线代 第三章习题和习题详解

第三章习题和习题详解

将1，2题中的向量?表示成?1,?2,?3,?4的线性组合：

1．???1,2,1,1?,?1??1,1,1,1?,?2??1,1,?1,?1?,?3??1,?1,1,?1?,?4??1,?1,?1,1?.

TTTTT2．???0,0,0,1?,?1??1,1,0,1?,?2??2,1,3,1?,?3??1,1,0,0?,?4??0,1,?1,?1?. 解：设存在k1,k2,k3,k4使得??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4，整理得

k1?k2?k3?k4?1 k1?k2?k3?k4?2 k1?k2?k3?k4?1 k1?k2?k3?k4?1

5111,k2?,k3??,k4??. 44445111所以???1??2??3??4.

4444解得k1?1. 设存在 k1,k2,k3,k4使得??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4，整理得

k1?2k2?k3?0，k1?k2?k3?k4?0， 3k2?k4?0，k1?k2?k4?1.

解得 k1?1,k2?0,k3??1,k4?0. 所以???1??3. 判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ?1??1,1,1?,?2??0,2,5?,?3??1,3,6?.

TTT4. ?1?(1,?1,2,4)T,?2??0,3,1,2?，?3??3,0,7,14?.

TT解： 设存在 k1,k2,k3使得k1?1?k2?2?k3?3?0，即

101?k1?k3?0??k1?2k2?3k3?0 ，由123?0，解得k1,k2,k3不全为零， ?k?5k?6k?015623?1故?1,?2,?3线性相关.

4.设存在 k1,k2,k3使得k1?1?k2?2?k3?3?0，即

?k1?3k3?0??k?3k?0?12可解得k1,k2,k3不全为零，故?1,?2,?3线性相关. ?2k?k?7k?023?1??4k1?2k2?14k3?0

5.论述单个向量??线性相关和线性无关的条件. （a1,a2,?,an）解：设存在k使得k??0，若??0，要使k??0，当且仅当k?0，故，单个向量线性无关的充要条件是??0；相反，单个向量??线性相关的充要条件是??0. （a1,a2,?,an）

6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组?1,?2,?,?n?1,?n线性无关，利用反证法， 假设存在该向量组的某一部分组?i1,?i2,?,?ir(ir?n)线性相关，

则向量组?1,?2,?,?n?1,?n线性相关，与向量组?1,?2,?,?n?1,?n线性无关矛盾， 所以该命题成立.

7.证明：若?1,?2线性无关，则?1??2,?1??2也线性无关. 证：方法一，设存在k1,k2使得k1(?1??2)?k2(?1??2)?0， 整理得，(k1?k2)?1?(k1?k2)?2?0，

?k1?k2?0因为?1,?2线性无关，所以?，可解得k1?k2?0，

k?k?02?1故?1??2,?1??2线性无关.

?11??方法二，因为（?1??2,?1??2）?（?1,?2）?1?1??， ??11又因为??2?0，且?1,?2线性无关，所以向量组?1??2,?1??2的秩为2，

1?1故?1??2,?1??2线性无关.

8.设有两个向量组?1,?2,?,?s和?1,?2,?,?s,其中

?a11??a12??a1s???????aa?21??22??a2s??1??a31?,?2??a32?, ?,?s??a3s?,

????????????????a??a??a??k1??ks??ks?

?1,?2,?,?s是分别在?1,?2,?,?s的k个分量后任意添加m个分量b1j,b2j,?,bmj

(j?1,2,?,s)所组成的k?m维向量，证明：

（1） 若?1,?2,?,?s线性无关，则?1,?2,?,?s线性无关；

（2） 若?1,?2,?,?s线性相关，则?1,?2,?,?s线性相关.

证：证法1，(1)设A???1,?2,?,?s?，B???1,?2,?,?s?，因为?1,?2,?,?s线性无关，所以齐次线性方程AX?0只有零解，即r(A)?s, 且r(B)?s，?1,?2,?,?s线性无关.

证法2，因为?1,?2,?,?s线性无关，所以齐次线性方程AX?0只有零解，再增加方程的个数，得BX?0，该方程也只有零解，所以?1,?2,?,?s线性无关.

(2) 利用反证法可证得，即假设?1,?2,?,?s线性无关，再由（1）得?1,?2,?,?s线性无关，与?1,?2,?,?s线性相关矛盾.

9. 证明：?1??2,?2??3,?3??1线性无关的充分必要条件是?1,?2,?3线性无关.

?101???证：方法1，（?1??2,?2??3,?3??1）=（?1,?2,?3）?110?

?011???101因为?1,?2,?3线性无关，且110?2?0，可得?1??2,?2??3,?3??1的秩为3所以

011?1??2,?2??3,?3??1线性无关.线性无关；反之也成立.

方法2，充分性，设?1,?2,?3线性无关，证明?1??2,?2??3,?3??1线性无关. 设存在k1,k2,k3使得k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??1)?0，整理得，

(k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0 因为?1,?2,?3线性无关，所以

?k1?k3?0??k1?k2?0，可解得k1?k2?k3?0，所以?1??2,?2??3,?3??1线性无关. ?k?k?03?2必要性，（方法1）设?1??2,?2??3,?3??1线性无关，证明?1,?2,?3线性无关，

假设?1,?2,?3线性相关，则?1,?2,?3中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设?1可由?2,?3线性表示，则向量组?1??2,?2??3,?3??1可由?2,?3线性表示，且3?2，所以?1??2,?2??3,?3??1线性相关，与?1??2,?2??3,?3??1线性无关矛盾，故?1,?2,?3线性无关. 方法2，令?1??1??2,?2??2??3,?3??3??1，设存在k1,k2,k3使得

k1?1?k2?2?k3?3?0，由?1??1??2,?2??2??3,?3??3??1得

?1?（?1??2??3）,?2?（?1??2??3）,?3??（?1??2??3），代入 k1?1?k2?2?k3?3?0得，

111k1（?1??2??3）?k2（?1??2??3）?k3（??1??2??3）?0，即 222121212(k1?k2?k3)?1?(?k1?k2?k3)?2?(k1?k2?k3)?3?0

?k1?k2?k3?0?因为?1,?2,?3线性无关，所以??k1?k2?k3?0

?k?k?k?0?123可解得k1?k2?k3?0，所以?1,?2,?3线性无关.

10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：

（m?2）（1）?1,?2,?,?m线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关；

解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两

?1??0??1?线性无关，但这3个向量线性相关。设?1???0??，?2???1??，?3???1??，

???????1,?2,?3两两线性无关，而?1,?2,?3线性相关.

