极限思想在中学数学中的应用

极限思想在中学数学中的应用

第一章 绪论

1.1 选题提出的背景 1.2 选题研究的意义 1.3 选题研究的现状

第二章 极限思想

2.1 极限思想的产生 2.2 极限思想的发展 2.3极限思想的内涵

第三章 极限思想在中学数学中的教学

.3.1 高中教学中贯彻数学思想方法 3.2 极限思想在教学中的渗透

第四章 极限思想在中学数学中的应用

4.1极限思想在数列中的应用 4.3 极限思想在函数中的应用 4.4 极限思想在解析几何中的应用 4.5 极限思想在立体几何中的应用

绪论

1.1 选题提出的背景

万事万物总在变化，我们为了描述正在变化的现象，在数学中导入了函数这一概念，随着对变量和自变量等函数关系的不断深入变化，微积分就这么产生了，极限是微积分的基础，也是微积分中最重要的一部分，它是从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势。

极限思想微积分的基本思想，他作为现代数学的基础，与各类科学问题紧密相关，如：求物体运动的瞬时加速度，求曲线的切割，求函数的最大值，最优化问题等。这些问题在十七世纪中期，牛顿和莱布尼茨在前人的基础上，经过不懈的努力，创立了微积分，在创立微积分的过程中也产生了一种重要的数学思想，极限思想、

德国数学家克莱因在二十世纪初提出让微积分进入中学数学课堂。很多国家都开始将微积分的内容设置在高中数学课程的重要位置上，并要求微积分的分割以及逐步逼近等思想。 这些都体现了极限思想这一数学思想。在英国，微积分的思想方法出现在高中数学教材上，在美国，微积分设置在高中数学类的选修课上，日本则在高中教材数学二，数学三中分别系统的介绍了微积分的概念和方法。在我国现行的高中数学课本中融入部分微积分的内容和思想。

自建国以来，关于“在中学数学课程中开设微积分”这一热点话题曾多次在数学改 革中探讨，1950 年-1958 年，在新中国成立初期，我国中学数学教材的编写主要参考了

前苏联中学数学的课本。虽包含了部分微积分的初步知识，但并没有做出明确的大纲学 习要求。1961 年微积分的初步知识第一次被提出并正式列入我国中学数学教学大纲。 1961 年-1965 年，由于当时我国教师资源等原因，教育部认为在中学时期的数学课程中 添加微积分的知识不切合实际，因而将其取消。1986 年，国家颁布了《全日制中学数学 教学大纲》，大纲第一次将微积分初步知识作为玄学内容加入到中学数学课程中。九零 年代，我国颁布了新的中学数学教学大纲的修订本，微积分初步知识再次作为玄学模块 列入数学教学大纲中，微积分也成为高中文科、理科加以区分的内容之一。在多年的数学课程改革中，微积分知识多次进出中学数学教材的原因也与特定时期的历史背景相关。 高中部分微积分作为大学部分微积分的缩影，是否适合高中生的认知水平，以及是 否会造成高中生对微积分理解的模糊，是微积分在教材中多次改变的原因。无论微积分 是否进入高中教材，极限思想都是数学学习中必不可少的重要数学思想，在高中数学教 学以及解题中渗透、运用极限思想也是有必要的。 1.2

研究的意义

“使数学真正成为科学，使数学在应用方面和纯理论方面发展成为丰富而正确的科

学，进步成为深奥而严格的科学的思想，渗透于整个数学中，并且总是在活跃着的思想， 就是经过了提炼的极限思想。只要看一看，如果从今天的数学中抽去了极限的思想，数 学还能保留哪些内容，就能明白极限的思想对数学来说该多么重要了，说得严重一点， 这时的数学几乎近于一无所有。” ①[1]

在小学阶段，分数和无限循环小数被我们所熟知，其中有限与无限的矛盾也被学生 认识，至于对圆面积公式推导过程中更是直接用到了极限思想——无限接近于圆又不是 圆。可见极限思想的渗透不仅是从高中才开始的，而是从小学就已经有了极限思想。 极限理论是建立微积分的基础和研究微积分的基本手段，它一直贯穿于该学科的始 终。我国的数学家王梓坤首次应用极限过渡的概率方法，彻底解决了生灭过程的构造问 题，是科学前沿的重要成就。可见，极限思想的重要作用，由此也说明在高中渗透极限 思想的重要性。 1.3

研究的现状

关于本课题的研究，有史宁中著的《数学思想方法》中关于无理数以及极限理论建 立的历史回顾。张景中院士主编，林群院士著的“微积分快餐”中，对比了高中数学中 的微积分与大学微积分的相同点和不同点，由此也说明了微积分的重要性；卜以军的“极 限思想在椭圆问题中的应用”，在本篇小论文中，作者列举了椭圆的相关问题，并从历 届高考题中实例分析了极限思想在椭圆中的应用；张国良“极限与极限思想在中学数学 中的应用”从高中的解题入手，实例分析了极限思想在中学数学中的应用；蒋锋、蒋永 红的“极限思想中认知层次探析”一文中从无穷大无穷小思想出发，探究了如何将极限 思想运用与教学中，并用逼近法来解决实际问题。张春花的“极限思想在数学课堂中的 渗透”从数学史之悖论的学习、数学公式的推导、以及新知识的教学三点探究了极限思 ① 摘自《数学的精神、思想和方法》，（日）米山国藏著第一章 问题研究的背景与意义 想在中学数学教学中的渗透；李永的“极限思想方法在高考中的呈现”一文从瞬时速度、 运动学公式的推导、曲线运动方向三方面解析了极限思想在高考中的渗透，等等。海南师范大学硕士学位论文

第二章 极限思想

2.1 极限思想的产生

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