2?s2)1/2v0?或 v船? ss将v船再对t求导，即得船的加速度

dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtss 2l2(?s?)v02h2v0s??3s2ss

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第二章 运动与力

课 后 作 业

M l h ??

1、 一人在平地上拉一个质量为M的木箱匀速前进，如图. 木箱与地面间的摩擦系数μ＝0.6.设此人前进时，肩上绳的支撑点距地面高度为h＝1.5 m，不计箱高，问绳长l为多长时最省力?

解：设绳子与水平方向的夹角为θ，则sin??h/l． 木箱受力如图所示，匀速前进时, 拉力为F, 有

F cosθ－f ＝0 2分

F sinθ＋N－Mg＝0 f＝μN

?Mg得 F? 2分

co?s??sin?dF?Mg(?sin???co?s)令 ???0 2d?(co?s??sin?)? N ∴ tg????0.6，??30?57?36?? 2分

?d2FF ?0 且 ?2d?f ????P?Mg ∴ l＝h / sinθ＝2.92 m时，最省力．

2、一质量为60 kg的人，站在质量为30 kg的底板上，用绳和滑轮连接如图．设滑轮、绳的质量及轴处的摩擦可以忽略不计，绳子不可伸长．欲使人和底板能以1 m/s2的加速度上升，人对绳子的拉力T2多大？人对底板的压力多大? (取g＝10 m/s2)

解：人受力如图(1) 图2分 T2?N?m1g?m1a 1分

- 4 -

m2m1

底板受力如图(2) 图2分 T1?T2?N??m2g?m2a 2分

T1?2T2 1分 N??N

由以上四式可解得 4T2?m1g?m2g?(m1?m2)a

∴ T2?(m1?m2)(g?a)/4?247.5 N 1分

N??N?m1(g?a)?T2?412.5 N 1分

3、一条轻绳跨过一轻滑轮(滑轮与轴间摩擦可忽略)，在绳的一端挂一质量为m1的物体，在另一侧有一质量为m2的环，求当环相对于绳以恒定的加速度a2沿绳向下滑动时，物体和环相对地面的加速度各是多少？环与绳间的摩擦力多大？

m2m1?a2

解：因绳子质量不计，所以环受到的摩擦力在数值上等于绳子张力T ．设m2相

?，对地面的加速度为a2取向上为正；m1相对地面的加速度为a1(即绳子的加速度)，

取向下为正． 1分

m1g?T?m1a1 2分

? 2分 T?m2g?m2a2??a1?a2 2分 a2(m?m2)g?m2a2解得 a1?1 1分

m1?m2(2g?a2)m1m2 T? 1分

m1?m2(m?m2)g?m1a2??1 a2 1分

m1?m2

4、一条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为L，一端拴在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度?在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T( r)．

- 5 -

O L O′

解：取距转轴为r处，长为d r的小段绳子，其质量为 ( M/L ) dr ． (取元，画元的受力图) 2分

由于绳子作圆周运动，所以小段绳子有径向加速度，

r d r 由牛顿定律得： O T ( r )?T ( r + dr ) = ( M / L) dr r?2

令 T ( r )－T (r + dr ) =?? dT ( r)

T(r) T(r+dr)

得 dT =－( M?2 / L) r dr 4分 O′ 由于绳子的末端是自由端 T (L) = 0

1分

0L2有

T(r)?dT???(M?r/L)rdr

∴ T(r)?M?2(L2?r2)/(2L) 3分

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第三章 动量与角动量

课 后 作 业

h A ?v 1、如图，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高h＝0.5 m处，煤粉自料斗口自由落在A上．设料斗口连续卸煤的流量为qm＝40 kg/s，A以v＝2.0 m/s的水平速度匀速向右移动．求装煤的过程中，煤粉对A的作用力的大小和方向．（不计相对传送带静止的煤粉质重）

解：煤粉自料斗口下落，接触传送带前具有竖直向下的速度

v0?2gh 1分

设煤粉与A相互作用的?t时间内，落于传送带上的煤粉质量为

?m?qm?t 1分

? 设A对煤粉的平均作用力为f，由动量定理写分量式：

fx?t??mv?0 1分

fy?t?0?(??mv0) 1分

将 ?m?qm?t代入得 fx?qmv， fy?qmv0

∴ f?fx2?fy2?149 N 2分

? f与x轴正向夹角为? = arctg (fx / fy ) = 57.4° 1分

? 由牛顿第三定律煤粉对A的作用力f′= f = 149 N，方向与图中f相反．2分

30°F 2、质量为1 kg的物体，它与水平桌面间的摩擦系数? = 0.2 ．现对物体施以F = 10t (SI)的力，（t表示时刻），力的方向保持一定，如图所示．如t = 0时物体静止，则t = 3 s时它的速度大小v 为多少?

