2019天津数学（理）

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

第Ⅰ卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：

·如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B). ·如果事件A、B相互独立，那么P(AB)?P(A)P(B).

·圆柱的体积公式V?Sh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高.

1·棱锥的体积公式V?Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.

3一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A???1,1,2,3,5?，B??2,3,4? ，C?{x?R|1?x?3} ，则(AA. {2} C. {-1，2，3} 【答案】D 【解析】 【分析】

先求A?B，再求(A【详解】因为A所以(A故选D。

【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．

B. {2，3} D. {1，2，3，4}

C)B?

C)B。

C?{1,2}，

C)B?{1,2,3,4}.

?x?y?2?0,?x?y?2?0,?2.设变量x,y满足约束条件?，则目标函数z??4x?y的最大值为

?x…?1,??y…?1,A. 2 【答案】D 【解析】 【分析】

画出可行域，用截距模型求最值。

【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。 目标函数的几何意义是直线y?4x?z在y轴上的截距， 故目标函数在点A处取得最大值。 由?B. 3

C. 5

D. 6

?x?y?2?0,，得A(?1,1)，

x??1?所以zmax??4?(?1)?1?5。 故选C。

【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、 还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．

3.设x?R，则“x2?5x?0”是“|x?1|?1”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】

分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 0?x?5推不出x?1?1； 由x?1?1能推出0?x?5，

故“x2?5x?0”是“|x?1|?1”的必要不充分条件， 故选B。

【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件。

4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为

A. 5 【答案】B 【解析】 【分析】

B. 8 C. 24 D. 29

根据程序框图，逐步写出运算结果。

1【详解】S?1,i?2?j?1,S?1?2?2?5,i?3S?8,i?4，

结束循环，故输出8。 故选B。

【点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．

x2y25.已知抛物线y?4x的焦点为F，准线为l.若与双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两条

ab2渐近线分别交于点A和点B，且|AB|?4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为 A.

2

B.

3

C. 2 D.

5 【答案】D 【解析】 【分析】

只需把AB?4OF用a,b,c表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。 【详解】抛物线y?4x的准线l的方程为x??1， 双曲线的渐近线方程为y??则有A(?1,),B(?1,?)

2bx， abbaa2b2b?4，b?2a， ∴AB?，

aa22ca?b∴e???5。 aa故选D。

【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度。

6.已知a?log52，b?log0.50.2，c?0.50.2，则a,b,c的大小关系为（ ） A. a?c?b C. b?c?a 【答案】A

B. a?b?c D. c?a?b

【解析】 【分析】

利用0,,1等中间值区分各个数值的大小。 【详解】a?log52?log55?12

1， 2b?log0.50.2?log0.50.25?2， 0.51?0.50.2?0.50，故

所以a?c?b。 故选A。

【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较。

7.已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|??)是奇函数，将y?f?x?的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为g?x?.若g?x?的最

1?c?1， 2????3?g?2f小正周期为2π，且??，则??4??8A. ?2 【答案】C 【解析】 【分析】

B. ?2

???（ ） ?C.

2 D. 2

只需根据函数性质逐步得出A,?,?值即可。

【详解】因为f(x)为奇函数，∴f(0)?Asin??0，?=k?,?k?0,??0；

12?g(x)?Asin?x,?T??2?, 1又2?2???2，A?2，又g()?2 4∴f(x)?2sin2x，f(故选C。

【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数g?x?。

3?)?2. 8

?x2?2ax?2a,x?1,0在R上恒8.已知a?R，设函数f(x)??若关于x的不等式f(x)…x?1,?x?alnx,成立，则a的取值范围为（ ） A. ?0,1? 【答案】C 【解析】 【分析】

先判断a?0时，x2?2ax?2a?0在(??,1]上恒成立；若x?alnx?0在(1,??)上恒成立，转化为a?B. ?0,2?

