2012版中考数学复习第四章三角形与四边形针对练习题

第二部分 空间与图形 第四章 三角形与四边形

第1讲 相交线和平行线

A级 基础题

1．如图X4－1－1，AB∥CD，直线l分别与AB、CD相交，若∠1＝130°，则∠2＝( C )

图X4－1－1 A．40° B．50° C．130° D．140° 2．如图X4－1－2，在所标识的角中，同位角是( C )

图X4－1－2

A．∠1和∠2 B．∠1和∠3

C．∠1和∠4 D．∠2和∠3

3．(2011年四川南充)如图X4－1－3，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝60°，下列结论成立的是( B )

图X4－1－3

A．∠C＝60° B．∠DAB＝60° C．∠EAC＝60° D．∠BAC＝60° 4．(2011年重庆江津)下列说法不正确是( B ) A．两直线平行，同位角相等 B．两点之间直线最短 C．对顶角相等

D．半圆所对的圆周角是直角

5．(2011年山东日照)如图X4－1－4，已知直线AB∥CD，∠C＝125°，∠A＝45°，那么∠E的大小为( B )

图X4－1－4

A．70° B．80° C．90° D．100° 6．(2011年浙江丽水)如图X4－1－5，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是( B )

图X4－1－5 A．30° B．25° C．20° D．15°

7．如图X4－1－6，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1＝60°，则∠2＝( C )

A．20° B．60° C．30° D．45°

图X4－1－6 解析：由题意得∠AEF＝90°，又AB∥CD，故∠2＝90°－60°＝30°. 8．如图X4－1－7，下列条件中，不能判断l1∥l2的是( B )

图X4－1－7 A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3

C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180

9．(2011年湖北孝感)如图X4－1－8，直线AB、CD相交于点O，OT⊥AB于点O， CE∥AB交CD于点C，若∠ECO＝30°，则∠DOT＝( C )

A．30° B．45° C. 60° D. 120°

图X4－1－8

[来源:学&科&网]

10．(2011年浙江义乌)如图X4－1－9，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于( C )

图X4－1－9

A. 60° B. 25° C. 35° D. 45°

11．下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路变直，就能缩短路程．其中可用公理“两点之间，线段最短”来解决的现象有( D )

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

12．(2010年安徽)如图X4－1－10，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( C )

图X4－1－10 A．50° B．55° C．60° D．65° 解析：∠3＝180°－55°－65°＝60°.

B级 中等题

13．一条公路两次转弯后又回到原来的方向(即AB∥CD，如图X4－1－11)，如果第一次转弯时的∠B＝140°，那么∠C应是( B )

图X4－1－11

A．180° B．140° C．100° D．40°

解析：两直线平行，内错角相等．

14．(2010年山东威海)如图X4－1－12，在△ABC中，∠C＝90°.若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是( C )

图X4－1－12

A．40° B．60° C．70° D．80° 解析：由题意可得∠EAB＋∠DBA＝180°，又由∠C＝90°可得，∠CAB＋∠CBA＝90°，

于是∠CAE＋∠DBC＝90°，故∠CAE ＝90°－∠DBC＝70°.

15．如图X4－1－13，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于( C )

图X4－1－13

A．70° B．65° C．50° D．25°

解析：∠D′EF＝∠DEF＝∠EFB＝65°，于是∠AED′＝180°－∠D′ED＝50°. C级 拔尖题 16．如图X4－1－14，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，射线OM平分∠AOC，ON平分 ∠BOC.

(1)求∠MON的度数；

(2)如果(1)中，∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；

(3)如果(1)中，∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数； (4)从(1)、(2)、(3)的结果中，你能看出什么规律？

图X4－1－14

1111

解：(1)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝×120°－×30°＝45°.

222211111

(2)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝(α＋30°)－×30°＝α.

222221111

(3)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝(90°＋β)－β＝45°.

2222

(4)∠MON的大小等于∠AOB的一半，与∠BOC的大小无关．

2012年预测

17．如图X4－1－15，AB∥CD，∠C＝80°，∠CAD＝60°，则∠BAD的度数等于( D )

图X4－1－15

A．60° B．50° C．45° D. 40°

18．如图X4－1－16，一束光线垂直照射在水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为( A )

图X4－1－16

A．45° B．60° C．75° D．80°

解析：如图D31，过点O作OD⊥OC，根据平面镜反射定律可得，∠AOD＝∠BOD.又∵AO垂直于水平面，OB平行于水平面，∴∠AOB＝90°，∴∠AOD＝∠BOD＝45°.又∵OD⊥OC，∴∠BOC＝90°－∠BOD＝45°，由OB平行于水平面可得，∠1＝∠BOC＝45°.

