2019年湖南省娄底市中考数学试卷

2019 年湖南省娄底市中考数学试卷

副标题

题号 得分

一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）

） 1. 2019 的相反数是（

一

二

三

四

总分

A. -2019 B. 2019

C. 2009

1

D. - 2009

1

【答案】A

【解析】解：2019 的相反数是：-2019． 故选：A．

直接利用相反数的定义分析得出答案．

此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键． ） 2. 下列计算正确的是（

A. （-2）3=8 B. （a2）3=a6 C. a2?a3=a6 【答案】B

【解析】解：A．（-2）3=-8，故选项 A 不合题意； B．（a2）3=a6，故选项 B 符合题意； C．a2?a3=a5，故选项 C 不合题意；

D. 4x2-2x=2x

D.4x2 与 x 不是同类项，故不能合并，所以选项 D 不合题意． 故选：B．

分别根据幂的定义、幂的乘方、同底数幂的乘法法则以及合并同类项的法则逐一判断即 可．

本题主要考查了幂的运算以及合并同类项的法则，熟练掌握幂的运算性质是解答本题的 关键．

） 3. 顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（

A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 【答案】C

【解析】解：如图，∵E、F 分别是 AB、BC 的中点， ∴EF∥AC 且 EF= AC， 2

同理，GH∥AC 且 GH= AC， 2

∴EF∥GH 且 EF=GH，

∴四边形 EFGH 是平行四边形， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，

又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD， ∴EF⊥FG，

∴平行四边形 EFGH 是矩形． 故选：C．

作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形

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1

1

D. 正方形

EFGH 是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得 EF⊥FG，然后根据有一个角 是直角的平行四边形是矩形判断．

本题主要考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，以及矩形的判定，连接四边形的中 点得到的四边形的形状主要与原四边形的对角线的关系有关，原四边形的对角线相等， 则得到的四边形是菱形，原四边形对角线互相垂直，则得到的四边形是矩形，连接任意 四边形的四条边的中点得到的四边形都是平行四边形．

4. 一组数据-2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（

）

A. -2、0 B. 1、0 C. 1、1 D. 2、1

【答案】C

【解析】解：这组数据的众数为 1，

从小到大排列：-2，0，1，1，1，2，中位数是 1， 故选：C．

根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小） 的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数进行 分析即可．

此题主要考查了众数和中位数，关键是掌握两种数的定义．

5. 2018 年 8 月 31 日，华为正式发布了全新一代自研手机 SoC 麒麟 980，这款号称六

项全球第一的芯片，随着华为 Mate20 系列、荣耀 Magic2 相继搭载上市，它的强劲 性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更 丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟 980 是全球首颗 7nm （1nm=10-9m）手机芯片．7nm 用科学记数法表示为（ ）

A. 7×10-8m B. 7×10-9m C. 0.7×10-8m D. 7×10-10m

【答案】B

【解析】解：7nm 用科学记数法表示为 7×10-9m． 故选：B．

绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10-n，与较大数的科学 记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10-n，其中 1≤|a|＜10，n 为由原数 左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．

） 6. 下列命题是假命题的是（

A. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 B. 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C. n 边形（n≥3）的内角和是 180°n-360° D. 旋转不改变图形的形状和大小 【答案】C 【解析】解 ：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题； B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题； C、n 边形（n≥3）的内角和是 180°n-360°，正确，是真命题； D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题， 故选：C．

利用垂直平分线的判定、等边三角形的性质、多边形的内角和及旋转的性质分别判断后 即可确定正确的选项．

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂直平分线的判定、等边三角形的性

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质、多边形的内角和及旋转的性质，难度不大．

1

7. 如图，⊙O 的半径为 2，双曲线的解析式分别为 y= 和? = ?

? ?，则阴影部分的面积是（

1

）

A. 4π

B. 3π C. 2π D. π

【答案】C

【解析】解：双曲线 y= 和? = ? 的图象关于 x 轴对称， ? ?

