线性变换思想在中学数学中的应用

线性变换思想在中学数学中的应用

摘 要：本文首先给出了线性变换的定义以及中学数学中涉及到的几种特殊的线性变换，包括其表达式及特征等。然后介绍了这几种线性变换在中学几何中的意义, 它是普通线性变换的一个自然推广,同时研究了线性变换在几何中的应用。最后,给出了具体实例说明了利用线性变换解决中学中平面几何题的方法以及线性变换思想在中学数学中的影响。 关键词：线性变换 中学数学 几何应用

随着社会的进步和时代的发展，针对我国中学数学课程现状，制定和实施新 的课程标准势在必行。2003年颁布了《普通高中数学课程标准(实验)》(以下 简称《标准》)。由参考文献[1]、[2]、[3]、[4]可知：

《标准》规定的课程与以往的课程相比，内容上发生很大的变化，尤其在选修系列中，增加了矩阵与变换、数列与差分、初等数论初步、优选法与试验设计初步、统筹法与图论、风险与决策、开关电路与布尔代数等内容，矩阵与变换是选修系列4.2的内容。

矩阵是代数学的基本内容之一，变换是几何中的基本内容之一。对于中学数学教材改革来说，认真研究怎样把应用广泛的矩阵内容融入代数教材，以及如何进一步用变换的观念来处理几何教材，最终用矩阵来表示线性变换可以更有效地学习和运用这部分知识。中学数学引入矩阵初步知识，主要是为表达数据提供新的工具。矩阵作为研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。由矩阵建立的线性变换就是

平面上的坐标变换，其中，矩阵起着“对应法则”的作用，用二阶矩阵??ab?确定的变换,??cd?就是构造映射,使平面上的点(向量)??变成(对应)点(向量)??x??y??x1??ab??x??=?cd??y?,这个映射y????1??第 1 页（ 共 18 页）

的对应法则就是左乘??ab??ab?，在这个线性变换中，矩阵称之为变换矩阵，变换矩阵????cd??cd?不同，得到的是不同的变换。

线性变换在数学上是一个很有用的工具，在其它学科中也有着广泛的应用。线性变换在大学中作为“线性代数”的一个重要内容，被系统地讲授。近些年来，有些国家在中学也讲授部分线性变换的知识。由于线性变换的重要性和它的应用的广泛性，在《标准》中，把“矩阵与变换”作为一门选修课。该课通过几何图形的变换，介绍线性变换的基础知识和基本思想。开设这门选修课的目的是希望学生在基本思想上对线性变换有一个初步了解，对将来进一步学习和工作有所帮助。

1 线性变换的概念

1.1 大学教材中的线性变换

一般地，把平面内的一个点变成同一个平面内的和它相应的唯一的一点，不同的点所变成的点不相同，并且平面内的每一点都是由某一个相应的点变成的，这就是平面内的点的一个变换。变换就是一个映射，而且是一个一一映射。换句话说，变换就是从平面内的点的集合到同一个平面内的点的集合的一个一一映射。把两个变换复合起来就得到了一个新的变换。变换的复合一般不具有交换性。恒等变换是一个不动的变换，它把平面上的每个点都变成它自己。变换的复合看成变换的乘积，可得到变换的逆交换的概念。变换的逆交换就是这样一种变换，无论它从左或从右复合，结果都得到恒等变换。每一个变换都有逆变换。 1.2 中学教材中的线性变换

?x'?ax?by 在平面直角坐标系中，把形如?'（其中a，b，c，d为常数）的几何变换

?y?cx?dy叫做线性变换。

1.3 中学与大学对矩阵概念的区别

在大学里学习的线性变换与中学数学课程标准里要求的线性变换是有区别的。从研究的

[5]

