化归思想在中学数学教学中的应用

数学与财经学院毕业论文（设计 ） 目录

化归思想在中学数学教学中的应用

数学与应用数学（师范类）专业一班柴成桂 指导教师 聂智

摘要：在中学教学教学中，最重要的是培养学生的数学思想，而化归思想又是一种极其重要的数学思想。本文我将从化归思想的应用原则及方法提出合理的教学策略。文中主要阐述了新知识向已知知识点的转化、由难到易的转化、由繁到简的转化这三个转化方向，并举例说明在中学数学中的具体应用。如化归思想在中学数学代数方面，几何方面，解析几何方面的应用，我用多边形内角和这一课题做了化归思想在中学数学中应用的实例分析。根据我个人的实习经历体会到了化归思想的重要性，论证了化归思想的化归原则。

关键词：化归思想；数学教学；化归原则；教学策略

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2009级数学与应用数学（师范 ）毕业论文（设计）

1 化归思想

1.1化归思想的原则及方法

化归是把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。之一。

在用化归方法解决数学问题时，我们应该注意，化归变形后的问题必须是能够解决的问题，也就是化归后所得到的问题应当是由未知到已知、由难到易、由繁到简的。

[1]化归是中学数学中最重要的数学方法

1.1.1新知识向已知知识点的转化

新知识向已知知识点的转化就是把新接触的的东西转化为我们学过的熟悉的知识，让问题熟悉化，使问题容易得到解决。

如七年级下册同学们在学习解二元一次方程组的时候，我们初次接触的是代入消元法（将方程组中的一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法）。这样做的目的是将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。最后利用旧知识轻而易举地解出了方程的解，解决了问题。

1.1.2 由难到易的转化

由难到易就是把比较困难的问题转化为比较容易，能解决的问题，从而使原问题得到解决。也就是说，化归由难到易是指化归应朝着目标容易的方向进行，即困难的待解决的问题应向较易解决的问题化归

[2]。

如求证：f(n)?n3?3n2?2n?6(n?Z) 能被6整除。 思考与分析：原式可变为f?n??n?n?1??n?2??6

从上面可以看出,f（n）是三个连续整数的积与6的和。而“求证三个连续整数的积能被6整除”，很困难，那么我们就来将它转化一下吧：“求证三个连续整数的积既能被2整除又能被3整除”，以至于解决问题。充分体现了由难到易的转化思想。

1.1.3 由繁到简的转化

化归由繁到简是指化归应朝着使问题简单化的方向进行，即复杂的待解决的问题应向简单的较易解决的问题化归。题处理方式、方法上的简单。

运用这种思维解题时，将元素统一和将条件与结论统一是关键，一定要利用化归，

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[1]这里所说的简单既指问题结构形式上的简单，也指问

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将原来比较繁的问题转化为比较简单的问题，使需要解决的问题得到解决。其实，回顾一下在中学数学中的教学，我们往往将分式的加减运算化为同分母的分式加减运算，不同底的对数式运算常通过换底公式化为同底数的对数来运算，多变元的问题通过消元变为一个变元的问题等。

例如：已知正数a,b,c满足5c?3a?b?4c?a,clnb?a?clnc,则求是？

?ab?3?c?c?5??abab???4,令?x,?y,则问题转化为已知正数x,y满足

cc?cca?b??ec?cab的取值范围

由条件可得：

?3x?y?5?x?y?4y?x(x,y)y?e，求的取值范围，作出所在平面区域，可以求出的切线为?xx?y?e??x?0,y?0y y?ex，且判断切点p(1,e)，在区域顶点A,B之间，所以容易求得的取值范围是[e,7]。

xab此问题体现了由繁到简的化归思想，通过令?x,?y，使较为复杂的问题简单化、

cc明朗化，从而到达求解的目的。

1.2化归思想在数学教学中的作用

我们都知道，中学数学大体可以分为代数、几何、解析几何这几类。在每一类的数学学习中，无处不渗透着化归的数学思想，既然我们用化归思想如此频繁，那我们有没有想过用这种思想的作用呢？

(1)化归思想有利于学生形成完整的知识结构和认知结构

教学中应用化归思想可以将复杂的问题简单化，没有遇见过的知识可以转化为我们学习过的熟悉的知识。这样在潜移默化中让学生将数学知识融合为一个整体，找出了知识与知识之间的联系。

