北京市西城区2016年高三一模考试数学理试题(WORD)

北京市西城区2016年高三一模试卷

数 学（理科） 2016.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

21．设集合A?{x|x?4x?0}，集合B?{n|n?2k?1,k?Z}，则A?B?（ ）

（A）{?1,1} （B）{1,3} （C）{?3,?1} （D）{?3,?1,1,3}

??x?2?2cos?,xOy(?为参数)，则曲线C是（ ）2. 在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为?y?2sin???（A）关于x轴对称的图形 （B）关于y轴对称的图形 （C）关于原点对称的图形 （D）关于直线y?x对称的图形

3. 如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） （A） y?x?f(x) （B）y?xf(x) （C）y?x2?f(x) （D）y?x2f(x)

????????4. 在平面直角坐标系xOy中，向量OA＝(?1, 2)，OB＝(2, m) ， 若O, A, B三点能构成三角形，

则（ ）

（A）m??4 （B）m??4 （C）m?1 （D）m?R

5. 执行如图所示的程序框图，若输入的A,S分别为0, 1，则输出的S?（ ） （A）4 （B）16 （C）27 （D）36

开始 输入A,S k?1A?A?k k?k?2 S?S?A k≥416. 设x?(0,)，则“a?(??,0)”是“log1x?x?a”的（ ）

22 （A）充分而不必要条件 B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

否 是 输出S 结束

7. 设函数f?x??Asin??x???（A，?，?是常数，A?0，??0），且函数f?x?的部分图象如图所示，则有（ ）

y 3π5π7π)?f()?f() 4363π7π5π（B）f(?)?f()?f()

4635π7π3π （C）f()?f()?f(?)

3645π3π7π（D）f()?f(?)?f()

346 （A）f(? O π12 5π6x 8. 如图，在棱长为a(a>0)的正四面体ABCD中，点B1,C1,D1分别在棱

AB,AC,AD上，且平面B1C1D1//平面BCD，A1为DBCD内一点，记三棱锥

A B1 B C C1 D

A1 D1

A1-B1C1D1的体积为V，设

AD1=x，对于函数V=f(x)，则（ ） AD2x=A（）当时，函数f(x)取到最大值 31 （B）函数f(x)在(,1)上是减函数

2 （C）函数f(x)的图象关于直线x= （D）存在x0，使得f(x0)>

1对称 21VA-BCD（其中VA-BCD为四面体ABCD的体积） 3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 在复平面内，复数z1与z2对应的点关于虚轴对称，且z1??1?i，则

z1?____. z210．已知等差数列{an}的公差d?0， a3??3，a2?a4?5，则an?____；记{an}的

前n项和为Sn，则Sn的最小值为____.

2 正(主)视图

2 侧(左)视图

x211．若圆(x?2)?y?1与双曲线C：2?y2?1(a?0)的渐近线相切，则a?_____；

a22双曲线C的渐近线方程是____.

12. 一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如

图所示，则该截面的面积是____.

俯视图

13. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A, B, C三个项目的志愿者工作，因工作需要，

每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A, B项目，乙不能参加B, C项目，那么共有____种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）

14. 一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车

在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．

（图1） （图2） 根据图1，有以下四个说法：

1 在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加； ○

2 在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6 km； ○

3 大约在这第二圈的0.4 km到0.6 km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶； ○

4 在图2的四条曲线（注：S为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹. ○

其中，所有正确说法的序号是_____.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 设A?（Ⅰ）若a?7，求b的值；

16．（本小题满分13分）

某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一

14 12 10 8 6 4 2 ? ? ? π，sinB?3sinC. 3（Ⅱ）求tanC的值.

组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.

各分数段人数

? ? ? 体育成绩

O 45 55 65 75 85 95

（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被

称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；

（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率；

（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中，其中a，b，c?N．当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值.（结论不要求证明）

12222（注：s?[(x1?x)?(x2?x)???(xn?x)]，其中x为数据x1,x2,?,xn的平均数）

n

17．（本小题满分14分）

如图，四边形ABCD是梯形，AD//BC，?BAD?90?，四边形CC1D1D为矩形，已知AB?BC1，AD?4，AB?2，BC?1.

（Ⅰ）求证：BC1//平面ADD1；

D1

（Ⅱ）若DD1?2，求平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）设P为线段C1D上的一个动点（端点除外），判断直线BC1与直线CP能否垂直？并说明理由.

C1 A D

C

B

18．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?xex?aex?1，且f?(1)?e. （Ⅰ）求a的值及f(x)的单调区间；

2?2(k?2) （Ⅱ）若关于x的方程f(x)?kx存在两不相等个正实数根x1,x2，证明：

|x1?x2|?ln4． e

19．（本小题满分14分）

已知椭圆C：mx2?3my2?1(m?0)的长轴长为26，O为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；

（Ⅱ）设点A(3,0)，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|BA|?|BP|，求四边形OPAB面积的最小值.