（m?2）（2）?1,?2,?,?m线性相关的充分必要条件是有m?1个向量线性相关；

?1??0??1?解：不正确，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设?1???0??，?2???1??，?3???1??，?1,?2,?3线性

??????相关，而 俩?1,?2,?3两两线性无关.

（3） 若?1,?2线性相关，?1,?2线性相关，则有不全为零的数k1,k2，使得

k1?1?k2?2?0且k1?1?k2?2?0，从而使得k（?k（?0， 1?1??1）2?2??2）故?1??1，?2??2线性相关.

解：不正确，因为?1，?2线性相关和?1，?2线性相关，不一定存在同一组不全为零的数

k1,k2，使得k1?1?k2?2?0和k1?1?k2?2?0成立；或者说存在两组不全为零的数 k1,k2和t1,t2使得k1?1?k2?2?0和t1?1?t2?2?0成立.

（4） 若?1,?2,?3线性无关，则?1??2,?2??3,?3??1线性无关.

解：不正确，因为取1，1，1这组常数，使得（?1??2）?（?2??3）?（?3??1）?0，

所以?1??2,?2??3,?3??1线性相关.

（5） 若?1,?2,?3,?4线性无关，则?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关； 解：不正确，因为?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性相关， 由9题，n为奇数个时，线性无关，n为偶数时，线性相关.

（6） 若?1,?2,?3,?,?n线性相关，则?1??2,?2??3,?,?n?1??n,?n??1线性相关；

解：正确，因为?1,?2,?3,?,?n线性相关，所以?1,?2,?3,?,?n中至少有一向量可由剩余的n?1个向量线性表示，则?1??2,?2??3,?,?n?1??n,?n??1也可由那剩余的n?1个向量线性表示，再因为n?n?1， 所以?1??2,?2??3,?,?n?1??n,?n??1线性相关.

11.如果?1,?2,?3,?4线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数

k1,k2,k3,k4，使得k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0.

证：因为?1,?2,?3,?4线性相关，所以存在不全为零的常数k1,k2,k3,k4，使得

k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0，假设k1?0，则k2?2?k3?3?k4?4?0，

得?2，?3，?4线性相关与题设矛盾.故k1?0；同样方法可证得k2,k3,k4都不为零. 所以该命题成立.

12.若?1,?2,?,?r线性无关，证明：?,?1,?2,?,?r线性无关的充分必要条件是?不能由?1,?2,?,?r线性表示.

证：必要性，假设?能由?1,?2,?,?r，则?,?1,?2,?,?r线性相关与

?,?1,?2,?,?r线性无关矛盾，故?不能由?1,?2,?,?r线性表示.

充分性，设存在k0,k1,k2,?,kr使得k0??k1?1?k2?2?k3?3???kr?r?0， 若k0?0，则?能由?1,?2,?3,?,?r线性表出，矛盾，所以k0?0， 因此，k1?1?k2?2?k3?3???kr?r?0，又因为?1,?2,?,?r线性无关， 所以k1?k2???kr?0，故，?,?1,?2,?,?r线性无关.

13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示： （1） ?1?(6,4,1,9,2),?2?(1,0,2,3,?4),?3?(1,4,?9,?6,22),?4?(7,1,0,?1,3);

（2）?1?(1,?1,2,4),?2?(0,3,1,2),?3?(3,0,7,14),?4?(2,1,5,6),?5?(1,?1,2,0); （3）?1?(1,1,1),

?2?(1,1,0),?3?(1,0,0),?4?(1,2,?3).

TTTT解：（1）?1,?2,?3,?4??17??61?1???4041???0=?12?90?????0????0?93?6?1??0?2?4223????010000???50?01?

?00?00??1所以，向量组的秩为3，?1,?2,?4为一个极大线性无关组，?3??1?5?2. （2）类似（1），可求得向量组的秩为3，

?1,?2,?4为一个极大线性无关组，且?3?3?1??2，?5??4??1??2.

（3）类似（1），可求得向量组的秩为3，?1,?2,?3为一个极大线性无关组，

?4?5?2?3?1??3.

14.设向量组：?1?(1,?1,2,4),?2?(0,3,1,2),?3?(3,0,7,14),?5?(2,1,5,6),?4?(1,?1,2,0),?5?(2,1,5,6). （1）证明?1，?2线性无关；

（2）求向量组包含?1，?2的极大线性无关组.

T（1）证：设存在k1,k2,使得k1?1T?k1?2?0，求得k1?k2?0，所以?1，?2线性无关；

TT（2）解， ?1T,?2,?3T,?4,?5T???1???1??2??4?03130?117221402??1??1??0????05?????06??0100310000101??1?,所以，?1,?2,?4为包含?1，?2?1?0??的一个极大线性无关组.

15.设A,B皆为n阶矩阵，r(A)?n,r(B)?n，证明：

?A0?（1）秩??0B???r(A)?r(B);

???AC?（2）秩??0B???r(A)?r(B)，C为任意n阶矩阵.

??证：（1）设r(A)?r1,r(B)?r2，则存在n阶可逆矩阵P,Q,P',Q',

?Er1使得PAQ???0?0?'?Er2'??PBQ?,?0?0??0??,从而 ?0?0??0?,.则 ?0?0???Er1?P0A0Q0???????0??????0P'??0B??0Q'????0????????0?00000Er200

?A0??P0??A0??Q0???秩?秩??0B??0P'????0B????0Q'???r1?r2?r(A)?r(B). ?????????AC?（2）因为秩?AC??r(A),所以秩??0B???r(A)?r(B).

??16.证明r(AB)?min(r(A),r(B)).

证：设A,B分别为m?n,n?s矩阵，将A按列分块，则有

?b11??b21??n?????b?n1b12b22?bn2?b1s???b2s?的列向量组?1,?,?s可由A的列向量组 ????bns??AB???1?2?1,?2,?,?n线性表示，故r(AB)?AB的列秩?A的列秩=r(A)，同样，将B按行分块，得r(AB)?r(B)，

因此，该命题成立.

17.设A,B分别为m?n,n?m矩阵，且n?m，证明：齐次线性方程组(AB)X?0有非零解. 证：由r(AB)?min(r(A),r(B))?n?m，所以AB?0，故齐次线性方程组(AB)X?0有非零解.

18.设A是一个s?n矩阵，B是由A的前m行构成的m?n矩阵.证明：若A的行向量组的秩为r，则

r(B)?r?m?s.

证：设?i?(ai1,ai2,?,ain),i?1,2,?,s,

??1????????1??????A??m?，B????.

