湖南省蓝山二中2012届高三数学第三次考试试题 理

湖南2012届高三第三次考试试题（数学理）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合P?{xx?1}， Q?{xx2?x?0}，则下列结论正确的是 （ ） A．P?Q B．P?Q?R C．P??Q

D．Q??P

2．若函数f(x)的定义域为R, 则“函数f(x)为奇函数”是“函数f(?x)奇函数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

?3．已知函数f(x)?sin(?x?)(??0)的最小正周期为?，则该函数图象（ ）

3??A．关于直线x?对称 B．关于直线x?对称

63??C．关于点(，0)对称 D．关于点(，0)对称

634．如右图，设e1,e2为互相垂直的单位向量，则向量a?b可表示为（ ） A．e1?3e2 B．?2e1?4e2 C．3e2?e1 D．3e1?e2

5．设数列?an?，?bn?分别为等差数列与等比数列，且a1?b1?4,a4?b4?1，则以下结论正确的是（ ）

A. a2?b2 B. a3?b3 C. a5?b5 D. a6?b6

6. 函数y?f'(x)是函数y?f(x)的导函数，且函数y?f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线为

l:y?g(x)?f'(x0)(x?x0)?f(x0),F(x)?f(x)?g(x)，如果函数y?f(x)在区间

且a?x0?b，那么（ ） [a,b]上的图像如图所示，

A．F'(x0)?0,x?x0是F(x)的极大值点

B．F'(x0)=0,x?x0是F(x)的极小值点 C．F'(x0)?0,x?x0不是F(x)极值点 D．F'(x0)?0,x?x0是F(x)极值点

????????????????????7．设O为△ABC内一点，若?k?R，有|OA?OB?kBC|?|OA?OC|，则△ABC的形状一

定是（ ） A．锐角三角形

B．直角三角形 D．不能确定

4 2 y?log4|x| y C．钝角三角形

8．已知函数f(x)满足：①定义域为R；②

用心 爱心 专心 1 y?log4|x|

12 - 1 - ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 5 x

?x?R，有f(x?2)?2f(x)；③当x?[?1,1]时，f(x)??|x|?1．则方程f(x)?log4|x|在

区间[?10,10]内的解个数是（ ） A．20 C．11

B．12 D．10

选题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

1?i9．复数z?的实部与虚部之和为 ．

1?i10．计算

??sinx?2?dx? ．

?2211．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则

a4a5a6= ．

???2cosxx?200012．已知函数f(x)??， 3??x?100x?2000则f[f(2010)]? ．

13．设有算法如右图：如果输入A=144, B=39,则输出的结

果是 .

14．设函数f(x)?x2?ax?a?3,g(x)?ax?2a．若

?x0?R，使得f(x0)?0与g(x0)?0同时成立，则实数a的取值范围是 ．

15．当n为正整数时，定义函数N (n)表示n的最大奇因数．如N (3) = 3，N (10) = 5，?．

记S(n)?N(1)?N(2)?N(3)???N(2n)．

用心 爱心 专心 - 2 -

则（1）S(4)? 86 ．（2）S(n)? ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知A,B,C三点的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos?,sin?)，其

?3?中??(,)．

22????????（1）若AC?BC，求角?的值；

?????????（2）若AC?BC??1，求tan(??)的值．

4 17．(本小题满分12分)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA?sinB??cosC， （1）求角A，B，C的大小； （2）若BC边上的中线AM的长为7，求△ABC的面积．

用心 爱心 专心 - 3 -

?(x2?2ax)ex,x?019．（本小题满分13分）已知x?2是函数f(x)??的极值点．

bx, x?0?（1）当b?0时，讨论函数f(x)的单调性；

（2）当b?R时，函数y?f(x)?m有两个零点，求实数m的取值范围.

20．（本小题满分13分）设数列{an}是有穷等差数列，给出下面数表：

a2 a3 ?? an?1 an 第1行

a1?a2 a2?a3 ?? an?1?an 第2行

? ? ?

?

?

第n行

?

a1

上表共有n行，其中第1行的n个数为a1,a2,a3,?,an，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和.记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为b1,b2,?,bn．

（1）求证：数列b1,b2,?,bn成等比数列； （2）若ak?2k?1(k?1,2,?,n)，求和?akbk.

k?1n21．（本小题满分13分）已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断，定义：

用心 爱心 专心

- 4 -

f1(x)?min{f(t)|a?t?x}(x?[a,b])，f2(x)?max{f(t)|a?t?x}(x?[a,b])．其中，

min{f(x)|x?D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x?D}表示函数f(x)在D上

的最大值．若存在最小正整数k，使得f2(x)?f1(x)?k(x?a)对任意的x?[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”．

?（1）已知函数f(x)?2sinx,x?[0,]，试写出f1(x)，f2(x)的表达式，并判断f(x)是否为

2，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由； [0,]上的“k阶收缩函数”

2（2）已知b?0，函数g(x)??x3?3x2是[0,b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围.