根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的 阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形， 并且扇形的圆心角为 180°，半径为 2， 所以：S =

阴影

1 1

180?×22 360

=2π．

故选：C．

根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．

本题考查的是反比例函数，题目中的两条双曲线关于 x 轴对称，圆也是一个对称图形， 可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为 180°，半径为 2 的扇形的面积，用扇形面积 公式计算可以求出阴影部分的面积．

8. 如图，边长为 2√3的等边△ABC 的内切圆的半径为（

）

A. 1 B. √ 3 C. 2 D. 2√3

【答案】A

【解析】解：设△ABC 的内心为 O，连接 AO、BO，CO 的延长 线交 AB 于 H，如图， ∵△ABC 为等边三角形，

∴CH 平分∠BCA，AO 平分∠BAC，∵△ABC 为等边三角形， ∴∠CAB=60°，CH⊥AB， ∴∠OAH=30°，AH=BH= AB=√3， 2 在 Rt△AOH 中，∵tan∠OAH=∴OH= ×√3=1，

3 √3

1

??

??

=tan30°，

即△ABC 内切圆的半径为 1． 故选：A．

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连接 AO、CO，CO 的延长线交 AB 于 H，如图，利用内心的性质得 CH 平分∠BCA，AO 平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°， AH=BH= AB=3，然后利用正切的定义计算出 OH 即可．

2 1

本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的 内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．

1

9. 将 y= 的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度所得图象如图，则 ?

所得图象的解析式为（

）

A. y= +1 ?+1

1

B. y= -1 ?+1

1

C. y= +1 ??1

1

D. y= -1 ??1

1

【答案】C

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，

； y= 的图象向右平移 1 个单位所得函数图象的关系式是：y= ? ??1 由“上加下减”的原则可知， 函数 y=

1 ??1

1

1

的图象向上平移 1 个单位长度所得函数图象的关系式是：y=

1

??1

+1．

故选：C．

直接根据函数图象的变换规律进行解答即可．

本题考查的是反比例函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关 键．

? + ? > 0

10. 如图，直线 y=x+b 和 y=kx+2 与 x 轴分别交于点 A（-2，0），点 B（3，0），则{

?? + 2 > 0

解集为（ ）

A. x＜-2

【答案】D

B. x＞3 C. x＜-2 或 x＞3 D. -2＜x＜3

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【解析】解：∵直线 y=x+b 和 y=kx+2 与 x 轴分别交于点 A（-2，0），点 B（3，0）， ? + ? > 0

解集为-2＜x＜3， ∴{

?? + 2 > 0

故选：D．

根据两条直线与 x 轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．

本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断， 难度不大．

11. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中正

确的是（ ）

①abc＜0 ②b2-4ac＜0 ③2a＞b

④（a+c）2＜b2

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

【答案】A

【解析】解：由函数图象可知 a＜0，对称轴-1＜x＜0，图象与 y 轴的交点 c＞0，函数与 x 轴有两个不同的交点，

∴b-2a＞0，b＜0； △=b2-4ac＞0； abc＞0；

当 x=1 时，y＜0，即 a+b+c＜0； 当 x=-1 时，y＞0，即 a-b+c＞0；

∴（a+b+c）（a-b+c）＜0，即（a+c）2＜b2； ∴只有④是正确的； 故选：A．

由函数图象可知 a＜0，对称轴-1＜x＜0，图象与 y 轴的交点 c＞0，函数与 x 轴有两个不 同的交点；即可得出 b-2a＞0，b＜0；△=b2-4ac＞0；再由图象可知当 x=1 时，y＜0，即 a+b+c＜0；当 x=-1 时，y＞0，即 a-b+c＞0；即可求解．

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息， 推导出 a，b，c，△，对称轴的关系是解题的关键．

12. 如图，在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为 2 米，圆心角为 120°

? 多次复制并首尾连接而成．现有一点P A A 为坐标原点）出发，以每秒π的?? 从 （ 3 米的速度沿曲线向右运动，则在第 2019 秒时点 P 的纵坐标为（

）

2

A. -2

【答案】B

B. -1 C. 0

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D. 1

? 用时 【解析】解：点运动一个??为

120?×2 2 180

÷ π=2 秒． 3

? 交 如图，作 CD⊥AB 于 D，与??