??m?1????????m???????s?设r(B)?p，于是，B的行向量组的极大线性无关组?i1,?i2,?,?ip含p个向量。因此，A的行向量组的一个极大线性无关组是向量组?i1,?i2,?,?ip,?m?1,?,?s的一个子集，所以它所含向量个数?p?(s?m)，即r(A)?r?p?(s?m)， 从而，r(B)?p?r?m?s.

求下列（19—22题）矩阵的秩，并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式：

?????1??019. ?0??0?

2345??0?1?2?3?. ?0004?012?1??

?1??0解：?0??0?2345?1?1??0?1?2?3?2?0???0004?4?0???012?1?3??0所以，矩阵的秩为3。

2345??0?1?2?3?

000?2??0000??103054210??4?20?. ?6?11?001??0?1?1?1??0?4?03????1?300???1?2??000??001?

0?40??000??210?1?3??4?0为一个最高阶的非零子式。 ?1?1??2?220. ?30??03??1?121??2?24?2解： ?306?1??0300?所以，矩阵的秩为3。

1?130031?1?12?0为一个最高阶的非零子式。 0?32?1?3?2???1?3?. 21. ?2?13?45?561???93??32?1?3?2??13?4????1?3?????0?713?17?9? 解：?2?13?45?56?00?2?13?2?1?????所以，矩阵的秩为3。

3425?13??14?0为一个最高阶的非零子式。 ?5100?

?

110?

?211?

021??

2?1?1??222.?

0??0?

?1??2解：?0??0?

112001120??11??0??0?1????001?????001??01100??0? ?0?1??所以，矩阵的秩为4。

11002110??1?0为一个最高阶的非零子式。

02110021

23.设A是一个m?n矩阵，证明：存在非零的n?s矩阵B，使得AB?0的充要条件是 r(A)?n.

证：设齐次线性方程组AX?0，B???1可得A?j?0,j?1,2,?,s，由于，B???1?2??s??0，则由AB?0， ?2??s??0，至少有一个?j?0，

再由AX?0有非零解的充要条件是r(A)?n，故，A?j?0,j?1,2,?,s， 至少有一个?j?0的充要条件是r(A)?n.

24.设A,B是同形矩阵，证明：A与B相抵的充要条件是r(A)?r(B). 证：设A,B是m?n矩阵，r(A)?r,r(B)?p，则存在可逆矩阵P1,P2,Q1,Q2，

?Er使得P1AQ1???0?0??Ep?，P2BQ2???00???0??， 0??0??Ep??=PBQ?22??00??0??， ?0??Er?充分性，因为r(A)?r(B)，所以，PAQ?11?0??1?1?1(P2)?1P1AQ1Q2?B,令(P2)P1?P,Q1Q2?Q,故，PAQ?B

因此，A与B相抵.

必要性，因为A与B相抵，所以，存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ?B， 因此，r(A)?r(B).

（m?n）25.设A是m?n矩阵，r(A)?m，证明：存在n?m矩阵B使得AB?Im.

证：因为r(A)?m，所以，存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ??Im0?，所以有

AQ?P?1?Im0?,

AQ?P?1?Im0??(P?10), (1)

?P?(1) 右端乘n?m阶矩阵T???0??,得AQT?Im，令QT?B,

??故，AB?Im.

26.证明：若n阶方阵A的秩为r，则必有秩为n?r的n阶方阵B，使得BA?0.

证：因为n阶方阵A的秩为r，所以A的秩为r，则ATX?0的基础解系含有n?r个线性无关的解向量，取这n?r个线性无关的解向量X1,?,Xn?r为BT的列向量，则r(BT)?n?r?r(B).因此，该命题得证.

27.证明：任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1矩阵之和，而不能表示为少于r个秩为1的矩阵之和.

T?Er证：设A为秩为r的矩阵，则存在可逆矩阵P,Q使得PAQ???0?0??， 0???Er所以，A?P?1??0?0??1?1?1?1?1?1?1?，其中B1,?,Br为秩为1的矩阵 Q?P(B???B)Q?PBQ???PBQ1r1r?0?因此，任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1矩阵之和.

后部的证明，（反证法）假设A为秩为r的矩阵，能表示为少于r个秩为1的矩阵之和，不妨设A能表示为p个秩为1的矩阵之和，其中，p?r，设A?(B1???Bp),其中B1,?,Bp是秩为1的矩阵.r(A)?r(B1)???r(Bp)?p?r，与r(A)?r矛盾. 28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解：

?x1?x2?5x3?x4?0?x?x?2x?3x?0?1234（1）?

?3x1?x2?8x3?x4?0??x1?3x2?9x3?7x4?0?1?15?1????11?23?解：?3?181????13?97?????1??????0?0??03271?200000?1??2? ?0??0?取x3,x4为自由未知量，令x3?1,x4?0和x3?0,x4?1，得原方程组的一个基础解系为

37X1?(?,,1,0)T;22X2?(?1,?2,0,1)T，

?3??????1?2????7???2??k2??，其中k1,k2为任意常数. 因此，一般解为X?k1X1?k2X2=k1??2?0???1??1?????0??

?3x1?x2?8x3?2x4?x5?0?2x?2x?3x?7x?2x?0?12345(2). ?

x?11x?12x?34x?5x?02345?1??x1?5x2?2x3?16x4?3x5?01??1?31?82????0?2?2?3?72?解：?????01111234?5?????0?1?52163????0?198100?78003?825800??1?2? 0??0??12取x3,x4,x5为自由未知量，令x3?1,x4?0,x5?0，x3?0,x4?1,x5?0和x3?0,x4?0,x5?1，得原方程组的一个基础解系为

19732511X1?(,,1,0,0)T, X2?(,?,0,1,0)T, X3?(?,,0,0,1)T,

8888223?19?8???1?8??7??25??12??8???8??2?因此，一般解为X?k1X1?k2X2?k3X3?k1?1??k2?0??k3?0?，其中，k1,k2,k3为任意常数.

???????0??1??0????????1??0??0?29. 求下列非齐次线性方程组的一般解：

?2x1?7x2?3x3?x4?6?（1）?3x1?5x2?2x3?2x4?4

?9x?4x?x?7x?2234?1?27316??19408?????解：?35224?????0?11?51?10?

?94172??00000?????取x2,x3为自由未知量，令x2?x3?0，得方程组的一个特解：X0?(8,0,0,?10)T， 再令x2?1,x3?0和x2?0,x3?1，得其导出组的一个基础解系：X1?(?9,1,0,11)T,所以，方程组的一般解为X?X0?k1X1?k2X2，其中k1,k2为任意常数.

?x1?x2?x3?x4?x5?7?3x?2x?x?x?3x??2?12345（2）?

x2?2x3?2x4?6x5?23???5x1?4x2?3x3?3x4?x5?12?1??3解：?0??5?X2?(?4,0,1,5)T.