20．（本小题满分13分）

设数列{an}和{bn}的项数均为m，则将数列{an}和{bn}的距离定义为?|ai?bi|.

i?1m（Ⅰ）给出数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离； （Ⅱ）设A为满足递推关系an?1?1?an的所有数列{an}的集合，{bn}和{cn}为A中的两个元素，1?an且项数均为m，若b1?2，c1?3， {bn}和{cn}的距离小于2016，求m的最大值；

（Ⅲ）记S是所有7项数列{an|1≤n≤7,an?0或1}的集合，T?S，且T中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T中的元素个数小于或等于16.

答案解析

1.【答案】C

【解答】解：由x2?4x?0，解得?4?x?0 ∴A?{x|?4?x?0}

又∵B?{n|n?2k?1,k?Z} ∴AIB?{?3,?1} 故选：C

2.【答案】A

??x?2?2cos?【解答】解：由?

??y?2sin?得(x?2)2?y2?2

表示圆心为(2,0)，半径为2的圆

所以曲线C是关于x轴对称的图形．

故选：A

3.【答案】B

【解答】∵y?x是奇函数，y?f(x)为奇函数 ∴y?xf(x)是偶函数．

故选：B

4.【答案】B

【解答】∵O,A,B三点能构成三角形 uuruuur∴OA与OB不共线

uuruuur又OA?(?1,2)，OB?(2,m) ∴?m?4?0 ∴m??4 故选：B

5.【答案】D 【解答】

解：由程序框图知， A?0,S?1,k?1

第1次循环，A?0?1?1,S?1?1?1，k?3． 第1次循环，A?1?3?4,S?1?4?4，k?5． 第1次循环，A?4?5?9,S?4?9?36 此时k?5?4，跳出循环． 输出S?36

故选：D

6.【答案】A

【解析】由log1x?x?a，得log1x?x?a

22∵y?log1x是减函数，y??x是减函数

2∴y?log1x?x是减函数

2又∵0?x?1 22∴log1x?x?log12111?? 2221． 211即“x?(0,),log1x?x?a”等价于“a?”

222∴a?1又∵(??,0)?(??,]

2∴“a?(??,0)”是“log1x?x?a”的充分不必要条件．

2故选：A

7.【答案】D 【解答】

35π3解：由函数的图象可知，T?π??π

46124∴T?π.

33π∴f(?π)?f(?π?π)?f()

444552f(π)?f(π?π)?f(π) 333771f(π)?f(π?π)?f(π) 666ππππ7π7结合图象知，f(x)在[,?]即[,]上单调递减，且f(x)关于x?π对称．

1212121212227π2π∴f(π)?f(2??π)?f()

312325π∴f(π)?f()

32又∵

ππππ7π ????1264212

πππ∴f()?f()?f()

642735∴f(π)?f(?π)?f(π)

643故选：D

8.【答案】A 【解答】

解：设四棱锥A1?B1C1D1的高为h'，四棱锥A?BCD的高为h． ∵面B1C1D1//平面BCD

∴△B1C1D1~△BCD,△AC1D1~△ACD ∵∴

A1D1?x ADC1D1h'?x，?1?x CDhA∴S△B1C1D1?x2?S△BCD，h'?(1?x)h

11∴V?S△B1C1D1?h'?x2(1?x)?S△BCD?h?x2(1?x)?VA?BCD

33B1C1Bh'A1ChD1即f(x)?x2(1?x)?VA?BCD 令g(x)?x(1?x)

2Dg'(x)?2x(1?x)?x2??3x2?2x

令g'(x)?0，得x?0或x?2 32x?(0,)时，g'(x)?0，g(x)单增,

32x?(,1)时，g'(x)?0，g(x)单减．

3∴当x?2时，g(x)有最大值，即f(x)有最大值． 3故选：A．

二、填空题 9．【答案】i

【解答】 ∵复数z1与z2对应的点关于虚轴对称，且z1=-1+i，

∴z2=1+i，

z1-1+i(-1+i)?(1i)-1+2i-i2===i． ∴=z21+i(1+i)?(1i)2故答案为i．

10．【答案】an?2n?9；?16． 【解答】设数列{an}的首项为a1，

\\a1+2d=-3，(-3-d)?(3+d)=5，

解得d=2,a1=-7，

∴an=-7+(n-1)2=2n-9； ∴a4<0，a5>0，

∴Sn的最小值为S4=-7-5-3-1=-16． 故答案为：an?2n?9；?16． 11．【答案】3，y??3x． 31【解答】双曲线的渐近线方程为y??x，即x?ay?0，