解：由题给条件可知物体与桌面间的正压力

N?Fsin30??mg 1分

物体要有加速度必须 Fcos30???N 2分 即 5(3??)t??mg， t?0.256s?t0 1分

t物体开始运动后，所受冲量为 I??(Fcos30???N)dt

t0 - 7 -

2 ?3.83(t2?t0)?1.96(t?t0)

t = 3 s, I = 28.8 N s 2分 则此时物体的动量的大小为 mv?I

I速度的大小为 v??28.8 m/s 2分

m

3、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h＝19.6 m处炸裂成质量相等的两块．其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上．设此处与发射点的距离S1＝1000 m，问另一块落地点与发射地点间的距离是多少？（空气阻力不计，g＝9.8 m/s2） 解：因第一块爆炸后落在其正下方的地面上，说明它的速度方向是沿竖直方向的．

1利用 h?v1t??gt?2， 式中t?为第一块在爆炸后落到地面的时间． 可解得v1

2＝14.7 m/s，竖直向下．取y轴正向向上, 有v1y＝－14.7 m/s 2分 设炮弹到最高点时(vy＝0)，经历的时间为t，则有

S1 = vx t ① h=

12gt ② 2由①、②得 t=2 s , vx =500 m/s 2分 ?以v2表示爆炸后第二块的速度，则爆炸时的动量守恒关系如图所示．

1 mv2x?mvx ③

211 mv2y?mv1y?mvy?0 ④

22解出 v2x =2vx =1000 m/s， v2y =-v1y =14.7 m/s 3分 再由斜抛公式 x2= S1 +v2x t2 ⑤

12 y2=h+v2y t2-gt2 ⑥

2落地时 y2 =0，可得 t2 =4 s , t2＝－1 s（舍去） 故 x2＝5000 ｍ 3分

l?v0?v mM

4、质量为M＝1.5 kg的物体，用一根长为l＝1.25 m的细绳悬挂在天花板

上．今有一质量为m＝10 g的子弹以v0＝500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出

- 8 -

物体时子弹的速度大小v ＝30 m/s，设穿透时间极短．求：

(1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．

解：(1) 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置．因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时物体的水平速度为v?

有 mv0 = mv+M v?

v? = m(v0 ? v)/M =3.13 m/s 2分 T =Mg+Mv2/l =26.5 N 2分

? (2) f?t?mv?mv0??4.7N?s (设v0方向为正方向) 2分

?负号表示冲量方向与v0方向相反． 2分 教师评语 教师签字 月 日 - 9 -

第四章 功和能

课 后 作 业

1、一质量为m的质点在Oxy平面上运动，其位置矢量为

???r?acos?ti?bsin?tj(SI) 式中a、b、?是正值常量，且a＞b． (1)求质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的动能；

?? (2)求质点所受的合外力F以及当质点从A点运动到B点的过程中F的分力

??Fx和Fy分别作的功．

???解：(1)位矢 r?aco?sti?bsin?tj (SI)

?t ， y?bsin?t 可写为 x?acosdxdy??a?sin?t， vy???b?cos?t vx?dtdt在A点(a，0) ，cos?t?1，sin?t?0

11122?mvy?mb2?2 2分 EKA=mvx222在B点(0，b) ，cos?t?0，sin?t?1

11122?mvy?ma2?2 2分 EKB=mvx222?????22(2) F?maxi?mayj=?ma?cos?ti?mb?sin?tj 2分

1ma2?2 2分

aaa2bbb1 Wy??Fydy???m?2bsin?tdy=??m?2ydy??mb2?2 2分

0002

2、劲度系数为k的轻弹簧，一端固定，另一端与桌面上的质量为m的小球B相连接．用外力推动小球，将弹簧压缩一段距离L后放开．假定小球所受的滑动摩擦力大小为F且恒定不变，滑动摩擦系数与静摩擦系数可视为相等．试求L必须满足什么条件时，才能使小球在放开后就开始运动，而且一旦停止下来就一直保持静止状态．