?117???211?3?2??0????122623?0???0433?112???1110?1?1?5?16??122623?

00000??00000??取x3,x4,x5,为自由未知量，令x3?x4?x5?0，得方程组的一个特解：X0?(?16,23,0,0,0)T；

再取x3?1,x4?0,x5?0，x3?0,x4?1,x5?0和x3?0,x4?0,x5?1得其导出组的一个基础解系：

X1?(1,?2,1,0,0)T,X2?(1,2,0,1,0)T,X3?(5,?6,0,0,1)T

所以，方程组的一般解为X?X0?k1X1?k2X2?k3X3，其中k1,k2,k3为任意常数.

30.讨论p,q取何值时，下列线性方程组有解、无解，有解时求其解.

?(p?3)x1?x2?2x3?p?(1) ?px1?(p?1)x2?x3?2p

?3(p?1)x?px?(p?3)x?3123??p?3?解：?p?3(p?1)???p?p?312p???22p?112p??????p?p?303?p?3p?6?

?p2(p?1)00p3?3p2?15p?9?pp?33????12所以，p?0或p?1时，该方程组无解，

p?0且p?1时，

???p?312p?010??22???p?p?303?p?3p?6?????001?p2(p?1)00p3?3p2?15p?9??100???有唯一解是

??p(p?1)32?4p?3p?12p?9? p2(p?1)?p3?3p2?15p?9?p2(p?1)?p3?12p?92p3?3p2?15p?9p3?12p?9?4p3?3p2?12p?9X1?，X2?，X3? 222p(p?1)p(p?1)p(p?1)?x1?x2?x3?x4?x5?1?3x?2x?x?x?3x?p?12345（2）?

x2?2x3?2x4?6x5?3???5x1?4x2?3x3?3x4?x5?q?1??3解：?0??5??111111???211?3p??0????12263?0???0433?1q???11111??12263?

0000p??0000q?2??所以，当p?0或q?2时，方程组无解； 当p?0且q?2时，方程组有无穷多解，

?1??0?0??0?

11111??1??12263??0?00000??0???00000???00?1?1?5?2??12263? ?00000?00000??

取x3,x4,x5为自由变量，令x3?x4?x5?0，得方程组的一个特解：X0?(?2,3,0,0,0)T；

再取x3?1,x4?0,x5?0，x3?0,x4?1,x5?0和x3?0,x4?0,x5?1得其导出组的一个基础解系：

X1?(1,?2,1,0,0)T,X2?(1,?2,0,1,0)T,X3?(5,?6,0,0,1)T

??2??1??1??5?????????3?22????????6?所以，方程组的一般解为X??0??k1?1??k2?0??k3?0?，其中k1,k2,k3为任意常数.

?????????0??0??1??0??0??0??0??1??????????x1?x2?2x3?x4?1?x?x?2x?7x?3?1234（3）?

x?px?qx?q?3234???x1?x2?2x3?(q?2)x4?q?3?11?12?11?????1?1?2?73??0解：?????001pqq?3?????11??02q?2q?3???11001??23?1? ?p?2q?3q?2?0q?1q?2??2?1所以，当p?2且q?1时，方程组有唯一解。 当q?1时，方程组无解；

?1??0当p?2时，?0??0??112?11???123?1??0????00q?3q?2?0???000q?1q?2???12?11??123?1?

0012??0004?q??TT所以，当p?2且q?4时，方程组有无穷多解，?10,?7,0,2?k?0,?2,1,0?，其中k为任意常数。 当p?2且q?4时，方程组无解。

31.设A是m?n矩阵，证明：若任一个n维向量都是AX?0的解，则A?0.

证：因为任一个n维向量都是AX?0的解，则n维向量?i?(0,?,0,1,0,?,0)T（第i个分量为1其余分量均为0的列向量）满足A(?1,?,?n)?(A?1,?,A?n)?0，即AI?0,其中I是n阶单位方阵，因此，A?0. 32. 设A是一个m?s矩阵，B是s?n矩阵.X是n维列向量.证明：若(AB)X?0与

BX?0是同解方程组，则r(AB)?r(B).

(AB)X?0的基础解系所含解向量的个数与BX?0证： 因为若(AB)X?0与BX?0是同解方程组，所以，

的基础解系所含解向量的个数相等.

即n?r(AB)?n?r(B)，因此，r(AB)?r(B).

33. 设A是m?n矩阵, B是n?s矩阵，证明：若AB?0，则r(A)?r(B)?n. 证：设B?(?1,?,?s)，其中?1,?,?s是一组列向量，由AB?0得，

A?j?0,j?1,?,s.若r(A)?r，则AX?0的基础解系含有n?r个线性无关的解向量，而?1,?,?s为

AX?0的解向量，则?1,?,?s可由AX?0的基础解系线性表示，

所以，r(B)?n?r?n?r(A). 故，r(A)?r(B)?n.

34.设A?是n阶矩阵A的伴随矩阵，证明：

?n,r(A)?n（1）r(A?)???1,r(A)?n?1

??0,r(A)?n?1（2） A??An?1.

证：（1）由于AA??AI，当r(A)?n时，A?0，所以A??0，得r(A?)?n； 当r(A)?n?1时，即至少有一个n?1阶子式不等于零，所以A??0，且A?0， 因为A??0，所以r(A?)?1.

因为A?0，所以AA??0，即A?的每一列均是齐次线性方程组Ax?0的解，r(A?)?n?r(A)?n?(n?1)?1。 因此，r(A?)?1；

当r(A)?n?1时，A的任一n?1阶子式都等于零，所以A??0，故r(A?)?0。 （2）当A?0时，由AA??AI，得A??An?1。

当A?0时，即r(A)?n?1，由（1）知，r(A?)?1，从而A??0，所以A??An?1也成立，

故，对任意n阶方阵A，都有：A??An?1。

35. 设A是n阶可逆矩阵(n?2)，证明：?A????An?2A.

证：因为A是n阶可逆矩阵，所以A?是n阶可逆矩阵，且A??An?1。

因为A??A????A?I，所以?A????A?(A?)?1。

又因为AA??AI，所以(A?)?1?A。因此，A???A?(A?)?1n?1AA???AA?An?2A。

所以

36. 设A是n阶矩阵，证明：非齐次线性方程组AX?b对任何b都有解的 充要条件是A?0.

证：充分性，因为A?0，所以r(A)?n?r(A,b)。 因此，对于任意b，r(A)?n?r(A,b)，AX?b有解.

