平面向量测试题，高考经典试题，附详细答案

平面向量高考经典试题

一、选择题

1．（全国1文理）已知向量a?(?5,6)，b?(6,5)，则a与b

A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向

解．已知向量a?(?5,6)，b?(6,5)，a?b??30?30?0，则a与b垂直，选A。

2、（山东文5）已知向量a?(1，n)，b?(?1，n)，若2a?b与b垂直，则a?（ ）

A．1

B．2

C．2

D．4

【答案】:C【分析】：2a?b=(3,n)，由2a?b与b垂直可得：

(3,n)?(?1,n)??3?n2?0?n??3， a?2。

3、（广东文4理10）若向量a,b满足|a|?|b|?1，a,b的夹角为60°，则a?a?ab?=______；

答案：32；

解析：a?a?a?b?1?1?1?12?32，

4、（天津理10） 设两个向量a?(??2,?2?cos2?)和b?(m,m2?sin?),其中?,m,?为实数.若a?2b,则?m的取值范围是

A.[?6,1]

B.[4,8]

C.(??,1]

D.[?1,6]

【答案】A

【分析】由a?(??2,?2?cos2?),b?(m,m2?sin?),a?2b,可得????2?2m??km?2?2m??2?cos2??m?2sin?，设m?k代入方程组可得?消?k2m2?cos2??m?2sin? (

2?2k?2去m化简得??cos???2sin?，再化简得?2?k2?k??214?2?2再令2??cos???2sin??0?t代入上式得??k?2?k?2k?2?21(sin2??1)2?(16t2?18t?2)?0可得?(16t2?18t?2)?[0,4]解不等式得t?[?1,?]811因而?1???解得?6?k?1.故选A

k?285、（山东理11）在直角?ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是

（A）AC?AC?AB （B） BC?BA?BC （C）AB?AC?CD （D） CD?22222(AC?AB)?(BA?BC)AB2

【答案】:C.【分析】： AC?AC?AB?AC?(AC?AB)?0?AC?BC?0，A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为CD?AB?AC?BC，通过等积变换判断为正确.

6、（全国2 理5）在?ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=CA??CB,则?=

2222132 31解．在?ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=CA??CB，则

322212CD?CA?AD?CA?AB?CA?(CB?CA)?CA?CB，???=，选A。

33333(A)

(B)

(C) -

(D) -7、（全国2理12）设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若

2 31 31 3FA?FB?FC=0，则|FA|+|FB|+|FC|=

(A)9

(B) 6

(C) 4

(D) 3

解．设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA?FB?FC=0，则F为△ABC的重心，∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，

∴ |FA|+|FB|+|FC|=(xA?1)?(xB?1)?(xC?1)?6，选B。

8、（全国2文6）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若

1AD?2DB，CD?CA??CB，则??（ ）

3211A． B． C．?

333D．?2 313解．在?ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=CA??CB，则

CD?CA?AD?CA?22212AB?CA?(CB?CA)?CA?CB，???=，选A。

333339（全国2文9）把函数y?ex的图像按向量a?(2，0)平移，得到y?f(x)的图像，则f(x)?（ ） A．e?2

x

B．e?2

x

C．ex?2

D．ex?2

解．把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= ex?2?3，选C。

10、（北京理4）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且

2OA?OB?OC?0，那么（ ）

Ａ．AO?OD Ｃ．AO?3OD

Ｂ．AO?2OD Ｄ．2AO?OD

解析：O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，∴ OB?OC?2OD，且

2OA?OB?OC?0，∴ 2OA?2OD?0，即AO?OD，选A

11、（上海理14）在直角坐标系xOy中，i,j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，AB?2i?j，AC?3i?kj，则k的可能值有 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

【答案】B

【解析】解法一：BC?BA?AC??2i?j?3i?kj?i?(k?1)j???（1） 若A为直角，则AB?AC?(2i?j)(3i?kj)?6?k?0?k??6；

（2） 若B为直角，则

AB?BC?(2i?j)[i?(k?1)j]?1?k?0?k??1；

（3） 若C为直角，则

AC?BC?(3i?kj)[i?(k?1)j]?k2?k?3?0?k??。?

