数学与应用数学 毕业论文 整数环上不可约多项式的判定1230

琼州学院本科毕业论文

有理数域上不可约多项式的判定方法

符世岳

(琼州学院理工学院数学与应用数学06级3班 海南 三亚 572022)

摘 要

本文通过对国内外有关有理数域上不可约多项式的资料的收集和整理,从一般性到特殊性对有理数域上的不可约多项式进行学习研究,并且根据以往的学习心得将有理数域上不可约多项式的知识系统化.通过整理归纳出的有理数域上不可约多项式的一般的判定方法有: 定义法、克罗内克（Kronecker）判别法、艾森斯坦(Eisenstein)判别法、Perron 判别法、Brown判别法、复数性质判别法、已知f?x?没有有理因式的判别法、模p约化判别法(p为素数).而对于一些特殊的多项式则给出了较为简便的判定方法,像奇次多项式、系数为1的多项式、次数小于4的多项式.其中，对次数小于4的情形分类讨论得到了简便的判定方法，而在次数小于4的情形一般化后讨论也得到了相应的判定方法，并对判定方法给出相适应的例子.本文还对各判定方法的等价和包含关系做出判断,较为系统的给出了有理数域上不可约多项式的判定方法.

关键词 不可约 多项式 有理数域 判定方法

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Abstract

By collecting and ordering some related information home and abroad about irreducible polynomial in rational field, we studied the property on irreducible polynomial from ordinary to special and combined with learning experience. We made the methods of discriminating irreducible polynomial in rational field systematize, offering corresponding examples. In addition, this essay also judged the equivalent and inclusion relationships about each discrimination method. It provided systematic discrimination methods about irreducible polynomial in rational field. Key words: irreducible; polynomial; rational field; discrimination method

Ⅱ

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目 录

引 言 ·····························1页 第一章 有理数域上不可约多项式的相关知识 ············2页

1.1 本原多项式 ·······················2页 1.2 有理数域上多项式的等价 ·················2页 1.3有理数域上不可多约多项式的定义 ·············2页 第二章 一般的判定方法 ·····················3页

2.1克罗内克（Kronecker）判别法 ···············3页 2.2艾森斯坦(Eisenstein)判别法 ···············3页 2.2.1艾森斯坦(Eisenstein)判别法直接判别法 ········4页 2.2.2艾森斯坦(Eisenstein)判别法间接判别法 ········4页 2.2.3艾森斯坦(Eisenstein)判别法派生的一种判别方法 ····5页 2.3定义法 ·························5页 2.4 Perron 判别法 ······················6页 2.5 Brown判别法 ······················6页 2.6复数性质判别法 ·····················6页 2.7已知f?x?没有有理因式的判别法 ··············8页 2.8模p约化判别法(p为素数) ················8页 第三章 特殊多项式的判定方法 ················· 11页

3.1奇次多项式的判定方法 ················· 11页 3.2系数为1的多项式的判定方法 ··············· 11页 3.3次数小于4的情形 ··················· 11页 3.3.1形如ax2?bx?c的判定方法 ············· 12页 3.3.2形如x3?ax2?bx?c的判定方法 ··········· 12页 3.3.3情形一般化 ···················· 12页

第四章 结论 ·························· 13页 参考文献 ··························· 14页 致谢 ····························· 15页

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引 言

现行的高等代数课本在多项式部分都讲述了实数域上只有一次和两次的不可约多项式，复数域上只有一次的不可约多项式以及有理数域上存在任意次不可约多项式这么一个事实.但对有理数域上不可约多项式的判定方法,却只介绍了艾森斯坦(Eisenstein)判别法.人们在对多项式进行研究时,发现不可约多项式还存在另外的判定方法.

研究发现，判断有理数域上的不可约多项式的问题,最终都等价地转化为判断整数环上的不可约多项式的问题.艾森斯坦(Eisenstein)判别法,是有理数域上不可约多项式判定的一个充分条件,而非必要条件,并且不是对所有的多项式的判定均有效.事实上，满足判别法中的素数p不总存在.若是对于某一多项式

f?x?找不到这样的一个素数p满足艾森斯坦(Eisenstein)判别法中的条件,那么f?x?可能在有理数域上可约也可能不可约.因此, 艾森斯坦(Eisenstein)判别法有一定的局限性.

克罗内克（Kronecker）曾给出一个通过有限次计算实际判断任一整系数多项式能分解成次数较低的整系数多项式的乘积的方法,因此我们也能够判断任一多项式在有理数域上是否可约.虽然克罗内克（Kronecker）的方法对任一多项式的不可约性可以判定,但是克罗内克（Kronecker）的方法比较麻烦,实用价值不大.

多年来,已有很多数学工作者投入到多项式的研究中.本研究在现有的有理数域上不可约多项式的判定方法的基础之上,把不可约多项式进行分类，期待做出更加简便、实用的判定方法.

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有理数域上不可约多项式的相关知识

第一章 有理数域上不可约多项式的相关知识

1.1 本原多项式

若是一个整系数多项式f?x?的系数互素,那么f?x?叫做一个本原多项式.

1.2 有理数域上多项式的等价

设g?x?是有理数域上的一个多项式,若g?x?的系数不全是整数,那么以

g?x?系数分母的一个公倍数乘g?x?,就得到一个整系数多项式f?x?.显然,多项式g?x?与f?x?在有理数域上同时可约或同时不可约.

1.3 有理数域上不可约多项式的定义

如果f?x?是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两个次数比它低的多项式的乘积,则f?x?称是有理数域上的不可约多项式.

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