图D31

第2讲 三角形 第1课时 三角形

A级 基础题

1．如图X4－2－1，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于( C )

图X4－2－1 A．100° B．120° C．130° D．150°

2．已知如图X4－2－2中的两个三角形全等，则α度数是( D )

图X4－2－2

A．72° B．60° C．58° D．50°

3．(2011年江苏宿迁)如图X4－2－3，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( B )

[来源:Z&xx&k.Com] 图X4－2－3

A．AB＝AC B．BD＝CD

C．∠B＝∠C D．∠ BDA＝∠CDA 4．(2011年上海)下列命题中，真命题是( D ) A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等

D．周长相等的等腰直角三角形都全等

5．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB1

于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线

2OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是( D )

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

6．(2011年安徽芜湖)如图X4－2－4，已知△ABC中，∠ABC＝45°， F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为( B )

A．2

2 B．4 C．3 2 D．4 2

图X4－2－4

7．到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的(C) A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条边垂直平分线的交点

D．三条中线的交点

8．以三条线段3,4，x－5为边组成三角形，则x的取值范围为6

a

9．若△ABC的周长为a，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为. 2a

解析：由题意可得△DEF的三边为△ABC的中位线，故其周长为. 2

10．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠A＝45°， ∠B＝60°. 11．(2011年江西)如图X4－2－5，两块完全相同的含30°的直角三角形叠放在一起，且∠DAB＝30°.有以下四个结论：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF; ③O为BC的中点； ④AG∶

DE＝3：4，其中正确结论的序号是①②③④(错填得0分，少填酌情给分)．

图X4－2－5

12．(2011年福建福州)如图X4－2－6，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AE交BD于点C，且BC＝DC.求证：AB＝ED.

图X4－2－6

(1)证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠D＝90°. 在△ABC和△EDC中，

??ABC??D?， ?BC?DC??ACB??ECD?∴△ABC≌△EDC， ∴AB＝ED.

B级 中等题

13．(2011年山东威海)在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE、DF、EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等( C )

A．EF∥AB B．BF＝CF

C．∠A＝∠DFE D．∠B＝∠DFE

14．若△ABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形的最大边长为( C )

A．4 B．3 C．5 D．2

解析：三角形另外两边的边长之和为11－4＝7，由题意，两边长的选取只可能是2,5或3,4，故最大边长为5.

15．(2011年浙江)如图X4－2－7，点D、E分别在AC、AB上．

图X4－2－7

(1) 已知BD＝CE，CD＝BE，求证：AB＝AC；

(2) 分别将“BD＝CE”记为①，“CD＝BE” 记为②，“AB＝AC”记为③.添加条件

①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是真命题，命题2是假_命题(选择“真”或“假”填入空格)．

解：(1)连接BC，∵ BD＝CE，CD＝BE，BC＝CB. ∴ △DBC≌△ECB (SSS)， ∴ ∠DBC＝∠ECB，

∴ AB＝AC.

C级 拔尖题

16．(2011年湖南衡阳)如图X4－2－8，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为7.[来源:学科网ZXXK]

图X4－2－8

解析：因为△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，所以EC＝AE，故△ABE的周长为AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC＝3＋4＝7.

2012年预测

17．已知三角形的两边长为6,9，则第三边的长度可以是答案不唯一，在3到15之间的数都可(写出一个即可)．

18．如图X4－2－9，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F.求证：BE＝CF.

图X4－2－9

证明：∵在△ABC中，AD是中线， ∴BD＝CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD， ∴∠CFD＝∠BED＝90°， 在△BED与△CFD中，

∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD， ∴△BED≌△CFD，∴BE＝CF.