理科

- 5 -

?用心 爱心 专心

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合P?{xx?1}， Q?{xx2?x?0}，则下列结论正确的是 （ C ） A．P?Q B．P?Q?R C．P??Q

D．Q??P

2．若函数f(x)的定义域为R, 则“函数f(x)为奇函数”是“函数f(?x)奇函数”的（ C ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

?3．已知函数f(x)?sin(?x?)(??0)的最小正周期为?，则该函数图象（ D ）

3??A．关于直线x?对称 B．关于直线x?对称

63??C．关于点(，0)对称 D．关于点(，0)对称

63?????【解析】由已知得，??2,所以f(x)?sin(2x?),当x?时，f (x) = 0，故点?,0?是它的一

33?3?个对称中心．

4．如右图，设e1,e2为互相垂直的单位向量，则向量a?b可表示为（ A ） A．e1?3e2 B．?2e1?4e2 C．3e2?e1 D．3e1?e2

5．设数列?an?，?bn?分别为等差数列与等比数列，且a1?b1?4,a4?b4?1，则以下结论正确的是（ A ）

A. a2?b2 B. a3?b3 C. a5?b5 D. a6?b6

得d??1, 【解析】设等差数列的公差为d，等比数列公比为q,由a1?b1?4,a4?b4?1，3q?2，于是a2?3?b2?232,故选A 26. 函数y?f'(x)是函数y?f(x)的导函数，且函数y?f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线为

l:y?g(x)?f'(x0)(x?x0)?f(x0),F(x)?f(x)?g(x)，如果函数y?f(x)在区间

用心 爱心 专心 - 6 -

且a?x0?b，那么（ B ） [a,b]上的图像如图所示，

A．F'(x0)?0,x?x0是F(x)的极大值点

B．F'(x0)=0,x?x0是F(x)的极小值点 C．F'(x0)?0,x?x0不是F(x)极值点 D．F'(x0)?0,x?x0是F(x)极值点

????????????????????7．设O为△ABC内一点，若?k?R，有|OA?OB?kBC|?|OA?OC|，则△ABC的形状一

定是（ B ） A．锐角三角形

B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ????????????????????【解析】由题设得，|BA?kBC|?|AC|，再由向量的几何意义易知，AC?BC，故选B． 8．已知函数f(x)满足：①定义域为R；②?x?R，有f(x?2)?2f(x)；③当x?[?1,1]时，f(x)??|x|?1．则方程f(x)?log4|x|在区间[?10,10]内的解个数是（ C ）

y A．20 B．12

4 C．11 D．10

【解析】（数形结合）在同一直角坐标内作 出函数f(x)和y?log4|x|的图象如右图， 由图易知，y?f(x)与y?log4|x|的图象 在[?10,0]有两个交点，在(0,10]内有9个 交点，故方程f(x)?log4x在区间[?10,10] 内共有11个解．

选题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 A 5 A 6 B 7 B 8 C 2 y?log4|x| 1 y?log4|x|

12 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 5 x 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

1?i9．复数z?的实部与虚部之和为?1．

1?i10．计算

??sinx?2?dx? 8 ．

?2211．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=52．

【解析】由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列,所以a4a5a6?52．

???2cosxx?200012．已知函数f(x)??， 3??x?100x?2000则f[f(2010)]??1．

13．设有算法如右图：如果输入A=144, B=39,则输出的结

果是 3 .

【解析】（1）A=144，B=39，C=27；（2）A=39，B=27，C=12；

用心 爱心 专心

- 7 -

（3）A=27，B=12，C=3；（4）A=12，B=3，C=0.所以A=3．

14．设函数f(x)?x2?ax?a?3,g(x)?ax?2a．若?x0?R，使得f(x0)?0与g(x0)?0同时

成立，则实数a的取值范围是（7，＋∞）．

2

【解析】由题设知，??a?4?a?3??0，即a??2或a?6,且g(x)?ax?2a恒过定点

??a?6?a?7；③当a??2时，如上右图，?2,0?．①当a?6时，如上左图，则?f2?0????x对?a??1， 又f?1??4，显然不成立．综上知，a的取值范围为(7,??)． 215．当n为正整数时，定义函数N (n)表示n的最大奇因数．如N (3) = 3，N (10) = 5，?．