所以 k 的可能值个数是2，选B

解法二：数形结合．如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B

12、（福建理4文8）对于向量，a 、b、c和实数，下列命题中真命题是

A 若

，则a＝0或b＝0 B 若

，则λ＝0或a＝0

，则b＝c

C 若＝，则a＝b或a＝－b D 若

解析：a⊥b时也有a·b＝0，故A不正确；同理C不正确；由a·b=a·c得不到b=c，如a为零向量或a与b、c垂直时，选B

13、（湖南理4）设a，b是非零向量，若函数f(x)?(xa?b)(a?xb)的图象是一条直线，则必有（ ） A．a⊥b 【答案】A

【解析】f(x)?(xa?b)(a?xb)??abx2?(|a|2?|b|2)x?ab,若函数f(x) 的图象是一条直线，即其二次项系数为0， ?ab=0， ?a⊥b. 14、（湖南文2）若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 A．EF?OF?OE B. EF?OF?OE C. EF??OF?OE D. EF??OF?OE 【答案】B

【解析】由向量的减法知EF?OF?OE

?xπ??π??2?平移，则平移后所得图15、（湖北理2）将y?2cos???的图象按向量a???，?36??4?象的解析式为（ ）

B．a∥b

C．|a|?|b| D．|a|?|b|

?xπ?Ａ．y?2cos????2

?34??xπ?Ｃ．y?2cos????2

?312?答案：选Ａ

?xπ?Ｂ．y?2cos????2

?34??xπ?Ｄ．y?2cos????2

?312?'''解析：法一 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点Px,y，

????'?2??P'P??x?x',y?y'??x?x?P?x,y?，则a???，4??π?4,y'?y?2，

带入到已知解析式中可得选Ａ

??π??2?平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2 法二 由a???，4?4?个单位。

16、（湖北文9）设a=(4,3),a在b上的投影为为 A.(2,14) 答案：选B

解析：设a在b的夹角为θ，则有|a|cosθ=2,且|b|＜1,结合图形可知选B

17、（浙江理7）若非零向量a，b满足a?b?b，则（ ） Ａ．2a??a?b Ｃ．2b?a??b 【答案】：C 【分析】：

Ｂ．2a?2a?b Ｄ． 2b?a?2b

B.(2,-

52,b在x轴上的投影为2,且|b|＜1,则b22) 72) 7 C.(-2, D.(2,8)

52，θ=45°，因为b在x轴上的投影为2a??b?a?b+b?a+b?b?2b,

由于a，b是非零向量，则必有a+b?b,故上式中等号不成立 。 ∴2b?a?2b。故选C.

18、（浙江文9） 若非零向量a，b满足a?b?b，则（ ）

Ａ．2b?a?2b Ｃ．2a?a??b 【答案】：A

Ｂ．2b?a?2b Ｄ．2a?a??b

【分析】：若两向量共线，则由于a，b是非零向量，且a?b?b，则必有a=2b；代入可知只有A、C满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；令OA?a, OB?b,则BA?a-b, ∴CA?a-2b且

Ca?b?b；又BA+BC>AC ∴a?b?b?a?2b

∴2b?a?2b

OBA ，，b?(1，?1)19、（海、宁理2文4）已知平面向量a?(11)，则向量13a?b?（ ） 22?1) Ａ．(?2，，0) Ｃ．(?1【答案】：D 【分析】：

， Ｂ．(?21)，2) Ｄ．(?1

13a?b?(?1，2). 2210）如图，在四边形

ABCD

中，

?20、（重庆理

|AB?|??|B?D|??|D?C|??4A,B???B ?D???B?DDC|AB|?|BD|?|BD|?|DC|?4，则(AB?DC)?AC的值为（ ）

A.2 B. 22 C.4 D.42 【答案】：C

【分析】：(AB?DC)?AC?(AB?DC)?(AB?BD?DC)?(|AB|?|DC|).

?????2???

?????|AB|?|BD|?|DC|?4,?|AB|?|DC|?2. ??????|BD|(|AB|?|DC|)?4,???DC

?(AB?DC)?AC?4.

AB21、（重庆文9）已知向量OA?(4,6),OB?(3,5),且OC?OA,AC//OB,则向量OC等于

?32?（A）??,?

?77?【答案】：D 【分

?24? （B）??,?

?721??32?（C）?,??

?77?4??2（D）?,??

?721?析】：设

C(?x,3727y)?A/?OC?/?CO ??BO 联立解得C(,?).