??1?????2?必要性，(反证法) 假设A?0, 则r(A)?n。设A???，则?1,?2,?,?n线性相关，从而其中至少有

??????n??一个向量能由其余向量线性表出，不妨设?n可由?1,?2,?,?n?1线性表出，取b?(0,0,?,0,1)T，则

???10?(A,b)?????????0?，即r(A)?r(A,b)，所以方程组无解，矛盾。 ???n?1?01???37.设x1?x2?a1,x2?x3?a2,x3?x4?a3,x4?x5?a4,x5?x1?a5,

5证明：这个方程组有解的充要条件是?ai?0，在有解的情形下，求出它的一般解。

i?1证：因为x1?x2?a1,x2?x3?a2,x3?x4?a3,x4?x5?a4,x5?x1?a5,

??1?1000??x1??a1?01?100????x????2??a2?即??001?10??x3??0001?1?????x????a3?? 4??a4???10001????x??5??a?5???1?1000a1??1?1000a1??01?100a??2?有??001?10??01?100a?2?a3????001a?3 ??0001?1a???104??0001?1a?4???10001a??5??00000aaa?1?2?a3?a4?5?

??1000?1??1000?1a5???11000?????11000a?4?令A???0?1100?（A,b）??0?1100a3?， ??，增广矩阵

??00?110??00?110a?2??000?11????000?11a?1?5方程组有解的充要条件为r(A)?r(A,b)即?ai?0。

i?1

?1?1000??01?1005当?ai?0时，?001?10?i?1?0001?1??00000?1a1???a2??0a3?????0???0a4???0??0000?1100?1010?1001?10000a1?a2?a3?a4??a2?a3?a4?? a3?a4??a4?0?取x5为自由变量，令x5?0，得方程组的一个特解：X0?(a1?a2?a3?a4,a2?a3?a4,a3?a4,a4,0)T； 再取x5?1得其导出组的一个基础解系：X1?(1,1,1,1,1)T

?a1?a2?a3?a4??1?????a?a?a???1?234??k?1?，其中k为任意常数。 所以，方程组的一般解为X?X0?kX1??a3?a4????a4???1????1?0????38. 已知?1，?2是方程组AX?b的两个不同解,?1,?2是对应齐次线性方程组AX?0的基础解系, 则

AX?b一般解是:

(A) k1?1?k2(?1??2)??1??222???2???2(C) k1?1?k2(?1??2)?1; (D) k1?1?k2(?1??2)?1.

22; (B) k1?1?k2(?2??1)??1??2;

解:可证得?1，?2??1，是线性无关的且是AX?0的解,因此是AX?0的一个基础解系, 的一个解, 因此, 选(B).

?1??22是AX?b?123???39.已知Q??24t?,P为非零矩阵,PQ?0, 则:

?369???(A) 当t?6时,r(P)?1; (B) 当t?6时,r(P)?2; (C) 当t?6时,r(P)?1; (D) 当t?6时,r(P)?2;

?123???解: 因为PQ?0, 且Q??24t?, 所以r(P)?r(Q)?3, 又因为P为非零矩阵, 所以r(P)?1, 当t?6?369???时, r(Q)?2, 因此, 1?r(P)?1, 即r(P)?1, 故选(C).

40.设?1?(a1,a2,a3)T,?2?(b1,b2,b3)T,?3?(c1,c2,c3)T,则三条直线

aix?biy?ci?0,(ai2?bi2?0),(i?1,2,3)交于一点的充要条件是: (A) ?1,?2,?3线性相关, (B) ?1,?2,?3线性无关;

(C) r{?1,?2,?3}?r{?1,?2}; (D) ?1,?2,?3线性相关, ?1,?2线性无关.

?a1x?b1y??c1?a1??解:因为?a2x?b2y??c2有唯一解的充要条件是r?a2?ax?by??c?a33?3?3?a1?r?a2?a?3?a1?r?a2?a?3b1b2b3?c1???c2??2，即?1,?2,?3线性相关。 ?c3??b1??a1??b2??r?a2?b3???a3b1b2b3?c1???c2??2， ?c3??b1??b2??2，即?1,?2线性无关。所以，选(D)。 b3?? 41.设A是m?n矩阵,r(A)?m(m?n),B是n阶矩阵,下列哪个成立? (A) A中任一m阶子式?0; (B) A中任意m列线性无关； (C) ATA?0; (D) 若AB?0，则B?0； (E) 若r(B)?n，则r(AB)?m.

解：选 （E）. r(B)?n, 所以B可逆，r(AB)?r(A)?m.

42. 设?1,?2,?,?m(?i?Rn,i?1,?,m,m?2)线性无关, 下列哪个成立? (A) 对任意常数k1,k2,k3,?,km，有k1?1?k2?2???km?m?0； (B) 任意k(k?m)个向量?i1,?,?ik线性相关； (C) 对任意??Rn,?1,?,?m,?线性相关； (D) 任意k(k?m)个向量?i1,?,?ik线性无关.

解：选（D），因为整体线性无关，部分必线性无关。 43.设?,?,?线性无关，?,?,?线性相关，下列哪个成立?

(A) ?必可由?,?,?线性表示； （B） ?必可由?,?,?线性表示； (C) ?必可由?,?,?线性表示； (D) ?必不可由?,?,?线性表示.

解：选（C）。因为?,?,?线性无关，所以?,?线性无关。因为?,?线性无关，?,?,?线性相关，所以

?必可由?,?线性表示，从而?必可由?,?,?线性表示。

44. 设A是4?3矩阵，r(A)?1，?1,?2,?3是非齐次线性方程组AX?b的三个线性无关解，下列哪个是

AX?0的基础解系？

(A) ?1??2??3 (B) ?1??2?2?3 (C) ?2??1,?3??2 (D) ?1??2,?2??3

解：因为r(A)?1，所以AX?0的基础解系含有2个线性无关的解，因此(A), (B)不正确。 (D)的两个解不是AX?0的解，故选(C).

