三维线性变换及其应用

三维线性变换

陈祥科

1、线性空间 ..................................................................................................................................... 2

1.1、 线性空间的代数定义 .................................................................................................... 2 1.2 线性空间的基和维度 ...................................................................................................... 2 2、线性变换 ..................................................................................................................................... 2

2.1、变换的定义 ...................................................................................................................... 2 2.2、线性变换的定义 .............................................................................................................. 2 2.3线性变换的性质 ................................................................................................................. 3 2.4、线性变换下的坐标变换 .................................................................................................. 3 2.5、线性变换的矩阵表示： .................................................................................................. 3 3、三维图形的几何变换 ................................................................................................................. 4

3.1平移变换 ....................................................................................................................... 5 3.2缩放变换 ............................................................................................................................. 5 3.3绕坐标轴的旋转变换 ....................................................................................................... 5 3.4绕任意轴的旋转变换 ......................................................................................................... 6 4、三维线性变换的应用实例 ......................................................................................................... 7

4.1 三维图形变换理论 ............................................................................................................ 7

4.1.1 三维图形的几何变换 ............................................................................................. 7 4.1.2 组合三维几何变换 ................................................................................................. 8 4.1.3 围绕任意轴的旋转矩阵的推导 ............................................................................. 9 4.1.4 三维图形的轴侧投影变换 ..................................................................................... 9 4.2 叉车稳定性试验的仿真 .................................................................................................. 10

4.2.1 纵向稳定性试验的仿真 ....................................................................................... 10 4.2.2 横向稳定性试验的仿真 ....................................................................................... 11 4.3 结论 .................................................................................................................................. 12

1、线性空间

1.1、 线性空间的代数定义

一个定义了加法与数乘运算，且对这些运算封闭，空间中任意向量都属于数域P，并满足八条算律的集合为数域P上的线性空间。

1.2 线性空间的基和维度

对于一个数域上的线性空间R，由n个属于R的元素组成的一个线性无关组，如果R中的任意一个元素都是这n个元素的线性组合，那么这个线性空间的维度为n，且这个线性无关组为R的一组基。显然，三维空间的基有3个元素组成。三维线性空间的的两组基分别为(0,0,1)和(1,0,0)、(0,1,0)。

2、线性变换

2.1、变换的定义

变换是广义概念的函数，它是这样定义的，如果存在2个非空集合A、B，α是A中的任意元素，如果在集合B中必定有一个元素β与集合A中的α元素对应，则称这个对应关系是集合A到集合B的一个变换，变换也称为映射，记为T，即有等式

β=T(α)

称β为α在T变换下的象，称α为β在T变换下的源，集合A称为变换T的源集，A在变换T下的所有象称为象集，显然象集是B的子集。

2.2、线性变换的定义

R是数域F上的线性空间，σ是R的一个变换，并且满足

??a?b????a????b?

??ka??k??a?其中a,b∈R，k∈F则称σ是R的一个线性变换（这是由R到R自身的一个映射）。线性变换定义的意义是，将R的任意2个元素的和进行变换等同于将这2个元素分别进行变换后再求和，将R的任意元素的数乘进行变换等同于将这个元素先进行变换再数乘。下面是线性变换的另一种表述方式：

?(k??l?)?k?(?)?l?(?) ??,??R,k,l?F

2.3线性变换的性质

如果线性空间R上的一个线性变换σ，σ有如下性质

σ(a)=a，称σ为线性恒等变换 σ(a)=0，称σ为线性零变换

σ的象集是R的一个子集，称为象空间，也就是说是R的一个线性子空间。 线性变换的基本性质

σ(0)=0,σ(-a)=-σ(a)

线性变换不改变线性组合和线性关系

线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组

由第一条性质可以看出，线性变换将零向量依然变成零向量，所以平移变换（即向量的位置发生变化）不是线性变换（这也是计算机图形为何要引入仿射变换的目的，仿射变换是线性变换的超集）。性质2和下面这种描述是等价的：

如果σ是线性空间R上的一个线性变换，那么σ满足：如果β是(α1,α2..αn)的线性组合，那么σ(β)依然是(σ(α1),σ(α2)..σ(αn))的线性组合。

性质3指出线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组，但线性变换不一定可以把线性无关的向量组变为线性无关的向量组，例如上面所说的线性零变换，即线性变换可能将一个向量变为零向量，而包含零向量的向量组必定线性相关。

2.4、线性变换下的坐标变换

R是数域F上的线性空间，σ是R某一组基X下的线性变换，其矩阵为A，v是R中的任意向量，v在基X下的坐标为(x1,x2..xn)T，v经过线性变换σ的坐标为(y1,y2..yn)T，那么有

（y1,y2..yn)T=A(x1,x2..xn)T

或用行向量表示为

（y1,y2..yn)=(x1,x2..xn)AT

也就是说，线性变换σ对于R中任意向量v的效果等同于σ的矩阵与v的乘积。上面这个公式称为线性变换下的坐标变换公式，证明方法与基变换下的坐标变换公式类似。

线性变换下的坐标变换公式是向量空间中对向量进行线性变换变换的基本方法，基本的线性变换有旋转、缩放、镜像（也称反射）、切变等，对于旋转，由于线性变换不会发生平移，所以在三维空间中是绕过原点的直线旋转，这些线性变换都是可逆的。有一种特殊的线性变换-正交投影，投影是降维变换，例如三维到二维的投影，由于变换丢失了一维的信息，所以正交投影是不可逆的，即正交投影的线性变换矩阵的行列式为0。

2.5、线性变换的矩阵表示：

线性变换矩阵的定义

设{α1，α2，…，αn}是数域F上的n维线性空间V的一个基，σ∈L(V)． 基向量的象可由基线性表示：

??(?1)?a11?1?a21?2???an1?n??(?)?a??a????a??2121222n2n???????(?n)?a1n?1?a2n?2???ann?n?? 其中A为：

我们把（1）写成矩阵等式的形式(σ(α1), σ(α2), …, σ(αn)) =(α1, α2, …, αn) A

?a11?aA??21?M??an1a12a22Man2?a1n??a2n?? ?M???ann?矩阵A称为线性变换σ在基{α1，α2，…，αn}下的矩阵．

3、三维图形的几何变换

由于用齐次坐标表示，三维几何变换的矩阵是一个4阶方阵，其形式如下：

?a11其中??a21??a31a12a22a32a13??a14??a? 产生平移变换，a23?产生缩放、旋转、错切等变换；??24??a33???a34???a41

a42a43?产生投影变换，?a44?产生整体缩放变换。

3.1平移变换

参照二维的平移变换，我们很容易得到三维平移变换矩阵：

3.2缩放变换

直接考虑相对于参考点（xf，yf，zf）的缩放变换，其步骤为： A. 将平移到坐标原点处； B. 进行缩放变换；

C. 将参考点（xf，yf，zf）移回原来位置 则变换矩阵为：

3.3绕坐标轴的旋转变换

三维空间的旋转相对要复杂些，考虑右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋转q 角的变换：

A.绕x轴旋转

B.绕y轴旋转

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/w0lf.html