由A→B Wx??0Fxdx???m?aco?stdx=??m?2xdx?200 k B L O

解：取弹簧的自然长度处为坐标原点O，建立如图所示的坐标系．在t=0时，静止于x＝－L的小球开始运动的条件是

kL＞F ① 2分

- 10 -

小球运动到x处静止的条件，由功能原理得

11 ?F(L?x)?kx2?kL2 ② 2分

222F由② 解出 x?L?

k2F使小球继续保持静止的条件为 kx?kL??F ③ 2分

kF3F所求L应同时满足①、③式，故其范围为

kk

B x O L B

x

x

3、一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的

长度为a．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为?．令链条由静止开始运动，则 (1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？

l?a a

(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？

解：(1)建立如图坐标.

某一时刻桌面上全链条长为y,则摩擦力大小为

f??myg 1分 l00m摩擦力的功 Wf??fdy???gydy 2分

l?al?al?mg20?mgyl?a =?(l?a)2 2分 =2l2l112 (2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ∑W＝mv2?mv0

22其中 ∑W = W P＋Wf ，v0 = 0 1分

mgmg(l2?a2)xdx? WP =?Pdx=? ala2lll 2分

- 11 -

由上问知 Wf???mg(l?a)22lmg(l2?a2)?mg1?(l?a)2?mv2 所以

2l2l21g2222(l?a)??(l?a)得 v? 2分 l

?? ?v0 ??h 4、一物体与斜面间的摩擦系数? = 0.20，斜面固定，倾角? = 45°．现给予物体以初速率v 0 = 10 m/s，使它沿斜面向上滑，如图所示．求： 物体能够上升的最大高度h；

该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v ．

12?mgh解：(1)根据功能原理，有 fs?mv0 2分 2?Nhcos?12??mgh??mghctg??mv0?mgh 2分 fs?sin?sin?22v0 h?=4.5 m 2分

2g(1??ct?g)1 (2)根据功能原理有 mgh?mv2?fs 1分

21??mghctg? 1分 mv2?mgh2 v??2gh(1??ct?g)?2=8.16 m/s 2分

1

- 12 -

教师评语 教师签字 月 日 第五章 刚体的转动

课 后 作 业

m,rmm,r2m

1、一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴

1光滑．两个定滑轮的转动惯量均为mr2．将由两个定滑轮以及质量为m和2m

2的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力．

解：受力分析如图所示． 2分 ????T 2mg－T1＝2ma 1分

T2 T2－mg＝ma 1分 T1 12 m a a T1 r－T r＝mr? 1分 ?2m 2P1 ? P2 1 T r－T2 r＝mr2? 1分 2 a＝r? 2分

解上述5个联立方程得： T＝11mg / 8 2分

O A 2、一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的半径为R,质量为M / 4，均匀分布在其边缘上．绳子的A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端

1B系了一质量为M的重物，如图．设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时，绳

2与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？(已知滑轮对通过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量J＝MR2 / 4 )

解：受力分析如图所示．

- 13 -

B

设重物的对地加速度为a，向上.则绳的A端对地有加速度a向下，人相对于绳虽为匀速向上，但相对于地其加速度仍为a向下. 2分 根据牛顿第二定律可得：

对人： Mg－T2＝Ma ① 2分

11对重物： T1－Mg＝Ma ② 2分

22 根据转动定律，对滑轮有

(T2－T1)R＝J?＝MR2? / 4 ③ 2分

因绳与滑轮无相对滑动， a＝?R ④ 1分 ①、②、③、④四式联立解得 a＝2g / 7 1分

r O

3、一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S．试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示)．

解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，则根据牛顿运动定律和转动定律得：

mg-T＝ma ① 2分 T r＝J? ② 2分 由运动学关系有： a = r? ③ 2分 由①、②、③式解得： J＝m( g－a) r2 / a ④ 又根据已知条件 v0＝0

1∴ S＝at2， a＝2S / t2 ⑤ 2分 ??2T r 2gt a 将⑤式代入④式得：J＝mr2(－1) 2分 2ST mg

m - 14 -

O m1 ,l ?v1 m2 ?v2 A 俯视图

4、有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为?的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动．另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时

??间极短．已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示．求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间.(已知棒绕O点的转动惯量

1J?m1l2)