第2课时 等腰三角形与直角三角形

A级 基础题

1．(2010年浙江东阳)已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( C )

A．40° B．100°

C．40°或100° D．70°或50°

解析：分顶角为40°或底角为40°两种情况． 2．等腰直角三角形的一个底角的度数是( B )

A．30° B．45° C．60° D．90°

3．(2011年浙江舟山)如图X4－2－10，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为( B )

图X4－2－10

A．2 3 B．3 3 C. 4 3 D. 6 3 4．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( C )[来源:学科网ZXXK] A．7 B．9 C．12 D．9或12

解析：另一边长为2或5，但2＋2<5，不合题意，故另一边为5，所求周长为2＋5＋5＝12.

5．如图X4－2－11，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为( D )

图X4－2－11

A．50° B．60° C．30° D．40° 解析：∠B＝∠EFC＝90°－∠CEF＝40°.

6．(2011年河北)如图X4－2－12，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D、E分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为( B )

图X4－2－12

1

A. B．2 C．3 D．4 2

7．(2010年江苏无锡)下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是( B ) A．两边之和大于第三边

B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边 C．有两个锐角的和等于90° D．内角和等于180°

8．已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝60度．

9．(2011年四川凉山州)把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2”的逆命题改写成“如果??，那么??”的形式：如果三角形三边长a、b、c，满足a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形．

10．(2011年江苏无锡)如图X4－2－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝5cm，则EF＝5 cm.

2

2

2

图X4－2－13

11．(2011年山东烟台)等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为4或6. 12．(2011年山东德州)下列命题中，其逆命题成立的是①④(只填写序号)． ①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． B级 中等题

13．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为( A ) A．75°或15° B．36°或60° C．75° D．30° 解析：三角形的高可在三角形内、三角形外，于是可得等腰三角形的顶角为30°或150°，故底角为75°或15°.

14．等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是7或8.

解析：方程的两个解是2,3，故等腰三角形的三边长为2,2,3或2,3,3，故周长为7或8. 15．(2011年山东枣庄)如图X4－2－14，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

图X4－2－14

(1)画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD；

(2)线段AC的长为2 5，CD的长为5，AD的长为5； (3)△ACD为直角三角形，四边形ABCD的面积为10； 1

(4)若E为BC中点，则tan∠CAE的值是. 2

解：(1)如图D32：

图D32

C级 拔尖题

16．(2011年山东枣庄)如图X4－2－15，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝14 cm，则49

阴影部分的面积是cm2.

2

图X4－2－15

2012年预测

17．等腰三角形的一个角等于20°， 则它的另外两个角等于( B ) A．20°，140° B．20°，140°或80°，80° C．80°，80° D．20°，80°

18．已知：如图X4－2－16，锐角△ABC的两条高CD、BE相交于点O，且OB＝OC，[来源:Zxxk.Com]

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．

图X4－2－16

解：(1)如图D33，证明：∵OB＝OC，

图D33

∴∠OBC＝∠OCB，

∵CD、BE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，

又∵BC＝CB，

∴△BDC≌△CEB(AAS)．

∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形．

(2)点O是在∠BAC的角平分线上．连接AO. ∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB， ∵OB＝OC，∴ OD＝OE，

又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO(HL)， ∴∠DAO＝∠EAO，

∴点O是在∠BAC的角平分线上．

第3讲 四边形与多边形 第1课时 多边形与平行四边形

A级 基础题

1．(2011年湖南邵阳)如图X4－3－1，?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是( A )

图X4－3－1

A．AC⊥BD B．AB＝CD C．BO＝OD D．∠BAD＝∠BCD

2．(2010年广东湛江)小亮的父亲想购买同种大小、形状相同的地板砖铺设地面，小亮根据所学知识告诉父亲，为了能够做到无缝隙、不重叠地铺设，购买的地板砖形状不能是( C )

A．正三角形 B．正方形

C．正五边形 D．正六边形

3．如图X4－3－2，?ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为( C )

图X4－3－2

A．3 B．6 C．12 D．24

4．(2010年四川成都)已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD； ③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选

法种数共有( C )

A．6种 B．5种 C．4种 D．3种

5．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是( D ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：∵多边形的外角和为360°，∴这个多边形的内角和为360×3＝1 080°.设多边形有n条边，则有(n－2)·180°＝1 080°，解得n＝8.

6．(2011年山东德州)如图X4－3－3，D、E、F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为3.

图X4－3－3

7．(2011年山东聊城)如图X4－3－4，在?ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝3 cm，则AD的长是6cm.

图X4－3－4[来源:学科网ZXXK]

8．(2011年山东临沂)如图X4－3－5，?ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为6.