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角度来看，大学的线性变换是把它作为代数的运算法则，对线性方程组与线性空间的运算，而中学课程标准把线性变换看作是几何变换的表示方法；从研究的内容来看，大学研究的是代数的运算性质，概念理论较为抽象，运算量大，容量较多，而中学课程标准研究的是线性变换的几何作用，通过大量的实例来讨论线性变换的性质和作用，只限于讨论平面内的变换，从直观上认识线性变换的意义。矩阵与变换(选修系列4.2)这部分内容在大学的代数课程中会系统地讲授。而中学开设这门选修课的目的，是要求学生了解其基本的思想、概念(当然，这里不是只讲故事也不是读科普读物，应要求学生做习题，要有所练习，有所收获)。不是把大学教材简单下放，更不是去做一些难题，怪题(作为选修系列4的课程，有更多的开放性，给学生更多的思索空间，但其思索的问题不是大学中更艰深的内容或难题、怪题)。在中学不是训练数学上的一些细致的技巧和方法，而是希望学生对线性变换等有一个初步了解，对将来进一步学习和工作有所帮助。特别是学理工科的学生，到大学还将系统地学习这方面的知识，中学的内容尽管是重要的，但还是远远不够的。

2 中学数学中涉及到的几种线性变换

2.1 中学数学中涉及到的几种线性变换式及其二阶矩阵 2.1.1 对称变换

?x'?x?10?(1)关于x轴对称的变换坐标公式为?'，其对应的二阶矩阵为??；

?0?1??y??y?x'??x??10? (2)关于y轴对称的变换坐标公式为?'，其对应的二阶矩阵为??；

01y?y????x'?y?01? (3)关于y?x对称的变换坐标公式为?'，其对应的二阶矩阵为??.

?10??y?x

2.1.2 伸缩变换

?x'?k1x?k10? 坐标公式为?'，其对应的二阶矩阵为??.

?0k2??y?k2y第 3 页（ 共 18 页）

2.1.3 投影变换

?x'?x?10? (1)投影在x轴上的变换坐标公式为?'，其对应的二阶矩阵为??；

00???y?0?x'?0?00? (2)投影在y轴上的变换坐标公式为?'，其对应的二阶矩阵为??．

?01??y?y2.1.4 旋转变换

?x'?xcos??ysin??cos?坐标公式为?'，变换对应的矩阵为?y?xsin??ycos??sin??2.1.5 切变变换

?sin???． cos???x'?x?sy?1s? (1)平行于x轴的切变变换坐标公式为?，其对应的二阶矩阵为??； '01???y?y?x'?x?10? (2)平行于y轴的切变变换坐标公式为?'，其对应的二阶矩阵为??.

?s1??y?sx?y2.2 中学数学中涉及到的几种线性变换的特征 2.2.1 对称变换

（1）关于x轴对称的对称变换：变换矩阵??x0??x1??x0??10?将点变换为???，而??＝???0?1??y1???y0??y0??x0??x1???与??关于x轴对称。 ?y0??y1? （2）关于y轴对称的对称变换：变换矩阵??x0??x1???x0???10?将点变换为???，而??＝???01??y1??y0??y0??x0??x1???与??关于y轴对称。 ?y0??y1? （3）关于y?x对称的对称变换：变换矩阵??x0??x1??01?将点变换为＝ ??????10??y1??y0??y0??x0??x1?，而????与??关于y?x对称。 ?x0??y0??y1?2.2.2 伸缩变换

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（1）沿x轴方向的伸缩变换：变换矩阵??x0??kx0??x0??k0?将点变换为点，即点??????沿??01??y0??y0??y0?x轴方向移动(k?1)x0个单位。如果k?1,则为拉伸变换；如果k?1，则为压缩变换。y轴

上的点不移动，距离y轴越远的点收缩越大，距离y轴越近的点收缩越小，x?x0上的点沿x轴方向不发生伸缩变换。

?x0??x0??x0??10? （2）沿y轴方向的伸缩变换：变换矩阵?即点??沿?将点??变换为点??，

0kyky???0??0??y0?y轴方向移动(k?1)y0个单位。如果k?1,则为拉伸变换；如果k?1，则为压缩变换。x轴

上的点不移动，距离x轴越远的点收缩越大，距离x轴越近的点收缩越小， y?y0上的点沿

y轴方向不发生伸缩变换。

2.2.3 投影变换

沿x轴方向的投影变换：变换矩阵??x0??x0??10??x0?将点变换为点，即点?????沿y轴??00???0??y0??y0??00?方向落在x轴上，沿x轴方向没有发生移动；沿y方向的投影变换：变换矩阵??将点