3 解：

对棒和滑块系统，在碰撞过程中，由于碰撞时间极短，所以棒所受的摩擦力 矩<<滑块的冲力矩．故可认为合外力矩为零，因而系统的角动量守恒，即

1分

1 m2v1l＝－m2v2l＋m1l2? ① 3分

3碰后棒在转动过程中所受的摩擦力矩为

lm1 Mf????g1x?dx???m1gl ② 2分

0l2t由角动量定理 ?Mfdt?0?1m1l2? ③ 2分

03v?v2由①、②和③解得 t?2m21 2分

?m1g

- 15 -

教师评语 第六章 狭义相对论基础

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1、一体积为V0，质量为m0的立方体沿其一棱的方向相对于观察者A以速度v运动．求：观察者A测得其密度是多少？

解：设立方体的长、宽、高分别以x0，y0，z0表示，观察者A测得立方体的长、宽、高分别为 x?x0 教师签字 月 日 v21?2，y?y0，z?z0． cv2相应体积为 V?xyz?V01?2 3分

cm0观察者Ａ测得立方体的质量 m?

2v1?2cv2m0/1?2m0c?故相应密度为 ??m/V? 2分 22vvV0(1?2)V01?2cc

2、在O参考系中，有一个静止的正方形，其面积为 100 cm2．观测者O＇以 0.8c的匀速度沿正方形的对角线运动．求O＇所测得的该图形的面积．

解：令O系中测得正方形边长为a，沿对角线取x轴正方向(如图)，则边长在坐标轴上投影的大小为

- 16 -

112a，ay?2a y 22面积可表示为： S?2ay?ax 2分

ax?x在以速度v相对于O系沿x正方向运动的O＇系中

Oa122a a?x?ax1?(v/c) =0.6×212a a?y?ay?2在O＇系中测得的图形为菱形，其面积亦可表示为

a S??2a?y?a?22 x?0.6a?60 cm

- 17 -

3分

3、一艘宇宙飞船的船身固有长度为L0 =90 m，相对于地面以v?0.8 c (c为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过．

(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？ (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？

解：(1) 观测站测得飞船船身的长度为 L?L01?(v/c)2?54 m 则 ?t1 = L/v =2.25×10-7 s 3分 (2) 宇航员测得飞船船身的长度为L0，则 ?t2 = L0/v =3.75×10-7 s 2分

4、半人马星座?星是距离太阳系最近的恒星，它距离地球S = 4.3×1016 m．设有一宇宙飞船自地球飞到半人马星座?星，若宇宙飞船相对于地球的速度为v = 0.999 c，按地球上的时钟计算要用多少年时间？如以飞船上的时钟计算，所需时间又为多少年？

S解：以地球上的时钟计算： ?t??4.5 年 2分

vv2以飞船上的时钟计算： ?t???t1?2?0.20 年 3分

c

5、在惯性系S中，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生?t =2s；而在另一惯性系S＇中，观测第二事件比第一事件晚发生?t?=3s．那么在S＇系中发生两事件的地点之间的距离是多少？

解：令S＇系与S系的相对速度为v，有

?t ?t??， (?t/?t?)2?1?(v/c)2

1?(v/c)2则 v?c?(1?(?t/?t?)2)1/2 ( = 2.24×108 m·s-1 ) 4分 那么，在S＇系中测得两事件之间距离为： ?x??v??t??c(?t?2??t2)1/2= 6.72×108 m 4分

6、要使电子的速度从v1 =1.2×108 m/s增加到v2 =2.4×108 m/s必须对它作多少功？ (电子静止质量me ＝9.11×10-31 kg)

解：根据功能原理，要作的功 W = ?E

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根据相对论能量公式 ?E = m2c2- m1c2

2分

根据相对论质量公式 m2?m0/[1?(v2/c)2]1/2

m1?m0/[1?(v1/c)2]1/2 1分

11-∴ W?m0c2(?)＝4.72×1014 J＝2.95×105 eV 2v2v121?21?2cc2分

教师评语

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教师签字 月 日

第七章 振动

课 后 作 业

1、一个轻弹簧在60 N的拉力作用下可伸长30 cm．现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4 kg．待其静止后再把物体向下拉10 cm，然后释放．问：

(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？

(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？二者在何位置开始分离？

解：(1) 小物体受力如图．

设小物体随振动物体的加速度为a，按牛顿第二定律有（取向下为正） mg?N?ma 1分

N?m(g?a)

当N = 0，即a = g时，小物体开始脱离振动物体，已知 1分

60N/m A = 10 cm，k?0.3有 ??k/m?50 rad·s-1 2分 系统最大加速度为 amax??2A?5 m·s-2 1分 此值小于g，故小物体不会离开． 1分

(2) 如使a > g，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0求得 g?a???2x 2分 x??g/?2??19.6 cm 1分 即在平衡位置上方19.6 cm处开始分离，由amax??2A?g，可得

A?g/?2=19.6 cm． 1分 2、一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且AB = 10 cm求：

(1) 质点的振动方程； A B ?x (2) 质点在A点处的速率． v

解： T = 8 s， ? = (1/8) s-1， ???????????????? s-1 3分

(1) 以AB的中点为坐标原点，x轴指向右方． t = 0时， x??5 cm?Acos? t = 2 s时， x?5 cm?Acos(2???)??Asin?