记S(n)?N(1)?N(2)?N(3)???N(2n)． 4n?2

则（1）S(4)? 86 ．（2）S(n)? ．

3

【解析】由题设知，N(2n)?N(n),N(2n?1)?2n?1．

（1）S(4)?[N(1)?N(3)?N(5)???N(15)]?[N(2)?N(4)?N(6)???N(16)],

?[1?3?5???15]?[N(2)?N(4)?N(6)???N(16)]

?43?S(3)?43?S(3)?43?42?S(2)?43?42?41?S(1)?86．

（2）S(n)?[1?3?5???(2n?1)]?[N(2)?N(4)?N(6)???N(2n)],

?S(n)?4n?1?S(n?1)(n?1),又S1?N(1)?1， ?S(n)?4n?1?4n?24n?2???4?4?1?．

310三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知A,B,C三点的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos?,sin?)，其

?3?中??(,)．

22????????（1）若AC?BC，求角?的值；

?????????（2）若AC?BC??1，求tan(??)的值．

4????????【解析】（1）∵AC?(cos??3,sin?)，BC?(cos?,sin??3)，

用心 爱心 专心 - 8 -

????????22∴|AC|(cos??3)?sin??10?6cos?，|BC|?10?6sin?．

????????由|AC|?|BC|得sin??cos?．

?????????????4分

?3?5又??(,)，∴???． ?????????????6分

224????????（2）由AC?BC??1，得(cos??3)cos??sin?(sin??3)??1，

∴sin??cos??又由

?22，∴sin(??)??0．

433???????????9分

?2????73?3??，∴． ?????，∴cos(??)??4324414． ???????????12分 7417．(本小题满分12分)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA?sinB??cosC， （1）求角A，B，C的大小；

故tan(???)??（2）若BC边上的中线AM的长为7，求△ABC的面积．

【解析】（1）由sinA?sinB知A?B，所以C????2A，又sinA??cosC?得sinA?cos2A，

1即2sin2A?sinA?1?0，解得sinA?，sinA??1（舍）．

2故A?B??6，C?2?． 3 ????????????????6分

（2）在△ABC中，由于BC边上中线AM的长为7，故在△ABM中，由余弦定理得

a2a?a232AM?c??2c??cos， 即7?c? ??????8分 ?ac. ①

42642在△ABC中，由正弦定理得

22asin?6?bsin?6?cc, 即a?b?. ② ??????10分 2?3sin3由①②解得a?2,b?2,c?23.

113absinC??2?2??3. ??????12分 22218．（本小题满分12分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已

知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站．记P到三个村庄的距离之和为y. A 故?ABC的面积S?（1）设?PBO??，求y关于?的函数关系式；

（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？ 【解析】（1）在Rt?AOB中，AB?6， 所以OB=OA=32，?ABC?π,

4B

O

（第18题图）

P C

用心 爱心 专心 - 9 -

由题意知，0???π.

4 ????????2分

所以点P到A,B,C的距离之和为

322?sin?. y?2PB?PA?2??(32?32tan?)?32?32?cos?cos?故所求函数关系式为y?32?32?2?sin?0???π. ?????????6分

cos?4??（2）由（1）得y??32?当0???2sin??11π，从而??π. ?，令,即，又0???y?0sin??4cos2?26πππ时，y??0；当???时, y??0． 664π2?sin? 时，y?4?32?取得最小值， ???????? 10分 6cos?π，即点P在OA上距O点6km处． ?6（km）

6所以当??此时OP?32tan答：变电站建于距O点6km处时，它到三个小区的距离之和最小． ?????12分 ?(x2?2ax)ex,x?019．（本小题满分13分）已知x?2是函数f(x)??的极值点．

bx, x?0?（1）当b?0时，讨论函数f(x)的单调性；

（2）当b?R时，函数y?f(x)?m有两个零点，求实数m的取值范围. 【解析】（1）x?0时,f(x)?(x2?2ax)ex,[]

?f?(x)?(2x?2a)ex?(x2?2ax)ex?[x2?2(1?a)x?2a]ex．

由已知得，f'(2)?0,?2?22?2a?22a?0,解得a=1． ????????3分

?f(x)?(x2?2x)ex,?f'(x)?(x2?2)ex．

当x?(0,2)时，f?(x)?0，当x?(2,??)时，f?(x)?0．又f(0)?0， 所以当b?0时，f(x)在(??,2)上单调递减，(2,??)单调递增；

当b?0时，f(x)在(??,0)，(2,??)上单调递增，在(0,2)上单调递减． ????7分 （2）由（1）知，当x?(0,2)时，f(x)单调递减，f(x)?((2?22)e2,0)