22、（辽宁理3文4）若向量a与b不共线，ab?0，且c=a-??aa??b，则向量a与?ab?c的夹角为（ ）

πA．0 B．

6解析：因为a?c?a?(????2C．

?2π 3D．

π 2aa?b?)a?b?0，所以向量a与c垂直，选D

??23、（辽宁理6）若函数y?f(x)的图象按向量a平移后，得到函数y?f(x?1)?2的图象，则向量a=（ ）

，?2) A．(?1，?2) B．(1，2) C．(?1，2) D．(1解析：函数y?f(x?1)?2为y?2?f(x?1)，令x'?x?1,y'?y?2得平移公式，

，?2)，选A 所以向量a=(?124、（辽宁文7）若函数y?f(x)的图象按向量a平移后，得到函数y?f(x?1)?2的图象，则向量a=（ ）

A．(1，?2) B．(1，2)

C．(1，?2) D．(?1，2)

解析：函数y?f(x?1)?2为y?2?f(x?1)，令x'?x?1,y'?y?2得平移公式，所以向量a=(1，?2)，选C

25、（四川理7文8）设A(a,1)，B(2,b)，C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ）

（A）4a?5b?3 （B）5a?4b?3 （C）4a?5b?14 （D）5a?4b?14

解析：选A．由OA与OB在OC方向上的投影相同，可得：OA?OC?OB?OC即

4a?5?8?5b，4a?5b?3．

26、（全国2理9）把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移，得到y=f(x)的图象，则f(x)= (A) ex-3+2

(B) ex+3－2

(C) ex-2+3

(D) ex+2－3

解．把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移，即向右平移2个单位，向上平移3个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= e

二、填空题

1、（天津文理15） 如图，在?ABC中，?BAC?120?,AB?2,AC?1,D是边BC上一

点，DC?2BD,则ADBC?__________. 【答案】?

A

x?2?3，选C。

83B D C

AB2?AC2?BC2AB2?AD2?BD2?【分析】法一：由余弦定理得cosB?可得

2?AB?AC2?AB?BDBC?7,AD?13， 3又AD,BC夹角大小为?ADB，

BD2?AD2?AB23298cos?ADB??????，

2?BD?AD9413?791

所以ADBC?AD?BC?cos?ADB??83.

法二：根据向量的加减法法则有:BC?AC?AB A112AD?AB?BD?AB?(AC?AB)?AC?AB,此时 B333D2212122AD·BC?(AC?AB)(AC?AB)?AC?AC·AB?AB

333331818?????. 33332、(安徽文理13) 在四面体O-ABC中，OA?a,OB?b,OC?c,D为BC的中点，E

为AD的中点，则OE= （用a，b，c表示）

解析：在四面体O－ABC中，OA?a,OB?b,OC?c,D为BC的中点，E为AD的中点，则OE=OA?AE?OA?C11AD?OA?(AO?OD) 2211111=OA?(OB?OC)?a?b?c。 242444?b=?11，?．若向量b?(a+?b)，则实数?的值3、（北京文11）已知向量a=?2，，是

．

解析：已知向量a=?2，，4?b=?11，?．向量a??b?(2??,4??)，b?(a+?b)，则2+λ+4+λ=0，实数?=－3．

4、（上海文6）若向量a，b的夹角为60，a?b?1，则aa?b? ． 【答案】

???1 211?。 225、（江西理15）如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直【解析】aa?b?a?a?b?a?a?bcos60??1???22A 线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB?mAM，

AC?nAN，则m?n的值为 N ．

解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，填2 6、（江西文13）在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的M B O C

两端点

0)，B(11)，，则ABAC? 分别为O(0， ．

解析：ABAC?(0,1)?(?1,1)?0?(?1)?1?1?1.

三、解答题：

1、（宁夏，海南17）（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与

D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C测得塔顶A的仰角为?，

求塔高AB．

解：在△BCD中，?CBD?π????． 由正弦定理得所以BC?BCCD?．

sin?BDCsin?CBDCDsin?BDCs·sin?． ?sin?CBDsin(???)s·tan?sin?．

sin(???)在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB?2、（福建17）（本小题满分12分） 在△ABC中，tanA?（Ⅰ）求角C的大小；

13，tanB?． 45（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．

本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ）

C?π?(A?B)，

13?3?tanC??tan(A?B)??45??1．又0?C?π，?C?π．

1341??453（Ⅱ）C??，?AB边最大，即AB?17．

4又

???tanA?tanB，A，B??0，?，?角A最小，BC边为最小边．

???sinA1?tanA??，??π?由?cosA4且A??0，?，

?2??sin2A?cos2A?1，?得sinA?ABBCsinA17??2． ．由得：BC?ABsinCsinAsinC17所以，最小边BC?2．

3、（广东16）（本小题满分12分）

已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).