由上二式解得 tg? = 1 因为在A点质点的速度大于零，所以? = -3?/4或5?/4（如图） 2分 A?x/co?s?52 cm 1分

- 20 -

t?3?) (SI) 1分 ∴ 振动方程 x?52?10?2cos?(44?2?52??10dx (2) 速率 v??sin?(t?3?) (SI) 2分 dt444当t = 0 时，质点在A点 v?dx??52??10?2sin(?3?)?3.93?10?2 m/s 1分 dt44

mFx 3、一质量为m的质点在力F = -?2x的作用下沿x轴运动．求

0其运动的周期．

解：将F = -?2x与F = -kx比较，知质点作简谐振动，

k = ?2． 3分 又 ??

k? 4分 ?mm2??2m 3分 T??

4、一物体同时参与两个同方向的简谐振动： x1?0.04cos2(?t?1?) (SI), x2?0.03cos(2?t??) (SI)

2求此物体的振动方程．

?(t??) 解：设合成运动（简谐振动）的振动方程为 x?Acos2则 A2?A12?A2?2A1A2cos?(2??1) ① 2分 以 A1 = 4 cm，A2 = 3 cm，?2??1???1??1?代入①式，得

22 A?42?32cm?5 cm 3分 A1sin?1?A2sin?2又 ??arctg ②

A1co?s1?A2co?s2 ≈127°≈2.22 rad 3分 ∴ x?0.05cos(2?t?2.22) (SI) 2分

- 21 -

5、在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在32 s内完成48次振动，振幅为5 cm．

(1) 上述的外加拉力是多大？

(2) 当物体在平衡位置以下1 cm处时，此振动系统的动能和势能各是多少？

解一：(1) 取平衡位置为原点，向下为x正方向．设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为?l，则有mg?k?l, 加拉力F后弹簧又伸长x0，则

F?mg?k(?l?x0)?0

解得 F= kx0 2分 由题意，t = 0时v 0 = 0；x = x0又由题给物体振动周期T?

2?(v0/?)2?x0 2分 则 A?x0322? s, 可得角频率 ??, k?m?2 48T∴ F?kA?(4?2m/T2)A?0.44 4N 1分

(2) 平衡位置以下1 cm处： v2?(2?/T)2(A2?x2) 2分

1 EK?mv2?1.07?10?2 J 2分

211 Ep?kx2?(4?2m/T2)x2 = 4.44×10-4 J 1分

22解二：(1) 从静止释放，显然拉长量等于振幅A（5 cm），

F?kA 2分

k?m?2?4m?2?2，? = 1.5 Hz 2分 ∴ F = 0.444 N 1分

11 (2) 总能量 E?kA2?FA?1.11?10?2 J 2分

22当x = 1 cm时，x = A/5，Ep占总能量的1/25，EK占24/25． 2分 ∴ EK?(24/25)E?1.07?10?2 J， Ep?E/25?4.44?10?4 J 1分

6、如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m，重物的质量m = 6 kg，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m时撤去力F．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．

m O F x

- 22 -

解：设物体的运动方程为 x?Acos?(t??)．

恒外力所做的功即为弹簧振子的能量： F×0.05 = 0.5 J． 2分 当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J，即：

1 kA2?0.5 J， ∴ A = 0.204 m． 2分

2A即振幅． ?2?k/m?4 (rad/s)2

? = 2 rad/s． 2分 按题目所述时刻计时，初相为? = ?．∴ 物体运动方程为 2分

x?0.20c4os2(t??) (SI)． 2分

教师评语 教师签字 月 日 - 23 -

第八章 波动

课 后 作 业

1、一平面简谐波沿x轴正向传播，波的振幅A = 10 cm，波的角频率? = 7? rad/s.当t = 1.0 s时，x = 10 cm处的a质点正通过其平衡位置向y轴负方向运动，而x = 20 cm处的b质点正通过y = 5.0 cm点向y轴正方向运动．设该波波长? >10 cm，求该平面波的表达式．