45. 设向量组{?1,?2,?3}线性相关，{?2,?3,?4}线性无关。回答下列问题，并证明之。 （1）?1能否由{?2,?3}线性表示？ （2）?4能否由{?1,?2,?3}线性表示？

解：（1）因为?2,?3,?4线性无关，所以?2,?3也线性无关， 又因为?1,?2,?3线性相关，所以?1可由?2,?3线性表示。

（2）（反证法）假设?4能由?1,?2,?3线性表示，再由（1），?1能由?2,?3线性表示，所以?4能由?2,?3线性表示，即?2,?3,?4线性相关，与?2,?3,?4线性无关矛盾。所以，?4不能由{?1,?2,?3}线性表示。 46.设A为n阶矩阵，若存在正整数k(k?2)使得Ak??0，但Ak?1??0（其中?为n维非零列向量），证明：?,A?,?,Ak?1?线性无关。

证明：（定义法证）若t1??t2A????tkAk?1??0， 上式两边左乘Ak?1得，t1Ak?1??t2Ak????tkA2k?2??0 因为Ak??0，所以Ak?1????A2k?2??0 因此，t1Ak?1??0，又因为Ak?1??0，得t1?0。 利用同样方法，可求得t2?t3???tk?0， 因此，?,A?,?,Ak?1?线性无关。

47.设A,B分别为n?m,m?n矩阵（n?m), 且AB?I（n阶单位矩阵）， 证明：B的列向量组线性无关。

证：因为AB?I，且n?m, 所以r(AB)?n?min(r(A),r(B))?n， 因此，r(B)?n，而B是m?n矩阵， 故，B的列向量组线性无关。

48.已知秩{?1,?2,?3}=秩{?1,?2,?3}，其中?1?(1,2,?3)T,?2?(3,0,1)T,

?3?(9,6,?7)T；?1?(0,1,?1)T,?2?(a,2,1)T,?3?(b,1,0)T，且?3可由

?1,?2,?3线性表示，求a,b的值。

-1??139b??1-11????3? 解：??1,?2,?3,?3?=?2061?????024?-31-70??000-5?b?????因为?3可由?1,?2,?3线性表示，所以有b?5?0，因此，b?5。

?139??139?????(?1,?2,?3)??206?????012?

??31?7??000?????所以秩{?1,?2,?3}=2。

0???11?0a5?????1(?1,?2,?3)??121?????01? 3?005?1a???110???3??1因为秩{?1,?2,?3}=秩{?1,?2,?3}=2，所以5?a?0，所以，a?15。

3?1a?a????a1?a?49. 设A??为n阶矩阵（n?3），a?R，且r(A)?n?1，求a。 ????????aa?1???解：因为r(A)?n?1?2(n?3) 所以a?1

???01?? ??????11??0(n?1)a?1??1因为r(A)?n?1，所以(n?1)a?1?0，因此，a?。

1?n?1a???a1?A???????aa???10?a???0?1a????????????001???00??0?150. 设n阶矩阵A的每行元素之和均为零，又r(A)?n?1，求齐次线性方程组Ax?0的通解。 解：因为r(A)?n?1，所以齐次线性方程组Ax?0的基础解系中含一个解向量。 设A???1?2??n?，因为A的每行元素之和均为零，所以?1??2????n?0

?1??1??1????????1??1??1?即A???0，因此??是齐次线性方程组Ax?0的一个基础解系。从而，Ax?0的通解为：??k??，其

??????????1??1??1???????中k为任意常数。

51. 已知下列线性方程组I, II为同解线性方程组，求参数m,n,t之值。

?x1?x2?2x4??6,?I:?4x1?x2?x3?x4?1, II:?3x?x?x?3;123??x1?mx2?x3?x4??5,??nx2?x3?2x4??11, ?x?2x??t?1.34??110?2?解：因为?4?1?1?1?3?1?10??100?1?6???1?????010?1?001?23????2???4? ?5??所以，(?2,?4,?5,0)T是方程组I的一个解，因为方程组I与II同解，所以它也是方程组II的一个解，将它带入方程组II，可得：m?2,n?4,t?6。

152.设??(1,2,1)T,??(1,,0)T,??(0,0,8)T,A???T,B??T?，求解方程2B2A2x?A4x?B4x??。

2解：即求解非齐次线性方程组：(2B2A2?A4?B4)x??

??840?因为(2B2A2?B4?A4,?)??16?80?84?16??10?10???0?????01?2?0008?????1? 0??121所以(2B2A2?A4?B4)x??的一个特解为：(,1,0)T。

2(1,2,1)为其导出组的一个基础解系。

1因此，(2B2A2?A4?B4)x??的一般解为：(,1,0)T?k(1,2,1)T，其中，k为任意常数。

253. 设n阶矩阵A?(?1,?2,?,?n)的行列式A?0，A的前n?1列构成的n?(n?1)矩阵记为

A1?(?1,?2,?,?n?1)，问方程组A1x??n有解否？为什么？ 解：无解，因为r(A1)?n?1,r(A1,?n)?n。

54. 设?,?均为非零的n维列向量，A???T，证明：A中任意两行（或两列）成比例。 解：因为r(A)?min(r(?),r(?T))?1，所以A中任意两行（或两列）成比例。

?A1155. 设n阶矩阵A分块为A???A?21A12??，其中A11为k阶可逆矩阵（k?n），证明：存在主对角元为1的?A22?0??。 ?B??A11上三角矩阵U和下三角矩阵L，使得LAU???0?解：由分块矩阵的初等变换，不难知道：

?Ik???AA?1?21110??A11???In?k???A21A12??Ik???A22???0?1?A11A12??A11????0In?k????? ?1?A22?A21A11A12?0?Ik所以，L????AA?1?2111

0??Ik??，U???0In?k???1?A11A12??。 In?k??

56. 设A,B皆为n阶矩阵，证明：

IB（1）。 ?I?AB; （2）I?AB?I?BA;（3）det(?I?AB)?det(?I?BA)（?为任意常数）

AIB??I0??IB??I????证：（1）因为????AI??AI??0I?AB??

??????I0IBIBIB 所以 因此，??I?AB。

AI?AIAI0I?ABI?BIBI?BA0?I?B??IB??I?BA0??????（2）因为? 所以 ???0I??AI??A?I?0IAIAI????? 因此，

IB?I?BA 由（1）即得：I?AB?I?BA。 AI（3）分两种情况来讨论。当??0时，?AB?(?1)nAB??BA，成立。

B??I0??IB??I当??0时，因为，????????AI??A?I??0?I?AB??,??????11B??IB??I??BA0??I?????? ??????0???I??A?I??A?I??IB所以，det(?I?AB)?det(?I?BA)?。综上，结论成立。

A?I57. 证明：若A是m?n矩阵，r(A)?r，则存在m?r矩阵B，r?n矩阵C，且r(B)?r(C)?r，使得A?BC（提示：利用相抵标准形）。

?Ir证明：因为，r(A)?r，所以存在可逆矩阵P(m阶)、Q(n阶)，使得PAQ???0??IrA?P?1??0?0??1?1?Ir?Q=P???00??0??，则0??0??Ir???0?m?n??00??1?1? 令QP?Mm?r?0?n?n??Nr?n?'?1?'? Mm,Q??(m?r)?N??(n?r)?n??因为P?1,Q?1为可逆矩阵，所以Mm?r的列向量组线性无关，Nr?n的行向量组线性无关。 令B?Mm?r?M'm?(m?r)??Ir??0?0????Mm?r0??m?n?Ir0?,C???0?0??Nr?n??Nr?n??'??????0?? ?0?n?n?N(n?r)?n????即满足条件，从而此题得证。