C. ?0,e?

D. ?1,e?

x在(1,??)上恒成立。 lnx【详解】∵f(0)?0，即a?0，

2222 （1）当0?a?1时，f(x)?x?2ax?2a?(x?a)?2a?a?2a?a?a(2?a)?0，

当a?1时，f(1)?1?0，

故当a?0时，x2?2ax?2a?0在(??,1]上恒成立； 若x?alnx?0(1,??)上恒成立，即a?x在(1,??)上恒成立， lnxlnx?1xg'(x)?令g(x)?，则，

(lnx)2lnx当x?e,函数单增，当0?x?e,函数单减，

故g(x)max?g(e)?e，所以a?e。当a?0时，x2?2ax?2a?0在(??,1]上恒成立； 综上可知，a的取值范围是[0,e]， 故选C。

【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析。

第Ⅱ卷

二.填空题：本大题共6小题.

9.i是虚数单位，则

5?i的值为__________. 1?i【答案】13 【解析】 【分析】

先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。 【详解】

5?i(5?i)(1?i)??2?3i?13。 1?i(1?i)(1?i)【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.

1??10.?2x?3?是展开式中的常数项为________. 8x??【答案】28 【解析】 【分析】

根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r的值，再求出其常数项。 【详解】Tr?1?C8(2x)r8?r8(?1r)?(?1)r28?4rC8rx8?4r， 38x由8?4r?0，得r=2，

22所以的常数项为(?1)C8?28.

【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的。

11.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 【答案】

?. 4【解析】 【分析】

根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。

【详解】由题意四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5，借助勾股定理，可知四棱锥的高为5?1?2，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，故圆柱的高为1，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，圆柱的底面半径为

1，故圆柱的体积为2??1??????1?。

4?2?【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。

12.设a?R，直线ax?y?2?0和圆?2?x?2?2cos?,（?为参数）相切，则a的值为____.

?y?1?2sin?【答案】【解析】 【分析】

3 4根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a满足的方程，解之解得。 【详解】圆??x?2?2cos?,22化为普通方程为(x?2)?(y?1)?2，

?y?1?2sin?圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，

由直线与圆相切，则有2a?1a2?1?2，解得a?3。 4【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。

13.设x?0,(x?1)(2y?1)y?0,x?2y?5，则的最小值为______.

xy【答案】43 【解析】 分析】

把分子展开化为2xy?6，再利用基本不等式求最值。

【详解】

(x?1)(2y?1)2xy?x?2y?1?,

xyxyy?0,x?2y?5,xy?0,?

x?0,2xy?62?23xy??43， xyxy当且仅当xy?3，即x?3,y?1时成立， 故所求的最小值为43。

【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。

14. 在四边形ABCD中，AD∥BC，AB?23 ，AD?5 ，?A?30? ，点E在线段CB的延长线上，且AE?BE，则BD?AE?__________. 【答案】?1. 【解析】 【分析】

建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解。 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则B(23,0)，D(因为AD∥BC，?BAD?30?，所以?CBE?30?， 因为AE?BE，所以?BAE?30?， 所以直线BE的斜率为535,)。 2233，其方程为y?(x?23)， 33直线AE的斜率为?33，其方程为y??x。 33?3(x?23),?y??3由?得x?3，y??1， ?y??3x?3?所以E(3,?1)。

所以BDAE?(35,)(3,?1)??1 22

。【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。

三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

C所对的边分别为a,b,c.已知b?c?2a，15. 在VABC中，内角A，B，3csinB?4asinC.

（Ⅰ）求cosB值；

（Ⅱ）求sin?2B?【答案】(Ⅰ) ???1； 4(Ⅱ) ?35?7. 16【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到a,b,c的比例关系，然后利用余弦定理可得cosB的值 (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin2B,cos2B的值，然后利用两角和的正弦公式可得a?2的值.

【详解】(Ⅰ)在VABC中，由正弦定理

又由3csinB?4asinC，得3bsinC?4asinC，即3b?4a.

的???的值. 6?bc?得bsinC?csinB， sinBsinC

42a，c?a. 33421622a?a?a1a2?c2?b299???. 由余弦定理可得cosB?242ac2?a?a3又因为b?c?2a，得到b?(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sinB?1?cos2B?15， 4从而sin2B?2sinBcosB??71522，cos2B?cosB?sinB??.