（2）化归思想有利于发展思维，提高迁移能力

化归是把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。这体现了研究科学的一种基本思路，就是把“不熟悉”迁移到“熟悉”的路子上去，在无形中有意无意培养了学生的学习迁移能力。

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（3）化归思想有利于培养学生的联想思维，提高转换能力，创新能力

转化与化归的思想是中学数学中最重要的解题思想，在教学中注意对学生进行转化与化归思想的培养，有利于提高学生的思维水平，使他们能够更深刻地理解数学，灵活地应用数学，从而培养他们的创新能力。 （4）化归思想有利于教学过程的连贯进行

当课堂中遇到新知识点或者难知识点的时候，老师会带领学生应用转化思想将此转化为学习过的熟悉的知识或者简单地知识，那么教学过程不会因为新知识点的出现而被卡主，这样我们的教学过程可以很连贯的进行。

2 实现化归思想的教学条件

中学数学教学中，有很多问题都需要用化归的思想方法去来解决，化归思想在数学的学与教中的作用是不容置疑的，化归思想在中学数学中是一种非常重要的数学思想。在教学过程中我们应该怎样做呢？实现化归又需要些什么条件呢？

2.1夯实基础，完善知识结构

扎实的基础知识以及完整的知识结构是实现化归的前提，数学优生与差生区分的本质区别就是基础知识和知识结构掌握的程度不同，在教学过程中，夯实基础、完善知识结构我们可从这样做起：

(1)重视概念、公式、法则等基本数学模型的教学，为寻求化归目标奠定基础。

数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反应，从广义上说，从基本概念到公式、运算系统、方程求解法都是数学模型。

222[3]像集合、函数、异面直线、

x2y2x2y2二面角这些可以叫做概念数学模型；圆x?y?r、椭圆2?2?1、双曲线2?2?1、

abab抛物线y?2px可以叫做方程模型等。从狭义上说，只有那些反映特定问题的数学结构才成为数学模型。例如，我们称一次函数是匀速直线运动的数学模型，二次函数是抛物线运动的数学模型。而数学模型方法是指利用数学模型解决问题的一种方法。从某一方面可以这样讲，中学数学教学实际上是一种数学模型的教学。建立模型是实现问题规范化，程序化，应用模型即是转化与归结的过程。在教学过程中，我们应该注意： 首先要注重数学模型构造的过程。中学教材非常重视知识的产生、发展和运用过程。数学模型同样有其生动背景、实际原型、构建与运用过程，在教学中，要引起足够的重视。一般来说，根据实际问题构建数学模型的步骤有以下几点： a.掌握客观对象的丰富资料和有关数据； b.确定所研究问题的系统

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在实际中，一般对一个问题可以建立不同的数学模型，这就需要我们在实践中 不断探索，找出最好的模型。

其次，要注重数学模型在中学数学教学中的应用，人们可以利用数学的有关思想模型去解决生活中实际问题。为了能够使学生真正掌握和运用数学知识解决生活中实际问题，务必注重数学模型在中学数学教学中的作用，以致培养学生构造、运用数学模型的能力。在中学数学实际教学中，应该注意： a.注意数学概念、公式与实际原型的关系 b.提高利用数学模型法解决数学问题的能力 c.数学模型的相互转换

d.构造数学模型原型，以解决纯数学问题

(2)养成整理、总结数学方法的习惯，为寻求化归方法奠定基础。

其实很多时候差生非普通题无头绪，源于他们头脑中没有系统的知识体系。所以教学过程中，务必注重培养学生的系统知识，让他们对知识有个系统的掌握。

(3)完善知识结构，为寻求化归方向奠定基础。

在日常教学中，要注重帮助学生完善知识结构，可以从做好小结，勾画知识结构系统图起。

2.2培养化归意识，提高转化能力

(1)精心设计合理化解题目建议，培养学生化归意识

波利亚堪称世界数学解题的旗帜，他深知数学中化未知为已知、化繁为简、化新为旧、化难为易等方法的普遍意义。怎样解题？怎样诱发灵感？在波利亚看来解题的过程就是不断变更题目的课程。他说：“解题的正确要靠正确思路的选择，要靠从接近他的方向去攻击堡垒，为了辨别哪一条思路正确，哪一个方向可接进它，就要试探跟中方向和各种思路，就要变更题目。

[3]