58. 设A,B皆为n阶矩阵，r(A)?r(B)?n，证明存在可逆矩阵Q，使得AQB?0。

?Ir(A)证明：结合相抵标准形，不难知道，存在可逆矩阵P使得：P1,Q1,P2,Q2，1AQ1???0?因为r(A)?r(B)?n，所以P1AQ1P2BQ2?0，令Q?Q1P2，则此题得证。

0??0?,P2BQ2????I0??r(B)0?? 0??59. 证明：?1,?2,?,?r（其中?1?0）线性相关的充要条件是存在一个?i(1?i?r)使得?i可由

?1,?2,?,?i?1线性表示，且表示法唯一。

证明：（充分性）因为存在一个?i(1?i?r)使得?i可由?1,?2,?,?i?1线性表示 所以，?1,?2,?,?i线性相关，从而?1,?2,?,?r线性相关。

（必要性）因为?1,?2,?,?r线性相关，所以存在不全为零的一组常数k1,k2,?,kr使得

k1?1?k2?2???kr?r?0

在使k1?1?k2?2???kr?r?0成立的所有不为零的系数中，必有一个最小的下标i，使ki?0，但

kj?0(j?i)。下面说明1?i?r。如果i?1，则k1?1?0,k1?0，从而?1?0矛盾。最后证表示法唯一。若

?1,?2,?,?i?1线性相关，则显然得到一组数与前面ki的取法矛盾。所以，?1,?2,?,?i?1线性无关。又因为?1,?2,?,?i线性相关，所以表示法唯一。

60. 证明：向量组?1,?2,?,?s线性无关的充要条件是?i??kj?j(i?2,3,?,s)。

j?1i?1提示：此命题是59题的逆否命题。

61. 设向量组?1,?2,?,?r线性无关，如在向量组的前面加入一个向量?，证明：在向量组?,?1,?2,?,?r中至多有一个向量?i(1?i?r)可经其前面的i个向量?,?1,?2,?,?i?1线性表示。并在R3中做几何解释。 证明：反证，设有两个向量?i,?j(1?i?j?r)均可经其前面的向量线性表示：

?i?k??k1?1???ki?1?i?1 （1） ?j?l??l1?1???lj?1?j?1 （2）

(1)?l?(2)?k得：

(k1l?l1k)?1???(ki?1l?li?1k)?i?1?(l?lik)?i?li?1k?i?1???lj?1k?j?1?k?j?0

因为?1,?2,?,?r线性无关，所以?1,?2,?,?j线性无关，?1,?2,?,?i线性无关，因此k?0，则由（1）知?i可由?1,?2,?,?i?1线性表出，与?1,?2,?,?i线性无关矛盾。

62. 证明：在n维向量空间Rn中，若向量?可经向量组?1,?2,?,?s线性表示，则表示法唯一的充分必要条件是向量组?1,?2,?,?s线性无关。

证明：（充分性）设有表示法 ??k1?1?k2?2???ks?s ??l1?1?l2?2???ls?s 两式相减得：(k1?l1)?1?(k2?l2)?2???(ks?ls)?s?0

因为?1,?2,?,?s线性无关，所以k1?l1,k2?l2,?,ks?ls，即可证表示法唯一。

（必要性）反证，设?1,?2,?,?s线性相关，则存在不全为零的一组数设为p1,p2,?,ps使得

p1?1?p2?2???ps?s?0

因为向量?可经向量组?1,?2,?,?s线性表示，所以存在一组常数q1,q2,?,qs使得

??q1?1?q2?2???qs?s

所以，??(p1?q1)?1?(p2?q2)?2???(ps?qs)?s

因为p1,p2,?,ps不全为零，所以这是异于上面的另一种表示法，从而与表示法唯一矛盾。 63. 设A是n阶矩阵，r(A)?1。证明：

?a1????a2?(1)A????b1,b2,?,bn?;????a??n?(2)A2?kA.

证明：（1）因为r(A)?1，所以A的每行向量成比例，即得此结果。

?a1??a1??a1???????aa?a2??2??2?2（2）A????b1,b2,?,bn????b1,b2,?,bn? 令k??b1,b2,?,bn???即得此结果。

??????????a??a??a??n??n??n??a11??a2164. 设A?????a?m1a12a22?am2?a1n??y1?????a2n??y2?TT,y?,b?(b,b,?,b),x?(x,x,?,x). 12m12m??????????y??amn??n?（1）证明：若Ay?b有解，则ATx?0的任一组解x1,x2,?,xm必满足方程b1x1?b2x2???bmxm?0.

?AT??0????（2）方程组Ay?b有解的充要条件是方程组?无解（其中0是n?1零矩阵）。 ??bT?x?????1?证明：（1）因为Ay?b，所以bT?yTAT。因此，对任一组x1,x2,?,xm，若它满足ATx?0，则必有yTATx?0，即bTx?0，即b1x1?b2x2???bmxm?0.

（2）方程组Ay?b有解?r(A)?r(A,b)?b可由A的列向量组线性表出

?AT??AT??（必要性）因为b可由A的列向量组线性表出，所以r(A)?r??bT??r?bT???0?? 1???AT??0????所以，方程组?无解。 ??bT?x?????1?

?AT??0??AT??ATT?????r?T（充分性）因为方程组?无解，所以r(A)?r??T??bT?x???????1??b??b?AT???r(AT)，从而b可由A的列向量组线性表出。 因此，r?T?b???0???r(AT)?1 1??65. 设A是一个m?n矩阵，m?n，r(A)?m，齐次线性方程组Ax?0的一个基础解系为

bi?(bi1,bi2,?,bin)T,试求齐次线性方程组

i?1,2,?,n?m.