解：设平面简谐波的波长为?，坐标原点处质点振动初相为?，则该列平面简谐波

的表达式可写成 y?0.1cos7(?t?2?x/???) (SI) t = 1 s时 y?0.1cos7[??2?(0.1/?)??]?0 因此时a质点向y轴负方向运动，故

7??2?(0.1/?)???12? 而此时，b质点正通过y = 0.05 m处向y轴正方向运动，应有

y?0.1cos[7??2?(0.2/?)??]?0.05 且 7??2?(0.2/?)????13? 由①、②两式联立得 ?? = 0.24 m ???17?/3 ∴ 该平面简谐波的表达式为 y?0.1cos[7?t??x0.12?173?] (SI) 或 y?0.1cos[7?t??x0.12?13?] (SI)

y (m) u = 0.08 m/s P x (m) O 0.20 0.40 0.60 -0.04

2、图示一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，求 (1) 该波的波动表达式； (2) P处质点的振动方程．

解：(1) O处质点，t = 0 时 y0?Aco?s?0， v0??A?sin??0 所以 ???12?

- 24 -

2分

① 2分

② 2分

1分 1分

2分

2分

又 T??/u? (0.40/ 0.08) s= 5 s 2分

tx?[?(?)?] (SI) 4分 故波动表达式为 y?0.04cos250.42 (2) P处质点的振动方程为

t0.2?3?[?(?)?]?0.04cos0(.4?t?) (SI) 2分 yP?0.04cos250.422

3、沿x轴负方向传播的平面简谐波在t = 2 s时刻的波形曲线如图所示，设波速u = 0.5 m/s． 求：原点O的振动方程．

y (m)0.5O1ut = 2 s2x (m)

解：由图，? = 2 m， 又 ∵u = 0.5 m/s，∴ ? = 1 /4 Hz， 3分

11T = 4 s．题图中t = 2 s =T．t = 0时，波形比题图中的波形倒退?，见

22图． 2分

此时O点位移y0 = 0（过平衡位置）且朝y轴负方向运动，

1∴ ??? 2分

211∴ y?0.5cos(?t??) (SI) 3分

22

4、一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，波的表达式为 y?Acos2?(?t?x/?), 而另一平面简谐波沿Ox轴负方向传播，波的表达式为 y?2Acos2?(?t?x/?) 求：(1) x = ? /4 处介质质点的合振动方程； (2) x = ? /4 处介质质点的速度表达式．

解：(1) x = ? /4处

11(??t??) , y2?2Acos(2??t??) 2分 y1?Acos222∵ y1，y2反相 ∴ 合振动振幅 As?2A?A?A , 且合振动的初相? 和y2的

1初相一样为?． 4分

2

- 25 -

1(??t??) 1分 合振动方程 y?Acos221 (2) x = ? /4处质点的速度 v?dy/dt??2??Asin2(??t? ?)

2 ?2??Acos2(??t??) 3分

xt 5、设入射波的表达式为 y1?Acos2?(?)，在x = 0处发生反射，反射

?T点为一固定端．设反射时无能量损失，求

(1) 反射波的表达式； (2) 合成的驻波的表达式； (3) 波腹和波节的位置．

解：(1) 反射点是固定端，所以反射有相位突变?，且反射波振幅为A，因此反 射波的表达式为 y2?Acos2[?(x/??t/T)??] 3分 (2) 驻波的表达式是 y?y1?y2

11(?x/???)cos2(?t/T??) 3分 ?2Acos2221 (3) 波腹位置： 2?x/????n?, 2分

211 x?(n?)?, n = 1, 2, 3, 4,…

2211 波节位置： 2?x/????n??? 2分

221 x?n? , n = 1, 2, 3, 4,…

2

6、如图所示，一平面简谐波沿x轴正方向传播，BC为波密媒质的反射面．波由P点反射，OP = 3? /4，DP = ? /6．在t = 0时，O处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动．求D点处入射波与反射波的合振动方程．（设入射波和反射波的振幅皆为A，频率为?．）