(2)明确转化原理，把握转化策略

数学是一个有机的整体，它的各部分之间是相互联系、相互依存、相互渗透的。以便形成纵横交错的立体空间，我们在对数学问题的研究时，时常运用这些联系对问题进行适当转化，让它变成简单的、熟悉的问题。要完成转化，首先一定要明确转化的一般原则方法，并通过典型的例题加以巩固练习。 (3)培养学生联想思维，提高转化能力 联想是一种由此及彼的思维活动。

[3]在解决问题的时候，联想是我们思考的基本方

法，新知识的学习中，联想与其有关的旧知识，可以提高学习的效率，解题过程中，从一个问题联想到另一个问题是实现转化的基本途径，这样便从思维上进行了迁移，也可以对思维进行创新。数学解题过程从某种意义上讲是已知和未知的知识联想过程，通过联想找出新旧知识之间的关系，从而找到解题的思路。

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2.3掌握化归的一般方法

当我们树立了化归意识，前面我们也讲了化归的原则，下面我们具体谈一下化归的一般方法。

(1)对整个问题进行变形，进行由繁到易的转化证明

例：(?)设x?1,y?1,证明

x?y?111???xy； xyxy (??) 设1?a?b?c，证明 logab?logb?logc?logb?logc?logacaabc

(?)利用综合法对它进行变形即右边减去左边为

111 ??xy?(x?y?)，

xyxy 化简可得(x?1)(y?1)(1?1)， xy 因为x?1,y?1,所以 (x?1)(y?1)(1?1)?0 xy 这样，原不等式就得到了证明。

(??)但是对于这一问，我们就有点丈二的和尚摸不着头脑了，如果学生们基础知识

掌握的牢固，能灵活应用换底公式对问题进行转化、变形，将第二问化归为第一问或者与第一问产生联系，那么此题解决起来也就容易了。不妨我们试试： 设loga?x,logb?那么利用对数的换底公式得 logc?abc，

111acb,logb?,loga?xy,logc?， xyxy于是，所要证明的不等式转化为： x?y?111???xy xyxy因为，1?a?b?c，所以x?1,y?1,这样第二问就完全转化为第一问的不等式了，结论就

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得到了证明。可见，很好的变形对于解题是有帮助的，教学中，老师要注重培养学生学会变形的能力。

(2)对问题中未知成分进行变形，进行由难到易的转化认识

例如，过圆外一点p（a，b），作圆x2?y2?r2的

这个题目我们很难下手，那么我们可以先求出经过点p（a，b）的圆的切线方程，这是大家十分熟悉的问题。设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，则两切线方程为：

x1x?y1y?r2，

，所以x1a?y1b?r2,x2a?y2b?r，到这里，x2x?y2y?r2，因两切线都经过p（a，b）问题顺理成章的容易解决了。

(3)对问题中的已知成分进行变形，进行由新知到旧知的转化求解

例如，已知x?0,y?0,x?2y?2xy?8，求x?2y的最小值

看到问题，直接求x?2y的最小值，我们无处下手，但我们对已知条件进行变形可得：(x?1)(2y?1)?8?1?9

因为x?0,y?0所以利用均值不等式得

(x?1)?(2y?1)?2(x?1)(2y?1)?6

所以 x?2y?4。对已知条件进行变形，很简单的就解出了此题。

综上所述，化归思想要想得到更好的应用，让老师学生都引起重视。首先老师要注重基础知识的教学，对知识结构进行系统的梳理。为学生实现化归提供条件。在教学中，要培养学生的化归意识，提高他们的转化能力，老师要注重培养学生掌握化归的一般方法。

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3.1化归思想在中学代数中的应用

在中学代数中，运用化归思想进行转化的例子到处都是。虽然在解方程时，方程类

型不同，形式不同，解法也各有特点，但它基本思想是转化，基本途径是消元、降次，也就是将未知的知识转化为已知的知识，困难得知识转化为容易的知识，复杂的知识转化为简单的知识。我们一般是将无理方程向有理方程转化，分式方程向整式方程转化，高次方程向低次方程转化，多元方称向一元方程转化等，这样使问题变得简单从而得以解决。在以上转化中，要求变形前后是同解方程，此时需要利用同解原理的指导进行等价转化，值得注意的是，在思考所有制约的因素时，千万不要忽略了他们之间的相互关系。在讨论研究函数的性质时，可以对基本函数的图象进行平移或者对称变换，还可以对函数解析式进行变换得到答案。可见函数解析式的变换转化为图象变换提供基础，也说明图象变换转化为函数解析式变换的统一。代数与三角、几何的转化也表现在各方面。可以通过复数运算的几何意义把几何问题转化为复数的计算，利用代数的结构给出几何