?byijj?1nj?0,i?1,2,?,n?m

的基础解系所含解向量的个数，并求出一个基础解系。

解：齐次线性方程组

?byijj?1nj?0,i?1,2,?,n?m 的基础解系所含解向量的个数为n?(n?m)?m。

66. 设m?n矩阵A的m个行向量是齐次线性方程组Cx?0的一个基础解系，又B是一个m阶可逆矩阵。证明：BA的行向量也是Cx?0的一个基础解系。

??1??b11b12?????2??b21b22证明：设A???,B????????????b?m??m1bm2?b1m???b2m?。则由已知条件：C?iT?0(i?1,2,?,m)，且 ?1,?2,?,?m线?????bmm??性无关。因为

?b11b12??b21b22BA??????b?m1bm2?b1m???1??b11?1?b12?2???b1m?m???????b2m???2??b21?1?b22?2???b2m?m??? ??????????????????bmm???m??bm1?1?bm2?2???bmm?m??TTTTTTC(bi1?1?bi2?2???bim?m)?bi1C?1?bi2C?2???bimC?m?0

所以BA的行向量是Cx?0的解。又因为B可逆，A的m个行向量线性无关，所以BA的m个行向量线性无关，因此BA的行向量也是Cx?0的一个基础解系。

67. 证明：若A为n阶矩阵（n?1），且A?0，则A中任意两行（或列）对应元素的代数余子式成比例。 证明：因为A?0，所以r(A)?n?1，因此r(A?)?1，即可证。

68. 设A是(n?1)?n矩阵，Aj表示A中划去第j列所构成的行列式。证明： （1）(?A1,A2,?,(?1)nAn)T是Ax?0的一个解；

（2）若Aj（j?1,2,?,n）不全为零，则（1）中的解是Ax?0的一个基础解系。

???证明：（1）令??(1,1,?,1)，构造n阶矩阵B???A??，不难知道B中第一行元素的代数余子式分别为：

??

A1,?A2,?,(?1)1?nAn。所以A中的每行元素乘以(A1,?A2,?,(?1)1?nAn)T均为0，因此，A(?A1,A2,?,(?1)nAn)T??A(A1,?A2,?,(?1)1?nAn)T?0

???（2）令??(0,0,?,0)，构造n阶矩阵C???A??，则不难知道C中第一行元素的代数余子式分别为：

??A1,?A2,?,(?1)1?nAn。因为Aj（j?1,2,?,n）不全为零，所以C的伴随矩阵C??0，即r(C?)?1，因此r(C)?n?1，又因为显然r(C)?n?1，所以r(C)?n?1，所以r(A)?n?1，从而齐次线性方程组Ax?0的基础解系中含n?r(A)?1个解向量。再由（1）及Aj（j?1,2,?,n）不全为零，此题得证。 69. 若A为一个n阶矩阵，且A2?A，证明 r(A)?r(A?I)?n. 证明：显然，r(A?I)?r(I?A).

因为n?r(I)?r(A?I?A)?r(A)?r(I?A)?r(A)?r(A?I) 所以r(A)?r(A?I)?n

因为A2?A，所以A(A?I)?0，即A?I的每个列向量均为齐次线性方程组Ax?0的解，因此

r(A?I)?n?r(A)，即r(A)?r(A?I)?n

综上，r(A)?r(A?I)?n

70. 若A为一个n阶矩阵，且A2?I，证明 r(A?I)?r(A?I)?n 证明：显然，r(A?I)?r(I?A).

因为n?r(2I)?r(A?I?I?A)?r(A?I)?r(I?A)?r(A?I)?r(A?I) 所以r(A?I)?r(A?I)?n

因为A2?I，所以(A?I)(A?I)?0，即A?I的每个列向量均为齐次线性方程组(A?I)x?0的解，因此

r(A?I)?n?r(A?I)，即r(A?I)?r(A?I)?n

综上，r(A?I)?r(A?I)?n

71. 设A,B皆为n阶方阵，证明：r(AB)?r(A)?r(B)?n。并问：若A?(aij)s?n,B?(bij)n?m，上述结论是否成立？

证明：给出一般情况的说明。设A?(aij)s?n,B?(bij)n?m, r(A)?l,.则存在可逆矩阵Ps?s,Qn?n使得

?IlPAQ???0??b11b12?0??b21b22?1QB??。记??0?????b?n1bn2?b1m???1?????b2m???2????

??????????bnm????n??Il则PAB?(PAQ)(QB)???0??1?b11b12?0??b21b22??0??????b?n1bn2?????b11b12?b1m??????b2m??bl1bl2??????00bnm??????00??b1m???1??????????????blm????l?

?0??0?????????????0???0???1?????1?????2??1所以r(AB)?r(PAB)?r??? 因此r(B)?r(QB)?r???r(AB)?(n?l)，即

???????l?????n?r(AB)?r(A)?r(B)?n。

72. 设向量组?j?(a1j,a2j,?,anj)T(j?1,2,?,n)，证明：如果则向量组?1,?2,?,?n线性无关。

aii??aij,i?1,2,?,n,j?1j?in

证明：（反证法）设向量组?1,?2,?,?n线性相关，取A???1,?2,?,?n?，则A?0。所以齐次线性方程组

Ax?0有非零解。不妨设(x1,x2,?,xn)为其一个非零解，即它满足?aijxj?0,(i?1,2,?,n)

Tj?1n所以aiixi???aijxj,(i?1,2,?,n)

j?1j?in设xk?max?x1,x2,?,xn?，因为(x1,x2,?,xn)T为Ax?0的一个非零解，所以xk?0。 因此，akkxk?akkxk???aijxj?j?1j?kn?axijj?1j?knj??aijxj??aijxk?xkj?1j?1j?kj?knn?aj?1j?knij,

从而有akk??aij，与已知条件矛盾，所以假设不成立，所以向量组?1,?2,?,?n线性无关。

j?1j?kn

?IlPAQ???0??b11b12?0??b21b22?1QB??。记??0?????b?n1bn2?b1m???1?????b2m???2????

??????????bnm????n??Il则PAB?(PAQ)(QB)???0??1?b11b12?0??b21b22??0??????b?n1bn2?????b11b12?b1m??????b2m??bl1bl2??????00bnm??????00??b1m???1??????????????blm????l?

?0??0?????????????0???0???1?????1?????2??1所以r(AB)?r(PAB)?r??? 因此r(B)?r(QB)?r???r(AB)?(n?l)，即

???????l?????n?r(AB)?r(A)?r(B)?n。

72. 设向量组?j?(a1j,a2j,?,anj)T(j?1,2,?,n)，证明：如果则向量组?1,?2,?,?n线性无关。

aii??aij,i?1,2,?,n,j?1j?in

证明：（反证法）设向量组?1,?2,?,?n线性相关，取A???1,?2,?,?n?，则A?0。所以齐次线性方程组

Ax?0有非零解。不妨设(x1,x2,?,xn)为其一个非零解，即它满足?aijxj?0,(i?1,2,?,n)

Tj?1n所以aiixi???aijxj,(i?1,2,?,n)

j?1j?in设xk?max?x1,x2,?,xn?，因为(x1,x2,?,xn)T为Ax?0的一个非零解，所以xk?0。 因此，akkxk?akkxk???aijxj?j?1j?kn?axijj?1j?knj??aijxj??aijxk?xkj?1j?1j?kj?knn?aj?1j?knij,

从而有akk??aij，与已知条件矛盾，所以假设不成立，所以向量组?1,?2,?,?n线性无关。

j?1j?kn

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