于点 E．

在 Rt△ACD 中，∵∠ADC=90°，∠ACD= ∠ACB=60°， 2 ∴∠CAD=30°， ∴CD= AC= ×2=1， 2 2

∴DE=CE-CD=2-1=1，

∴第 1 秒时点 P 运动到点 E，纵坐标为 1； 第 2 秒时点 P 运动到点 B，纵坐标为 0； 第 3 秒时点 P 运动到点 F，纵坐标为-1； 第 4 秒时点 P 运动到点 G，纵坐标为 0； 第 5 秒时点 P 运动到点 H，纵坐标为 1； …，

∴点 P 的纵坐标以 1，0，-1，0 四个数为一个周期依次循环， ∵2019÷4=504…3，

∴第 2019 秒时点 P 的纵坐标为是-1． 故选：B．

? 的时间，得到点P 1 0 ，-1 0 四个数为一个 先计算点 P 走一个?? 纵坐标的规律：以 ， ，

周期依次循环，再用 2019÷4=504…3，得出在第 2019 秒时点 P 的纵坐标为是-1．

本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点 P 纵坐标的规律：以 1，0，-1， 0 四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理． 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）

13. 函数? = √? ? 3的自变量 x 的取值范围是______． 【答案】x≥3

【解析】解：根据题意得，x-3≥0， 解得 x≥3．

故答案为：x≥3．

根据被开方数非负列式求解即可．

本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

14. 如图，随机闭合开关 S ，S ，S 1 2 3 中的两个，能让灯泡发光的概率是______．

1

1

1

【答案】2

3

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【解析】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：

∴能让灯泡发光的概率：P= = ，

6

3

4 2

故答案为： ．

3

2

利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概 率．

考查用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能 出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能 性相等．

15. 如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1=28°，则∠2 的度数为______．

【答案】28°

【解析】解：∵AC∥BD， ∴∠1=∠A， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠A， ∴∠2=∠1=28°， 故答案为：28°．

由平行线的性质得出∠1=∠A，再由平行线的性质得出∠2=∠A，即可得出结果．

本题考查了平行线的性质等知识，熟练掌握两直线平行同位角相等是解题的关键． 16. 如图，C、D 两点在以 AB 为直径的圆上，AB=2，∠ACD=30°，

则 AD=______．

【答案】1

【解析】解：∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠B=∠ACD=30°， ∴AD= AB= ×2=1． 2 2 故答案为 1．

利用圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=30°，然后根据含 30 度的直角三角形三边

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1

1

的关系求求 AD 的长．

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条 弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所 对的弦是直径．

17. 已知方程 x2+bx+3=0 的一根为√5+√2，则方程的另一根为______． 【答案】√5-√2

【解析】解：设方程的另一个根为 c， ∵（√5+√2）c=3， ∴c=√5-√2．

故答案为：√5-√2．

设方程的另一个根为 c，再根据根与系数的关系即可得出结论．

本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．

|??0 +??0 ?

，例如：点（0，1） 2√1+?

18. 已知点 P（x ，y ）到直线 y=kx+b 的距离可表示为 d= 0 0 |

到直线 y=2x+6 的距离 d= 间的距离为______．

|2×0+6?1|

=√5．据此进一步可得两条平行线 y=x 和 y=x-4 之 √1+22

【答案】2√2

【解析】解：当 x=0 时，y=x=0，即点（0，0）在直线 y=x 上， 因为点（0，0）到直线 y=x-4 的距离为：d=|0?4?0| = 4 =2√2，

√1+12

√2

因为直线 y=x 和 y=x-4 平行，

所以这两条平行线之间的距离为 2√2． 故答案为 2√2．

利用两平行线间的距离定义，在直线 y=x 上任意取一点，然后计算这个点到直线 y=x-4 的距离即可．

此题考查了两条直线相交或平行问题，弄清题中求点到直线的距离方法是解本题的关 键．考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力． 三、计算题（本大题共 1 小题，共 6.0 分） 19. 先化简，再求值：2 【答案】解： = ??? ÷ = ?? ?

1 ???

??

?2?2??+?

???

?2?2??+?2 1 1

???

(???)2 ???

÷（ - ）．其中 a=√2-1，b=√2+1． ? ?

1 1

÷（ - ）

? ?

???