入射 O B x D P 反射 C

- 26 -

解：选O点为坐标原点，设入射波表达式为 y1?Acos2[?(?t?x/?)??] 2分

2[π(?t?则反射波的表达式是 y2?AcosOP?OP?x?)???π] 2分

合成波表达式（驻波）为 y?2Acos2(?x/?)cos2(??t??) 2分 在t = 0时，x = 0处的质点y0 = 0， (?y0/?t)?0，

1故得 ??? 2分

2因此，D点处的合成振动方程是

3?/4??/6?(?)cos2(??t?)?3Asin y?2Acos22??t 2分

?2 教师评语 教师签字 月 日 - 27 -

第九章 温度和气体动理论

课 后 作 业

1、黄绿光的波长是5000A(1A=10 ?10 m)．理想气体在标准状态下，以黄绿光的波长为边长的立方体内有多少个分子?(玻尔兹曼常量k＝1.38×10??23J·K?1)

解：理想气体在标准状态下，分子数密度为

n = p / (kT)＝2.69×1025 个/ m3 3分 以5000A为边长的立方体内应有分子数为

N = nV＝3.36×106个． 2分

2、已知某理想气体分子的方均根速率为 400 m·s?1．当其压强为1 atm时，求气体的密度．

11解： p?nmv2??v2

33∴ ??3p/v2?1.90 kg/m3 5分

3、一瓶氢气和一瓶氧气温度相同．若氢气分子的平均平动动能为 w= 6.21×10?21 J．试求：

(1) 氧气分子的平均平动动能和方均根速率． (2) 氧气的温度．

(阿伏伽德罗常量NA＝6.022×1023 mol-1，玻尔兹曼常量k＝1.38×10?23 J·K?1)

解：(1) ∵ T相等, ∴氧气分子平均平动动能＝氢气分子平均平动动能w

＝6.21×10-21 J．

且 ?v2????1/2??2w/m?1/2?483 m/s 3分

(2) T?2w/?3k?＝300 K． 2分

4、某理想气体的定压摩尔热容为29.1 J·mol?1·K?1．求它在温度为273 K时分子平均转动动能． (玻尔兹曼常量k＝1.38×10?23 J·K?1 )

- 28 -

i?2iR?R?R， 222?CP?R??C?∴ i??2?P?1??5， 2分

R?R?可见是双原子分子，只有两个转动自由度.

?r?2kT/2?kT?3.77?10?21 J 3分

5、一超声波源发射超声波的功率为10 W．假设它工作10 s，并且全部波动能量都被1 mol氧气吸收而用于增加其内能，则氧气的温度升高了多少？ (氧气分子视为刚性分子，普适气体常量R＝8.31 J·mol?1·K?1 )

1解： A= Pt = viR?T， 2分

2∴ ?T = 2Pt /(v iR)＝4.81 K． 3分

6、1 kg某种理想气体，分子平动动能总和是1.86×106 J，已知每个分子的质量是3.34×10?27 kg，试求气体的温度． （玻尔兹曼常量 k＝1.38×10?23 J·K?1）

解： N= M / m＝0.30×1027 个 1分 w?EK/N?6.2×10?21 J 1分

2w T?= 300 K 3分

3k 解： CP?教师评语 教师签字 月 日 - 29 -

第十章 热力学第一定律

课 后 作 业

1、一定量的单原子分子理想气体，从初态A出发，沿图示直线过程变到另一状态B，又经过等容、等压两过程回到状态A． (1) 求A→B，B→C，C→A各过程中系统对外所作的功W，内能的增量?E以及所吸收的热量Q．