图X4－3－5

9．(2011年四川广安)若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是6.

10．如图X4－3－6，AB和CD是夹在两平行线l1、l2之间的平行线段，则AB＝CD(填“＞”或“＜”或“＝”)．

图X4－3－6

11．(2011年江苏淮安)如图X4－3－7，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD上的点，∠1＝∠2.

求证：△ABE≌△CDF.

图X4－3－7

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D，AB＝DC， 又∵∠1＝∠2，

∴△ABE≌△CDF(ASA)．

12．(2011年四川宜宾)如图X4－3－8，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.

求证：GF∥HE.

图X4－3－8

证明：∵在平行四边形ABCD中，OA＝OC， 由已知：AF＝CE，

∵AF－OA＝CE－OC，∴OF＝OE. 同理得：OG＝OH.

∴四边形EGFH是平行四边形， ∴GF∥HE.

B级 中等题

13．(2011年浙江金华)如图X4－3－9，在?ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是 2 3. 提示：△EFD的面积与△EHD的面积相等．

图X4－3－9

14．(2011年重庆潼南)如图X4－3－10，在平行四边形 ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO＝BO；②OE＝OF; ③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是( B )

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

图X4－3－10

15．(2011年山东威海)如图X4－3－11，在?ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF∶CF＝( A )

图X4－3－11

A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．2∶5

C级 拔尖题

16．如图X4－3－12，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°， ∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为( C )

图X4－3－12

A. 100° B．110° C. 120° D. 130°

2012年预测

17．如图X4－3－13，已知四边形ABCD是平行四边形．

图X4－3－13

(1)求证：△MEF ∽△MBA；

(2)若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线，求证DF＝EC. 证明：(1)在?ABCD中，CD∥AB，

∴∠MEF＝∠MBA，∠MFE＝∠MAB， ∴△MEF ∽△MBA.

(2)∵在?ABCD中，CD∥AB， ∠DFA＝∠FAB，

又∵AF是∠DAB的平分线， ∴∠DAF＝∠FAB， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝DF.

同理可得EC＝BC，

∵在?ABCD中，AD＝BC，

∴DF＝EC.

18．如图X4－3－14，已知E、F是?ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC.

图X4－3－14

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形(不再添加辅助线)． 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠FCD，

又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△ABE≌△CDF (AAS)．

(2)①△ABC≌△CDA，②△BCE≌△DAF.

第2课时 特殊的平行四边形

A级 基础题

1．(2011年江苏淮安)在菱形ABCD中，AB＝5 cm，则此菱形的周长为( C ) A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm 2．(2011年四川绵阳)下列关于矩形的说法中正确的是( D ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分

D．矩形的对角线相等且互相平分

3．(2011年江苏无锡)菱形具有而矩形不一定具有的性质是( A )

A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补

4．(2011年湖北襄阳)顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( D )

A．菱形

B．对角线互相垂直的四边 C．矩形

D．对角线相等的四边形

5．如图X4－3－15，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是( B )

图X4－3－15

A．2 B．4 C．2 3 D．4 3 3

6．如图X4－3－16，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos∠A＝，则tan∠DBE的值是( B )

5

图X4－3－16

155A. B．2 C. D. 2253

解析：∵cosA＝，设AD＝5x，AE＝3x，

5

∴DE＝4x.在菱形ABCD中，AB＝AD＝5x， DE

∴BE＝2x.∴tan∠DBE＝＝2.

BE

7．(2011年湖南益阳)如图X4－3－17，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样1

操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD

2即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是( B )

图X4－3－17

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形

8．(2011年江苏淮安)在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一，写出一种即可)_(写出一种即可)．

9．(2011年江苏南京)如图X4－3－18，菱形ABCD的边长是2 cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为2 3cm2.

图X4－3－18

10．(2010年四川眉山)如图X4－3－19，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.

(1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由； (2)若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．

图X4－3－19

解：(1)四边形OCED是菱形．理由如下： ∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形OCED是平行四边形． 又∵在矩形ABCD中，OC＝OD， ∴四边形OCED是菱形.

(2)连接OE.由菱形OCED得，

CD⊥OE, ∴OE∥BC.

又∵CE∥BD，∴四边形BCEO是平行四边形． ∴OE＝BC＝8.

11

∴S四边形OCED＝OE·CD＝×8×6＝24.