=ab，

当 a=√2-1，b=√2+1 时，原式=（√2-1）×（√2+1）=1．

【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将 a、b 的值代入化简后 的式子即可解答本题．

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 四、解答题（本大题共 7 小题，共 60.0 分）

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-1

20. 计算：（√2019-1）0-（ ）+|-√3|-2sin60° 2 √3 【答案】解：原式=1-2+√3-2×

1

2

=1-2+√3-√3 =-1．

【解析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的 性质分别化简得出答案．

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

21. 湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从 2018 年秋季入学的高中

一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期 盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策 的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制做了如 统计图表：

关注程度 A．高度关注 B．一般关注 C．没有关注

频数 m 100 20

频率 0.4 0.5 n

（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为______，m=______，n=______． （2）根据以上信息补全图中的条形统计图．

（3）请估计在该小区 1500 名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？

【答案】200 80 0.1

【解析】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为 100÷0.5=200（人）， m=200×0.4=80（人），n=1-0.4-0.5=0.1； 故答案为 200，80，0.4； （2）补全图中的条形统计图

（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4=600（人），

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答：高度关注新高考政策的约有 600 人．

（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为 100÷0.5=200（人），m=200×0.4=80 （人），n=1-0.4-0.5=0.1；

（2）据上信息补全图中的条形统计图； （3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4=600（人）．

本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必 要的信息是解决问题的关键．统计表能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接 反映部分占总体的百分比大小．

22. 如图，某建筑物 CD 高 96 米，它的前面有一座小山，其

斜坡 AB 的坡度为 i=1：1．为了测量山顶 A 的高度，在建 筑物顶端 D 处测得山顶 A 和坡底 B 的俯角分别为 α、β．已 知 tanα=2，tanβ=4，求山顶 A 的高度 AE（C、B、E 在同 一水平面上）．

【答案】解：如图，作 AF⊥CD 于 F．设 AE=x 米． ∵斜坡 AB 的坡度为 i=1：1， ∴BE=AE=x 米．

在 Rt△BDC 中，∵∠C=90°，CD=96 米，∠DBC=∠β， = =24（米）， ∴BC= ???4

∴EC=EB+BC=（x+24）米， ∴AF=EC=（x+24）米．

在 Rt△ADF 中，∵∠AFD=90°，∠DAF=∠α， ∴DF=AF?tanα=2（x+24）米，

∵DF=DC-CF=DC-AE=（96-x）米， ∴2（x+24）=96-x，解得 x=16． 故山顶 A 的高度 AE 为 16 米．

【解析】作 AF⊥CD 于 F．设 AE=x 米．由斜坡 AB 的坡度为 i=1：1，得出 BE=AE=x 米．解 Rt△BDC，求得 BC= =24 米，则 AF=EC=（x+24）米 ．解 Rt△ADF，得出 DF=AF?tanα=2 ???（x+24）米，又 DF=DC-CF=DC-AE=（96-x）米，列出方程 2（x+24）=96-x，求出 x 即 可．

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，要 求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想 与方程思想的应用．

23. 某商场用 14500 元购进甲、乙两种矿泉水共 500 箱，矿泉水的成本价与销售价如表

（二）所示：

? ??

? ??

96

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类别 甲 乙

成本价（元/箱） 25 35

销售价（元/箱） 35 48

求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？

（2）该商场售完这 500 箱矿泉水，可获利多少元？

【答案】解：（1）设购进甲矿泉水 x 箱，购进乙矿泉水 y 箱， ? + ? = 500

， 依题意，得：{

25? + 35? = 14500 ? = 300

． 解得：{

? = 200

答：购进甲矿泉水 300 箱，购进乙矿泉水 200 箱． （2）（35-25）×300+（48-35）×200=5600（元）． 答：该商场售完这 500 箱矿泉水，可获利 5600 元．

【解析】（1）设购进甲矿泉水 x 箱，购进乙矿泉水 y 箱，根据该商场用 14500 元购进 甲、乙两种矿泉水共 500 箱，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结 论；

（2）根据总利润=单箱利润×销售数量，即可求出结论．

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的 关键．

24. 如图，点 D 在以 AB 为直径的⊙O 上 ，AD 平分∠BAC，

DC⊥AC，过点 B 作⊙O 的切线交 AD 的延长线于点 E． （1）求证：直线 CD 是⊙O 的切线． （2）求证：CD?BE=AD?DE．

【答案】证明：（1）连接 OD， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD， ∵OA=OB，

∴∠BAD=∠ADO， ∴∠CAD=∠ADO， ∴AC∥OD， ∵CD⊥AC， ∴CD⊥OD，

∴直线 CD 是⊙O 的切线； （2）连接 BD，

∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴∠ABE=∠BDE=90°， ∵CD⊥AC，

∴∠C=∠BDE=90°，

∵∠CAD=∠BAE=∠DBE， ∴△ACD∽△BDE，

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∴ = ， ?? ??

