2014年中考数学解析版试卷分类汇编总汇：二次函数(共276页)

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二次函数

2. （ 2014?福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+点O（0，0），A（2，0）． （1）写出该函数图象的对称轴；

（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？

的图象经过原

考点：二 次函数的性质；坐标与图形变化－旋转． 分析：（ 1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1； （2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=2，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，的顶点． ），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣解答： ：解（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+∴抛物线的对称轴为直线x=1； （2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下： 如图，作A′B⊥x轴于点B， ∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′， ∴OA′=OA=2，∠A′OA=2， 在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°， ∴OB=OA′=1， ∴A′B=OB=， ）， （x﹣1）2+的顶点． （x﹣1）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）． ∴A′点的坐标为（1，∴点A′为抛物线y=﹣

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点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：时，y随x的增大而①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值

，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质． 6. 2014?广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H． （1）求二次函数的解析式；

1）；点4（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；

（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．

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考点：二次函数综合题． 专题：综合题．

分析：（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继

而可求得二次函数的解析式；

（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论； （3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x，于x的方程，求出x的值即可得出答案． 解答：（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，

∴设二次函数的解析式为y=ax2，

12

x），根据PF=PM=FM，可得关411）代入y=ax2得：a=， 441∴二次函数的解析式为y=x2；

4将点A（1，

（2）证明：∵点P在抛物线y=∴可设点P的坐标为（x，

12

x上， 412x）， 412

x﹣1，PB=x， 4过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=∴Rt△BPF中， PF=

∵PM⊥直线y=﹣1， ∴PM=

=

12

x+1， 412

x+1， 4∴PF=PM， ∴∠PFM=∠PMF， 又∵PM∥x轴， ∴∠MFH=∠PMF， ∴∠PFM=∠MFH，

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∴FM平分∠OFP；

（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°， ∴∠FMH=30°，

在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4， ∵PF=PM=FM， ∴

12

x+1=4， 4，

解得：x=±2∴

121x=×12=3， 44，3）或（﹣2

，3）．

∴满足条件的点P的坐标为（2

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直

角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通．

7. （2014?广西玉林市、防城港市，第26题12分）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1． （1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；

（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点． ①求此抛物线的解析式；

②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．

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考点：二 次函数综合题． 分析：（ 1）直线与抛物线的交点B与A关于原点对称，即横纵坐标对应互为相反数，即相加为零，这很使用于韦达定理．由其中有涉及顶点，考虑顶点式易得a值． （2）①直线l：y=kx向上平移k2+1，得直线r：y=kx+k2+1．根据无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C：y=ax2+bx+1都只有一个交点，得ax2+（b﹣k）x﹣k2=0中△==0．这虽然是个方程，但无法求解．这里可以考虑一个数学技巧，既然k取任何值都成立，那么代入最简单的1，2肯定是成立的，所以可以代入试验，进而可求得关于a，b的方程组，则a，b可能的值易得．但要注意答案中，可能有的只能满足k=1，2时，并不满足任意实数k，所以可以再代回△=中，若不能使其结果为0，则应舍去． ②求证OP=PQ，那么首先应画出大致的示意图．发现图中几何条件较少，所以考虑用坐标转化求出OP，PQ的值，再进行比较．这里也有数学技巧，讨论动点P在抛物线y=﹣x2+1上，则可设其坐标为（x，﹣x2+1），进而易求OP，PQ． 解答：（ 1）解： ∵l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，当b=1时有A，B两交点， ∴A，B两点的横坐标满足kx=ax2+x+1，即ax2+（1﹣k）x+1=0． ∵B与A关于原点对称， ∴0=xA+xB=∴k=1． ∵y=ax2+x+1=a（x+∴顶点（﹣，1﹣）2+1﹣， ， ）在y=x上，

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