a∵圆与双曲线的渐近线相切， ∴21?a2?1，由a?0，解得a?3，

3x． 3故双曲线的渐近线方程为y??故答案为：3，y??3x． 312．【答案】6

【解答】该几何体的直观图如图所示： 因此截面为△PBC，

由题可知PB=PC=25,BC=22， ∴△PBC中BC边上的高等于PD=1所以截面面积为创2232=6 220-2=32，

P故答案为：6 BDCA

13．【答案】21

1【解答】若甲、乙二人都参加了，则有A3种分配方案；

12若甲、乙二人中只有一个人参加，则有C2种分配方案； ?A33若甲、乙二人都不参加，则有A3种分配方案； 1123∴共有A3?C2?A3?A3?3?12?6?21种分配方案．

故答案为：21．

14．【答案】①④． 【解答】

由图看，在2.6km到2.8km之间，赛车速度从100逐渐增加到140km/h，①对；

从0.4km到1.2km这段，赛车应该是直道加速到平稳行驶，最长直线路程超过0.6km，②错； 从1.4km到1.8km之间，赛车开始最长直线路程行驶，③错；

从图1看，赛车先直线行驶一小段，然后减速拐弯，然后直线行驶一大段距离，再减速拐弯，再直线行驶一大段，拐弯后行驶一中段距离，曲线B最符合，④对． 故答案为：①④．

15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为 sinB?3sinC， 由正弦定理

abc??， sinAsinBsinC 得 b?3c. ??????3分 由余弦定理 a2?b2?c2?2bccosA及A? 得 7?b2?c2?bc，

π，a?7， ??????5分 3b2b2 所以 b?()??7，

332 解得 b?3. ??????7分 （Ⅱ）解：由A? 所以 sin( 即2ππ?C. ，得B?332π?C)?3sinC. ??????8分 331cosC?sinC?3sinC， ??????11分 2235 所以cosC?sinC，

223 所以tanC?. ??????13分

5

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，??????2分 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有1000?30?750人. ??4分 40（Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件A， ??????5分

2C337由题意，得P(A)?1?2?1??，

C51010 因此至少有1人体育成绩在[60,70)的概率是

7. ??????9分 10（Ⅲ）解：a, b, c的值分别是为79, 84, 90；或79, 85, 90. ??????13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：由CC1D1D为矩形，得CC1//DD1，

又因为DD1?平面ADD1，CC1?平面ADD1，

所以CC1//平面ADD1， ?????? 2分 同理BC//平面ADD1， 又因为BC?CC1?C，

所以平面BCC1//平面ADD1, ?????? 3分 又因为BC1?平面BCC1，

所以BC1//平面ADD1. ?????? 4分 （Ⅱ）解：由平面ABCD中，AD//BC，?BAD?90?，得AB?BC，

又因为AB?BC1，BC?BC1?B， 所以AB?平面BCC1， 所以AB?CC1，

又因为四边形CC1D1D为矩形，且底面ABCD中AB与CD相交一点， 所以CC1?平面ABCD，

因为CC1//DD1， 所以DD1?平面ABCD.

过D在底面ABCD中作DM?AD，所以DA,DM,DD1两两垂直，以DA,DM,DD1分 别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系， ?????? 6分

则D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，C(3,2,0)，C1(3,2,2)，D1(0,0,2)， 所以AC1?(?1,2,2),AD1?(?4,0,2). 设平面AC1D1的一个法向量为m?(x,y,z)，

????????????????????x?2y?2z?0, 由m?AC1?0，m?AD1?0，得? ??4x?2z?0, 令x?2，得m?(2,?3,4). ??????8分

易得平面ADD1的法向量n?(0,1,0). 所以cos?m,n??x A z D1

C1 P D m?n329. ??|m||n|29B C y 即平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值为329. ??????10分 29（Ⅲ）结论：直线BC1与CP不可能垂直. ??????11分

?????????证明：设DD1?m(m?0)，DP??DC1(??(0,1))，

由B(4,2,0)，C(3,2,0)，C1(3,2,m)，D(0,0,0)，

??????????????????????? 得BC1?(?1,0,m)，DC1?(3,2,m)，DP??DC1?(3?,2?,?m)，CD?(?3,?2,0)， ???????????? CP?CD?DP?(3??3,2??2,?m). ??????12分 ????????? 若BC1?CP，则BC1?CP??(3??3)??m2?0，即(m2?3)???3， 因为??0， 所以m2??3??3?0，解得??1，这与0???1矛盾.

所以直线BC1与CP不可能垂直. ??????14分

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