∴CD?BE=AD?DE．

【解析】（1）连接 OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质 得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到 CD⊥OD，于是得到结 论；

（2）连接 BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得 到结论．

本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性 质，正确的作出辅助线是解题的关键．

25. 如图，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA（不包括端点）

上运动，且满足 AE=CG，AH=CF．

（1）求证：△AEH≌△CGF；

（2）试判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由．

（3）请探究四边形 EFGH 的周长一半与矩形 ABCD 一条对角线长的大小关系，并 说明理由．

?? ??

【答案】证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A=∠C．

?? = ??

∴在△AEH 与△CGF 中，{∠? = ∠?，

?? = ?? ∴△AEH≌△CGF（SAS）；

（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，则 EH=GF，同理证得△EBF≌△GDH，则 EF=GH， ∴四边形 EFGH 是平行四边形；

（3）四边形 EFGH 的周长一半等于矩形 ABCD 一条对角线长度．理由如下： 如图，连接 AC，BD．

∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC=BD．

由（1）知，四边形 EFGH 是平行四边形，则 EH ∴EH 是△ABD 的中位线， ∴EH= BD． 2

同理，FG= BD，EF=HG= AC． 2 2

∴ （EH+HG+GF+EF）= （AC+BD）=AC． 2 2

∴四边形 EFGH 的周长一半等于矩形 ABCD 一条对角线长度． 【解析】（1）根据全等三角形的判定定理 SAS 证得结论； （2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH=GF，同理可得 FE=HG，即可得四边形 EFGH

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1

1

1

1

1

是平行四边形；

（3）由相似三角形的对应边成比例得到：四边形 EFGH 的周长一半等于矩形 ABCD 一 条对角线长度．

考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质．灵活运用这些性质进行推理证明是本题 的关键．

26. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（-1，0），点 B（3，0），与 y 轴交于点

C，且过点 D（2，-3）．点 P、Q 是抛物线 y=ax2+bx+c 上的动点． （1）求抛物线的解析式；

（2）当点 P 在直线 OD 下方时，求△POD 面积的最大值．

（3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当△OBE 与△ABC 相似时，求点 Q 的坐标．

【答案】解：（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将 点 D 坐标代入上式并解得： a=1，

故抛物线的表达式为：y=x2-2x-3…①；

（2）设直线 PD 与 y 轴交于点 G，设点 P（m，m2-2m-3），

将点 P、D 的坐标代入一次函数表达式：y=sx+t 并解得： 直线 PD 的表达式为：y=mx-3-2m，则 OG=3+2m， S△POD= ×OG（x -x ）= （3+2m）（2-m）=-m2+ m+3， D P

2

2

2

1

1

1

∵-1＜0，故 S△POD 有最大值，当 m= 4时，其最大值为 16； （3）∵OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，

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∵∠ABC=∠OBE，故△OBE 与△ABC 相似时，分为两种情况： ①当∠ACB=∠BOQ 时， AB=4，BC=3√2，AC=√10， 过点 A 作 AH⊥BC 与点 H，

S△ABC= ×AH×BC= AB×OC，解得：AH=2√2， 2 2 则 sin∠ACB=??= ，则 tan∠ACB=2， √5 则直线 OQ 的表达式为：y=-2x…②， 联立①②并解得：x=±√3（舍去负值）， 故点 Q（√3，-2√3） ②∠BAC=∠BOQ 时， tan∠BAC=

??

1 1

?? 2

?? 1

= 3 =3=tan∠BOQ，

则直线 OQ 的表达式为：y=-3x…③，

?1+√13

， 联立①③并解得：x=

2

1?√13

， ）； 故点 Q（?1+√13

2

2

?1+√13

2

1?√13

， ）．

2

综上，点 Q（√3，-2√3）或（

【解析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将 点 D 坐标代入上式，即可求解； （2）S△POD= ×OG（x -x ）= （3+2m）（2-m）=-m2+ m+3，即可求解； D P

2

2

2

1

1

1

（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线

OQ 倾斜角，进而求解．

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等， 其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．

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