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背景求函数的最大值等，可以简化其运算，使思路变得更清晰。这都是等价转化，要求转化前后的问题是充分必要的，这样进行转化后前后得到的结果是一致的。除此之外，还有一些非等价的转化，如不等式证明中运用的放缩法。非等价转化只需寻找使原题结论成立的充分条件，这样的转化可以简化推理论证的过程。还有我们解一元二次不等式时，往往转化为解对应一元二次方程有无根的问题以及有几根的问题。这些化归可以使使问题简单化、容易化，方便化。 如消元——二元一次方程组的解法

在此之前同学们学习过一元一次方程，对它的解法也了如指掌。那利用化归思想的原则，我们想办法看能否将二元一次方程组化成一元一次方程。此时，给大家介绍一种新的数学思想——消元，二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中的一个未知数，那么就把二元一次方程组化成我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做

?5?消元思想。通过化归，二元一次方程组变成了一元一次方程，这样就解决了问题。下面看一个实际的例子：

根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装(250g)两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2:5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？

分析：问题中包含两个条件： 大瓶数：小瓶数=2:5,

大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生产量 解答过程：设这些消毒液应该分装x大瓶和y小瓶。

?5x?2y由题意可得：??500x?250y?22500000由(1)得： y?1? ?2?5x ?3? 2把(3)带入(2)得：

5 500x?250?x?22500000。

2解此方程得：x?20000

把x?20000代入(3)得：y?50000

?x?20000所以这个方程组的解是：?

y?50000?答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶。

上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：

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二 元 一 次 方 程 500x+250y=22500000 消去y 5x=2y 变形 代入 y?5x2 解得y y?50000x?20000 解得x 一元一次方程5500x?250?x?225000002

图一 3.2化归思想在中学几何中的应用

几何中化归思想的产生，其历史深远。可以这样说，几何的每一个命题都是由在它

之前的某些命题通过演绎推理得到的，而那些作为演绎前提的命题则是由它前面命题的结论，这样一直归结到某些不证明的初始命题为止。几何是一门演绎的科学，在它的系统中存在着公理-结论A-结论B-结论C......这样一个结论连。把需要求解的问题转化到结论连的某一个环节就行了。

中学几何从研究平面几何中的基本图形开始，复杂图形都是通过化归为简单图形来解决，立体几何也常常化归为平面几何来解决。如，三角形是平面几何中的简单基本图形，在深入研究三角形性质的基础上，对于四边形以及多边形的研究便可转化为三角形去研究。多边形的内角和转化为三角形的内角和等。

如研究多边形的内角和公式这一课题，我运用化归思想设计如下：

在学习多边形内角和之前，学生们学习了三角形的内角和，所以利用化归思想的由新知识向已知知识点的转化、复杂的向简单的转化的原则，引导学生将多边形的内角和转化为三角形的内角和问题。 教学目标：

知识与能力目标：主动并掌握多边形的内角和公式，并能熟练运用。

过程与方法目标：经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，培养化归意识，渗透化归思想，提高转化能力，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法。

情感态度与价值观：通过师生互动活动，培养学生创新精神，进一步激发学习热情和求知欲望。

教学重点：多边形内角和公式的推导与运用

教学难点：将多边形内角和转化为三角形内角和问题，并找出它们的关系 教学过程：

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[3]我们可以通过此结论

连简便解题过程，以至于大大提高解题速度。不需要每个问题都从原始命题开始，只要

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（一）创设问题情景导入新课 提出问题：

三角形的内角和为多少度？正方形、长方形的内角和等于多少度？（带领学生回忆旧知识，检验学生基础知识掌握的情况，使之与新知识产生联想）

是否由特殊四边形内角和度数推导出一般四边形内角和的度数？那我们是否又可以想办法得出五边形、六边形以及任意的多边形内角和？由此引出今天的教学内容——多边形的内角和（这将体现由特殊到一般的教学原则） (二)多边形内角和公示的推导过程

引导学生探讨，合作交流。我设计了两个问题 问题一：任意四边形的内角和等于多少度？

让学生前后四人一组进行讨论，用多种方法研究四边形的内角和，请学生发表观点，然后我将带学生一起探讨得出结论，并找出其中与三角形的关系。 问题二：任意五边形的内角和

同样让学生以小组为单位进行讨论，提醒他们运用四边形内角和推到思想与方法一分钟后请学生上台演示给全班同学观看。接着我将总结学生的结论并找出其与三角形内角和的关系。 启迪思维，拓展创新