22

11．(2010年安徽)如图X4－3－20，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.

(1)求证：四边形BCEF是菱形；

(2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE.

图X4－3－20

证明：(1)∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2. ∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1.∴BF＝EF. ∵BF＝BC，∴BC＝EF.

∴四边形BCEF是平行四边形．

∵BF＝BC，∴四边形BCEF是菱形． (2)∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE， ∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形， ∴AF＝BE，FC＝ED.

又∵AC＝2BC＝BD，∴△ACF≌△BDE.

B级 中等题

12．(2011年四川宜宾)如图X4－3－21，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为( D )

图X4－3－21

A．3 B．4 C．5 D．6

13．(2010年山东聊城)如图X4－3－22，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A )

图X4－3－22

A.

12624

B. C. D．不确定 555

解析：连接OP，设PE、PF为点P到两对角线的距离．∵矩形的两条边AB、BC的长

51

分别为3和4，∴AO＝DO＝，S△AOD＝3.又∵S△AOD＝S△APO＋S△OPD＝(AO·PE＋DO·PF)＝

221512

AO(PE＋PF)＝(PE＋PF)，∴PE＋PF＝. 245

14．(2011年四川广安)如图X4－3－23，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交1BC的延长线于点E.求证：DE＝BE.

2

图X4－3－23

证明：∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴BC＝AC＝AD.

又∵DE∥AC，∴ACED为平行四边形， ∴CE＝AD＝BC，DE＝AC， ∴DE＝CE＝BC， 1

∴DE＝BE.

2

C级 拔尖题

15．(2010年山东青岛)已知：如图X4－3－24，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF.

(1)求证：BE＝DF；

(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

图X4－3－24

证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°. ∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF. ∴BE＝DF.

(2)四边形AEMF是菱形．证明如下： ∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC.

∵BE＝DF，∴BC－BE＝DC－DF，即CE＝CF， ∴OE＝OF.

∵OM＝OA，∴四边形AEMF是平行四边形． ∵AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形．

2012年预测

16．如图X4－3－25，在菱形ABCD中，已知AB＝8，AC＝10，那么菱形ABCD的面积为1039.

图X4－3－25

解析：在RtΔABO中，

BO＝AB2－AO2＝82－52＝39， 11

S菱形ABCD＝AC·BD＝×10×239＝1039. 22

17．如图X4－3－26，已知四边形ABCD中，AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、

CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是菱形．

图X4－3－26

证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， 111

∴EF＝AC，HG＝AC，FG＝BD，

2221

EH＝BD.

2

11

∴EF＝HG＝AC，FG＝EH＝BD.

22又∵AC＝BD，∴EF＝HG＝FG＝EH. ∴四边形EFGH是菱形．

第3课时 梯形

A级 基础题

1．(2011年江苏扬州)已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有( B )

A. 1个 B. 2个 C． 3个 D. 4个

2．(2011年山东滨州)如图X4－3－27，在一张△ABC纸片中， ∠C＝90°， ∠B＝60°，

DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为( C )

A．1 B．2 C．3 D．4

图X4－3－27

3．(2011年湖北武汉)如图X4－3－28，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是( C )

图X4－3－28

A．40° B．45° C．50° D．60°

4．(2011年湖北宜昌)如图X4－3－29，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论一定正确的是( D )

图X4－3－29

A. ∠HGF＝∠GHE B. ∠GHE＝∠HEF C. ∠HEF＝∠EFG D. ∠HGF＝∠HEF

5．(2011年浙江台州)如图X4－3－30，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，对角线BD、AC相交于点O.下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是( B )

图X4－3－30

A．∠1＝∠4 B. ∠1＝∠3

C．∠2＝∠3 D．OB2＋OC2＝BC2[来源:学科网]

6．(2011年福建福州)如图X4－3－31，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，则 ∠A＋∠B＋∠C＝270度．

图X4－3－31[来源:学*科*网Z*X*X*K]

7．(2011年重庆江津)在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线长为5，高为6，则它的面积

是30.

8．(2011年江苏南京)等腰梯形的腰长为5 cm，它的周长是22 cm，则它的中位线长为6cm. 9．(2011年湖南邵阳)如图X4－3－32，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2 cm，则上底DC的长是2cm.

图X4－3－32

10．(2011年浙江湖州)如图X4－3－33，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1∶9，若AD＝1，则BC的长是3.