当x?(2,??)时，f(x)单调递增，f(x)?((2?22)e2,??). ??????9分 要使函数y?f(x)?m有两个零点，则函数y?f(x)的图象与直线y?m有两个不同的交点.①当b?0时，m=0或m?(2?2)e2；②当b=0时，m?((2?22)e2,0)； ③当

用心 爱心 专心 - 10 -

b?0时,m?((2?22)e2,??). ??????????13分

【解析】（1）由题设易知，b1?n(a1?an)a1?an， ?2n2(a?a2???an?1?an)(n?1)a1?a2?an?1?anb2?1??a1?an．

2(n?1)2设表中的第k(1?k?n?1)行的数为c1,c2,?,cn?k?1，显然c1,c2,?,cn?k?1成等差数列，则它的第k?1行的数是c1?c2,c2?c3,?,cn?k?cn?k?1也成等差数列，它们的平均数分别是bk?bk?1?c1?cn?k?1，于是

c1?cn?k?1，2bk?1?2(1?k?n?1,k?N*). bk故数列b1,b2,?,bn是公比为2的等比数列. 分

（2）由（1）知，bk?b1?2k?1? ?????????????7

a1?ank?1?2， 2故当ak?2k?1时，bk?n?2k?1，ak?bk?n(2k?1)?2k?1(1?k?n,k?N*)．

于是?akbk?n?(2k?1)?2k?1． ???????????9分

k?1k?1nn设?(2k?1)?2k?1?S，

k?1n则S?1?20?3?21?5?22???(2n?1)?2n?1

① ②

2S?1?21?3?22???(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n

①?②得，?S?1?20?2(21?22???2n?1)?(2n?1)?2n， 化简得，S?(2n?1)?2n?2n?1?3，

用心 爱心 专心 - 11 -

n故?akbk?n(2n?1)?2n?n?2n?1?3n. ??????????????13分

k?121．（本小题满分13分）已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断，定义：

f1(x)?min{f(t)|a?t?x}(x?[a,b])，f2(x)?max{f(t)|a?t?x}(x?[a,b])．其中，

min{f(x)|x?D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x?D}表示函数f(x)在D上

的最大值．若存在最小正整数k，使得f2(x)?f1(x)?k(x?a)对任意的x?[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”．

?（1）已知函数f(x)?2sinx,x?[0,]，试写出f1(x)，f2(x)的表达式，并判断f(x)是否为

2，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由； [0,]上的“k阶收缩函数”

2（2）已知b?0，函数g(x)??x3?3x2是[0,b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围.

??【解析】（1）由题意可得，f1(x)?0，f2(x)?2sinx,x?[0,]． ????????2分

2于是f2(x)?f1(x)?2sinx．

???若f(x)是为[0,]上的“k阶收缩函数”，则2sinx?kx在[0,]上恒成立，且?x0?[0,],

222使得2sinx?(k?1)x成立.

??令?(x)?sinx?x,x?[0,]，则??(x)?cosx?1?0，所以?(x)?sinx?x在[0,]单调递减，

22??∴?(x)??(0),x?[0,]，即sinx?x，于是2sinx?2x在[0,]恒成立;

22又?x0??2,2sinx?x成立．

?故存在最小的正整数k?2，使f(x)是为[0,]上的“２阶收缩函数”． ??????6分

2（2）g?(x)??3x2?6x??3x?x?2?,令g'(x)?0得x?0或x?2.令f(x)?0，解得x?0或3. 函数g?x?,g'(x)的变化情况如下：

x

g?(x) g(x)

(??,0) ?

?

(0,2) (2,??) 0 2

? ? 0 0

0 4 ? ? ??????????????????? 8分

ⅰ）b?2时，g(x)在[0,b]上单调递增，因此，g2(x)?g?x???x3?3x2，g1(x)?g?0??0. 因为g(x)??x3?3x2是[0,b]上的2阶收缩函数， 所以，①g2(x)?g1?x??2?x?0?对x?[0,b]恒成立；

用心 爱心 专心

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②存在x??0,b?，使得g2(x)?g1?x???x?0?成立.

①即：?x3?3x2?2x对x?[0,b]恒成立，由?x3?3x2?2x，解得：0?x?1或x?2， 要使?x3?3x2?2x对x?[0,b]恒成立，需且只需0?b?1. ②即：存在x?[0,b]，使得xx2?3x?1?0成立. 由x?x2?3x?1??0得：x?0或综合①②可得：3?53?53?5，所以，需且只需b?. ?x?222 ????????10分

??3?5?b?1. 2 ?????????11分

用心 爱心 专心 - 13 -

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