机械CAD-CAM之二维图形复合换

机械CAD/CAM之二维图形复合变换

一、相对于任意点的旋转变换：

平面图形绕任一点P（xp,yp）旋转α角度，需要通过以下三个步骤实现： （1）平移变换：将旋转中心平移到坐标系原点，变换矩阵为： 1

[T1]= 0

?xp

01?yp

00 1

(2)旋转变换：将图形绕坐标系原点旋转α角度，变换矩阵为： cosαsinα0[T2]= ?sinαcosα0

001

(3)平移变换：将旋转中心平移到原来的位置，变换矩阵为： 1[T3]= 0

xp

01yp

00 1

因此，绕任意点P的旋转变换矩阵为： 1

[T]= [T1] [T2] [T3]= 0

?xp

01?yp

0cosαsinα010 ?sinαcosα0 01001xp

0

1yp

00 1

cosαsinα0?sinαcosα0 =

xp 1?cosα +ypsinα?xpsinα+yp(1?cosα)1

例：三角形绕点（5,25）做二维旋转变换，旋转角度为逆时针30° 100cos30sin300100

[T]= [T1] [T2] [T3]= 010 ?sin30cos300 010

?5?2510015251

2 ?1=

2 75?5 3 2

312? 3245?25 32

0 0 1

二、相对于任意直线的旋转变换：

平面内任意直线ax+by+c=0在x轴和y轴上的截距分别为- 和 - ,直线与x轴的夹角为α=arctan（- ）

a

b

b

c

c

a

相当于任意直线的对称变换需要通过以下三个步骤实现：

（1）平移变换：将直线和图形平移使其通过原点（这里沿x轴平移），变换矩阵为： 100

10 [T1]= 0c

01a

(2)旋转变换：将直线和图形一起旋转使其与某坐标轴重合（这里按顺时针绕原点旋转与x轴重合），变换矩阵为：

cosα?sinα0

[T2]= ?sin?（?α）cos?（?α）0 = sinαcosα0

001001

（3）对称变换：将旋转后的图形相对于某坐标轴作对称变换（这里对x轴），其变换矩阵为： 100[T3]= 0?10

001

（4）旋转变换：将对称变换后的图形按逆时针绕原点旋转，使其回到原来与x轴成α角的位置，变换矩阵为：

cosαsinα0[T4]= ?sinαcosα0

001

（5）平移变换：将图形从原点反向平移，使其回到原来的位置，变换矩阵为： 1[T5]= 0c

?a

0010 01cos?（?α）

sin?（?α）

0

通过上述5个步骤，即可实现图形对任意直线的赌场变换，复合变换矩阵为： cos2αsin2α[T]= [T1] [T2] [T3] [T4] [T5]= c(cos2α?1)a

sin2α?cos2α

c

(sin2α)a

00 1

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