由三角形、四边形、五边形的内角和推导出n边形的内角和公式，这是本堂课的重点又是难点。我将以表格的形式带领学生一起找出其中的规律，得出多边形内角和公式（n-2）180°。（化归从特殊向一般转化） （三）综合运用

例：已知一个多边形的内角和为1080°，求它的边数。 解：设它的边数为n。

由多边形内角和公式得(n-2)x180°=1080° 解得 n=8 （四）回顾概括

回顾总结今天所讲的内容，强调在整个学习过程中我们所用的转化思想在今后学习数学中的重要性。表扬学生表现好的方面，让学生保持对数学学习的兴趣。 （五）布置作业，课后提升

为了巩固今天所学得内容我安排如下作业题。 (1)习题7.3的2、5、7、8

(2)选做题：用其他的方法推导多边形的内角和公式

在我设计此教案之后，我听过文理附中一位老师讲过这堂课。虽然我和她比，我的教学经验不足她，设计的教学方案也有很多纰漏。但是我们的总体研究思想一致的，在教学中，利用将新知识转化为熟悉的旧知识以及复杂转化为简单的知识的原则，带领学

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生将多边形的内角转化为三角形的内角再求和。那堂课的效果也很明显，学生参与性高，它们对转化思想的运用也很熟练、灵活。在老师的带领下，利用转化思想求出四边形的内角和后，接着求五边形、六边形等多边形的内角和全班同学基本上都会转化为三角形的内角和了。最后顺理成章的就推出了多边形的内角和。

3.3化归思想在中学解析几何中的应用

解析几何的创立过程是化归思想最有特色的应用之一。解析几何把数学的主要研究对象——数量关系与空间图形联系起来，使它们相互转化，用各自的规律与方法分析研究另一类问题。解析几何的概念、定理、公式及其方法本身隐含着丰富的转化思想。如曲线方程，点与方程（组）的解，参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，以及非标准方程化为标准方程等。都是转化思想的体现和应用。特别是解析几何中的坐标变换，突出体现了转化思想。往往都是将复杂的转化为简单地进行，以便学生容易理解

(x?2)2(y?5)2??1，现求其准线。 如已知椭圆

43[3]。

这个椭圆不是在标准情况下，我们研究起来比较困难，那么我们可以对它进行平移

x2y2??1。次方程的准线为转化成标准情况下再求解。它对应的标准方程是：43a2x??，a2?4，c?1，所以x??4。原椭圆是标准椭圆向右平移2个单位，向下平

c移5个单位得到的，那么原椭圆的准线就为x?6,x??2。利用化归思想轻而易举的就解决了问题，可见化归思想的方法之好处。

化归思想在中学数学的应用中，不管是代数方面，几何方面，还是解析几何方面，我们在应用时，始终围绕着由未知到已知、由难到易、由繁到简的化归原则，将未知问题化归为已知的易解决的问题，从而更快更容易地解决问题。

4结论

在中学数学教学中，化归思想无处不在，既然化归思想如此重要，那么在作为一名未来的中学数学老师，特别要注意，在教学过程中，不仅要向学生传授书本上的知识，更重要的是要渗透数学方法。不管是教学中，还是解题中，我们都要想办法将新知识转化为熟悉的已知的知识，将复杂的转化为简单的知识，使教学过程进行的顺利，学生们在轻松愉悦的教学情境中获得了知识，掌握了技能。经实践证明，如果教师能够重视数学思想的教育，发挥数学思想方法在数学教学中的重要作用，确实能够培养学生创新精神与应用能力、提高学生综合素质的一个重要途径。在中学数学教学中，教师赢边展示知识的发生、发展过程时，边尽力向学生渗透化归思想，培养学生运用化归思想的能力，

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充分发挥化归思想方法的指导作用。这样有利于学生养成了良好的思维品质，向落实素质教育靠齐，有利于培养他们的创新能力，有利于他们从小养成发现问题、解决问题的好习惯。

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参考文献

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c5fa9.html

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[3] 化归思想方法在中学数学教育中渗透的案例研究http://www.docin.com/p-399373770.html?nb=2 [4] 陈海南 小学数学化归思想方法的教学探究 http://res.hersp.com/content/946327 [5] 左怀玲.义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册 .人民教育出版社,2003

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ga1w.html