图X4－3－33

11．(2011年江苏宿迁)如图X4－3－34，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝7 cm，BC＝8 cm，则AB的长度是15cm.

图X4－3－34

12．(2011年浙江温州)如图X4－3－35，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点．

求证：△ADM≌△BCM.

图X4－3－35

证明：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD， ∴AD＝BC，∠A＝∠B， ∵点M是AB的中点， ∴ MA＝MB，

∴△ADM≌△BCM.

B级 中等题

13．(2010年湖北随州)如图X4－3－36，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6 cm，则等腰梯形ABCD的面积为18cm.

图X4－3－36

14．(2011年江苏苏州)如图X4－3－37，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E.

(1)求证：△ABD≌△ECB；

(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．

图X4－3－37

(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC. 又∵CE⊥BD，∠A＝90°，∴∠A＝∠CEB. 在△ABD和△ECB中， ∠A＝∠CEB??

?∠ADB＝∠EBC， ??BD＝CB

∴△ABD≌△ECB.

(2)解法一：∵∠DBC＝50°，BC＝BD， ∴∠EDC＝65°. 又∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°. ∴∠DCE＝90°－∠EDC＝25°. 解法二：∵∠DBC＝50°，BC＝BD， ∴∠BCD＝65°. 又∵∠BEC＝90°，∴∠BCE＝40°. ∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝25°.

15．(2011年山东菏泽)如图X4－3－38，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4, E为AB中点，EF∥DC交BC于点F, 求EF的长．

图X4－3－38

解：过点A作AG∥DC，∵AD∥BC，

∴四边形AGCD是平行四边形， ∴GC＝AD，

∴BG＝BC－GC＝4－1＝3， 在Rt△ABG中， AG＝2BG＝3 2， ∵EF∥DC∥AG， ∴

EFBE1＝＝， AGAB2

2

13 2∴EF＝AG＝.

22

C级 拔尖题

16．(2010年辽宁丹东)如图X4－3－39，把长为8 cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6 cm，则打开后梯形的周长是( A )

2

图X4－3－39

A．(10＋213)cm B．(10＋13)cm C．22 cm D．18 cm

解析：∵剪掉部分的面积为6 cm2，∴矩形的宽为2 cm，即梯形的高为2 cm.结合图形知梯形的腰长为32＋22＝13(cm)．∴梯形的周长为8×2－3×2＋213＝(10＋213)cm.

17．(2011年山东枣庄)如图X4－3－40，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF. (1)证明：EF＝CF；

1

(2)当tan∠ADE＝时，求EF的长．

3

图X4－3－40

解：(1)如图D34，过D作DG⊥BC于G. 由已知可得，四边形ABGD为正方形. ∵DE⊥DC，

∴∠ADE＋∠EDG＝90°＝∠GDC＋∠EDG， ∴∠ADE＝∠GDC .

又∵∠A＝∠DGC，且AD＝GD， ∴△ADE≌△GDC . ∴DE＝DC，且AE＝GC. 在△EDF和△CDF中，

∠EDF＝∠CDF，DE＝DC，DF为公共边， ∴△EDF≌△CDF. ∴EF＝CF .

图D34[来源:学,科,网Z,X,X,K]

AE1

(2)∵tan∠ADE＝＝， ∴AE＝GC＝2.

AD3

设EF＝x，则BF＝8－CF＝8－x，BE＝6－2＝4. 由勾股定理，得x＝(8－x)＋4. 解得x＝5, 即EF＝5.

2012年预测

18．如图X4－3－41，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC，求证：AC是∠DAB的平分线．

2

2

2

图X4－3－41

证明：∵AB∥CD, ∴∠CAB＝∠DCA.

∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA .

∴∠DAC＝∠CAB , 即AC是∠DAB的平分线．

19．如图X4－3－42，AD∥BC，AB＝DC，E是BC的中点，连接AE、DE，求证：AE＝DE.

图X4－3－42

证明：∵AD∥BC，AB＝DC，且AB不平行CD， ∴梯形ABCD是等腰梯形， ∴∠B＝∠C，

∵E是BC的中点，∴BE＝EC. 在△ABE和△DCE中， AB＝DC??

?∠B＝∠C， ??BE＝EC

∴△ABE≌△DCE，[来源:学科网] ∴AE＝DE.

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