（1）若c?5，求sin∠A的值; （2）若∠A是钝角，求c的取值范围.

解：(1) AB?(?3,?4), AC?(c?3,?4) 当c=5时，AC?(2,?4)

cos?A?cos?AC,AB??(2)若A为钝角，则

?6?165?25?15 进而

sin?A?1?cos2?A?255

252

AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)<0 解得c>3

25显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[3，+?)

4、（广东文16）(本小题满分14分)

已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．

(1)若ABAC?0，求c的值；

(2)若c?5，求sin∠A的值

解: (1) AB?(?3,?4) AC?(c?3,?4 ) 由 ABAC 得 c???3(c?3)?16?25?c3? (2) AB?(?3,?4) AC?(2?,4 ) cos?A?25 3ABACABAC??6?161 ?5205sin?A?1?cos2?A?25 55、（浙江18）（本题14分）已知△ABC的周长为2?1，且sinAsin?（I）求边AB的长； （II）若△ABC的面积为

B2?sin C．

1sinC，求角C的度数． 6（18）解：（I）由题意及正弦定理，得AB?BC?AC?2?1，

BC?AC?2AB，

两式相减，得AB?1． （II）由△ABC的面积

111BCACsinC?sinC，得BCAC?， 263AC2?BC2?AB2由余弦定理，得cosC?

2ACBC

(AC?BC)2?2ACBC?AB21?， ?2ACBC2所以C?60．

6、（山东20）（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里

的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲

船的

北偏西105的方向B1处,此时两船相距20海里.当甲船航 行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方 向的B2处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 解：如图，连结A1B2，A2B2?102，A1A2???20?302?102， 60?A1A2B2是等边三角形，?B1A1B2?105??60??45?，

在?A1B2B1中，由余弦定理得

22B1B2?A1B12?A1B2?2A1B1?A1B2cos45?， 2?20?(102)?2?20?102??200222B1B2?102.

因此乙船的速度的大小为

102?60?302. 20答：乙船每小时航行302海里. 7、（山东文17）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC?37． （1）求cosC；

5，且a?b?9，求c． 2sinC??37 解：（1）tanC?37，cosC（2）若CBCA?1sin2C?cos2C?1 解得cosC??．

81tanC?0，?C是锐角． ?cosC?．

855（2）CBCA?， ?abcosC?， ?ab?20．

22

又

又

a?b?9

?a2?2ab?b2?81． ?a2?b2?41．

?c2?a2?b2?2abcosC?36． ?c?6．

8、（上海17）（本题满分14分）

在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a?2,C?π，4cosB25，求△ABC的面积S． ?2543解： 由题意，得cosB?，B为锐角，sinB?，

55 sinA?sin(π?B?C)?sin? 由正弦定理得 c??3π?72， ?B???4?1010111048， ? S?acsinB??2???．

2275779、（全国Ⅰ文17）（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?2bsinA．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若a?33，c?5，求b．

解：（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?由△ABC为锐角三角形得B?1， 2π． 6222（Ⅱ）根据余弦定理，得b?a?c?2accosB?27?25?45?7．

所以，b?7．

10、（全国Ⅱ17）（本小题满分10分） 在△ABC中，已知内角A??，边BC?23．设内角B?x，周长为y． ?（1）求函数y?f(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值．

解：（1）△ABC的内角和A?B?C??，由A?

应用正弦定理，知

2??，B?0，C?0得0?B?．

??AC?BC23sinB?sinx?4sinx，

?sinAsin?

AB?BC?2??sinC?4sin??x?． sinA???

因为y?AB?BC?AC， 所以y?4sinx?4sin?

2???2????x??23?0?x??， ?3??????1cosx?sinx??23 ??2?

（2）因为y?4?sinx????

?43si?nx??????????5????2?3?x???，

?????

所以，当x?????，即x?时，y取得最大值63． ???

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