01???x0??0??x0?变换为点，即点??????沿x轴方向落在y轴上，沿y轴方向没有发生移动。 ?y0??y0??y0?2.2.4 旋转变换

变换矩阵??cos??sin??sin???x0??x0??x0cos??y0sin??将点变换为点，即点?????以原点??cos???y0??y0??x0sin??y0cos??为中心向逆时针方向旋转?个单位。 2.2.5 切变变换

（1）沿x轴方向的切变变换：变换矩阵??x0??x0?sy0??1s?将点变换为点，即点??????01??y0??y0??x0???沿x轴方向移动sy0个单位。x轴上的点不发生移动，距离x轴越远的点收缩越大，距?y0?第 5 页（ 共 18 页）

离x轴越近的点收缩越小， y?y0上的点沿x轴方向不发生伸缩变换。

?x0??x0??10? （2）沿y轴方向的切变变换：变换矩阵??将点??变换为点??，即点

s1ysx?y??0??0??0?x0???沿y轴方向移动sx0个单位。y轴上的点不发生移动，距离y轴越远的点收缩越大，距?y0?离y轴越近的点收缩越小，x?x0上的点沿y轴方向不发生伸缩变换。 2.3 中学数学中涉及到的几种线性变换的示例

用直线段将点???112?1??依次链接，得到一个三角形图形，如图所示：

?1?131?y0x

利用这个三角形的变换可观察不同线性变换作用的结果。 2.3.1 对称变换

??112?1? (1)关于x轴对称的对称变换的图例：原点集矩阵为??，变换后的矩阵

1?131??为??10???112?1???112?1????=??.变换后的三角形如下图所示：

?0?1??1?131???11?3?1?第 6 页（ 共 18 页）

y0x

（2）关于y轴对称的对称变换的图例：原点集矩阵为???112?1??，变换后的矩

?1?131?阵为???10???112?1??1?1?21????=??.变换后的三角形如下图所示： 011?1311?131??????y0x

（3）关于y?x对称的对称变换的图例：原点集矩阵为???112?1??，变换后的矩

1?131??阵为??01???112?1??1?131?=?.变换后的三角形如下图所示： ?????10??1?131???112?1?第 7 页（ 共 18 页）

y0x

2.3.2 伸缩变换(k取2或1/2)

??112?1? （1）沿x轴方向的伸缩变换：原点集矩阵为??，变换后的矩阵为

1?131???20???112?1???224?2??1/20???112?1?= 或??????????=

?01??1?131??1?131??01??1?131???1/21/21?1/2???.变换后的三角形如下图所示：

1?131??yy0x0x或

（2）沿y轴方向的伸缩变换：原点集矩阵为?

??112?1??，变换后的矩阵为

?1?131??10???112?1??10???112?1???112?1?= 或????????= ???02??1?131??01/2??1?131??2?262?第 8 页（ 共 18 页）

12?1???1??.变换后的三角形如下图所示： ?1/2?1/23/21/2?yy0x0x或

2.3.3 投影变换

（1）沿x轴方向的投影变换：原点集矩阵为?

??112?1??，变换后的矩阵为

?1?131??10???112?1???112?1?????= ??.变换后的三角形如下图所示： 001?1310000??????y0x

(2)沿y轴方向的投影变换:原点集矩阵为???112?1??，变换后的矩阵为

?1?131??00???112?1??0000?????= ??.变换后的三角形如下图所示： 011?1311?131??????第 9 页（ 共 18 页）

y0x

2.3.4 旋转变换（取??pi/6）

?3/2???112?1? 原点集矩阵为??，变换后的矩阵为??1/21?131???1?/2?×3??/23?3/2?(3?1)/2???112?1???(3?1)/2(3?1)/2?.变换后的三??= ???1?131??(3?1)/2(1?3)/21?33/2(3?1)/2??角形如下图所示：

yx

2.3.5 切变变换（取s?2）

(1)沿x轴方向的切变变换：原点集矩阵为???112?1??，变换后的矩阵为

?1?131??12???112?1??1?181?????= ??.变换后的三角形如下图所示： 011?1311?131??????第 10 页（ 共 18 页）

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