(2) 整个循环过程中系统对外所作的总功以及从外界吸收的总热量(过程吸热的代数和)．

p (105 Pa) 3 2 1 O A 1 C V (10?3 m3) 2 B

1(pB?pA)(VB?VA)=200 J． 2 ΔE1=??CV (TB－TA)=3(pBVB－pAVA) /2=750 J

Q=W1+ΔE1＝950 J． 3分

B→C： W2 =0

ΔE2 =??CV (TC－TB)=3( pCVC－pBVB ) /2 =－600 J．

Q2 =W2+ΔE2＝－600 J． 2分 C→A： W3 = pA (VA－VC)=－100 J．

3 ?E3??CV(TA?TC)?(pAVA?pCVC)??150 J．

2 Q3 =W3+ΔE3＝－250 J 3分 (2) W= W1 +W2 +W3=100 J． Q= Q1 +Q2 +Q3 =100 J 2分

2、1 mol双原子分子理想气体从状态A(p1,V1)沿p ?V图所示直线变化到状态B(p2,V2)，试求： 气体的内能增量．

气体对外界所作的功． 气体吸收的热量．

此过程的摩尔热容．

5解：(1) ?E?CV(T2?T1)?(p2V2?p1V1) 2分

2解：(1) A→B： W1? - 30 -

1(p1?p2)(V2?V1)， 2W为梯形面积，根据相似三角形有p1V2= p2V1，则

1 W?(p2V2?p1V1)． 3分

2 (3) Q =ΔE+W=3( p2V2－p1V1 )． 2分 (4) 以上计算对于A→B过程中任一微小状态变化均成立，故过程中

ΔQ =3Δ(pV)． 由状态方程得 Δ(pV) =RΔT， 故 ΔQ =3RΔT，

摩尔热容 C=ΔQ/ΔT=3R． 3分

(2) W?pp2p1OABV1V2V

(摩尔热容C =?Q/?T，其中?Q表示1 mol物质在过程中升高温度?T时所

吸收的热量．)

3、一定量的理想气体，由状态a经b到达c．(如图， abc为一直线)求此过程中

p (atm) a 3 2 1 0 b c V (L) 1 2 3

气体对外作的功； 气体内能的增量；

气体吸收的热量．(1 atm＝1.013×105 Pa)

解：(1) 气体对外作的功等于线段ac下所围的面积

W＝(1/2)×(1+3)×1.013×105×2×10?3 J＝405.2 J 3分 (2) 由图看出 PaVa=PcVc ∴Ta=Tc 2分 内能增量 ?E?0． 2分

(3) 由热力学第一定律得

Q=?E +W=405.2 J． 3分

- 31 -

4、如图所示，abcda为1 mol单原子分子理想气体的循环过程，求：

p (×105 Pa)bc21OadV (×10?3 m3)23

(1) 气体循环一次，在吸热过程中从外界共吸收的热量； (2) 气体循环一次对外做的净功；

(3) 证明 在abcd四态, 气体的温度有TaTc=TbTd．

解：(1) 过程ab与bc为吸热过程， 吸热总和为 Q1=CV(Tb－Ta)+Cp(Tc－Tb)

35 ?(pbVb?paVa)?(pcVc?pbVb)

22 =800 J 4分 (2) 循环过程对外所作总功为图中矩形面积

W = pb(Vc－Vb)－pd(Vd －Va) =100 J 2分 (3) Ta=paVa/R，Tc = pcVc/R， Tb = pbVb /R，Td = pdVd/R， TaTc = (paVa pcVc)/R2=(12×104)/R2 TbTd = (pbVb pdVd)/R2=(12×104)/R2

∴ TaTc=TbTd 4分

5、一定量的理想气体经历如图所示的循环过程，A→B和C→D是等压过程，B→C和D→A是绝热过程．已知：TC＝ 300 K，TB＝ 400 K． 试求：此循环的效率．(提示：循环效率的定义式? =1－Q2 /Q1，Q1为循环中气体吸收的热量，Q2为循环中气体放出的热量）

p A B D O C V

解： ??1?Q2 Q1 Q1 = ? Cp(TB－TA) , Q2 = ? Cp(TC－TD)

T?TDTC(1?TD/TC)Q 2?C 4分 ?Q1TB?TATB(1?TA/TB)根据绝热过程方程得到：

- 32 -

?1????1????1????1?? p?， T?pTpT?pAADDBBCTC ∵ pA = pB , pC = pD ,

∴ TA / TB = TD / TC 4分

TQ故 ??1?2?1?C?25% 2分

Q1TB

6、一卡诺热机(可逆的)，当高温热源的温度为 127℃、低温热源温度为27℃时，其每次循环对外作净功8000 J．今维持低温热源的温度不变，提高高温热源温度，使其每次循环对外作净功 10000 J．若两个卡诺循环都工作在相同的两条绝热线之间，试求： (1) 第二个循环的热机效率； (2) 第二个循环的高温热源的温度．

解：(1) ??WQ1?Q2T1?T2 ??Q1Q1T1T1QT 且 2?2 T1?T2Q1T1∴ Q2 = T2 Q1 /T1

T1TT2即 Q2?＝24000 J 4分 ?2W?T1?T2T1T1?T2??W??Q2??W??Q2 ( ∵ Q2??Q2) 3分 由于第二循环吸热 Q1??29.4％ 1分 ???W?/Q1T (2) T1??2?425 K 2分

1??? Q1?W教师评语 教师签字 月 日 - 33 -

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