88故sin?2B???????1537135?7. ?sin2Bcos?cos2Bsin????????6?66828216【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.

16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；

(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.

【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为

2.假定甲、乙两位同学到320 2432， 3k3?k?2?k?2??1?故X~B?3,?，从面P?X?k??C3?????k?0,1,2,3?.

?3??3??3?所以，随机变量X的分布列为：

X P

0 1 2 92 3 1 274 98 27随机变量X的数学期望E(X)?3?2?2. 3?2?Y~B(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y，则?3,?.

?3?且M?{X?3,Y?1}{X?2,Y?0}.

由题意知事件?X?3,Y?1?与?X?2,Y?0?互斥，

且事件?X?3?与?Y?1?，事件?X?2?与?Y?0?均相互独立， 从而由(Ⅰ)知：

P(M)?P??X?3,Y?1??X?2,Y?0??

?P?X?3,Y?1??P?X?2,Y?0?

?P(X?3)P(Y?1)?P(X?2)P(Y?0)

?824120????. 279927243【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

17.如图，AE?平面ABCD，CF∥AE,AD∥BC，

AD?AB,AB?AD?1,AE?BC?2.

（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；

（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

1，求线段CF的长. 348【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）

97（Ⅲ）若二面角E?BD?F的余弦值为【解析】 【分析】

首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系

(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；

(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； (Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.

【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以AB,AD,AE的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，

可得A?0,0,0?,B?1,0,0?,C?1,2,0?,D?0,1,0?,E?0,0,2?.

设CF?h?h?0?，则F?1,2,h?.

(Ⅰ)依题意，AB??1,0,0?是平面ADE的法向量， 又BF??0,2,h?，可得BF?AB?0，

又因为直线BF?平面ADE，所以BF∥平面ADE. (Ⅱ)依题意，BD?(?1,1,0),BE?(?1,0,2),CE?(?1,?2,2)，

设n??x,y,z?为平面BDE的法向量，

?n?BD?0??x?y?0则?，即?，

?x?2z?0n?BE?0??不妨令z=1，可得n??2,2,1?， 因此有cos?CE,n??CE?n4??.

9|CE||n|4. 9，即?所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为(Ⅲ)设m??x,y,z?为平面BDF的法向量，则??m?BD?0?m?BF?0??x?y?0.

?2y?hz?0不妨令y=1，可得m??1,1,???2??. h?由题意，有cosm,n?m?nm?n?18?，解得h?. 37432?2h4?2h经检验，符合题意? 所以，线段CF的长为

8. 7【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.

x2y218.设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心

ab率为5. 5（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|ON|?|OF|（O为原点），且OP?MN，求直线PB的斜率. x2y2230230. ?1（Ⅱ）【答案】（Ⅰ）?或?5455【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；

(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.

(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为c，【详解】依题意，2b?4,b=2，c=1.

x2y2?1. 所以，椭圆方程为?54c5，又a2?可得a?5，?b2c?2，

a5(Ⅱ)由题意，设P?xP,yP??xP?0?,M?xM,0?.设直线PB的斜率为k?k?0?，

?y?kx?2?又B?0,2?，则直线PB的方程为y?kx?2，与椭圆方程联立?x2y2，

?1??54?整理得4?5k?2?x2?20kx?0，可得xP??20k，

4?5k28?10k2代入y?kx?2得yP?， 24?5kyP4?5k2?进而直线OP的斜率， xP?10k在y?kx?2中，令y?0，得xM??2. kk. 2由题意得N?0,?1?，所以直线MN的斜率为?

4?5k2?k???????1， 由OP?MN，得

?10k?2?化简得k?224230. ，从而k??55230230. 或?55所以，直线PB的斜率为

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质?直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.

b2?2a2?2,b3?2a3?4. 19.设?an?是等差数列，?bn?是等比数列.已知a1?4,b1?6，（Ⅰ）求?an?和?bn?的通项公式；

?1,2k?n?2k?1,（Ⅱ）设数列?cn?满足c1?1,cn??其中k?N*. k?bk,n?2,（i）求数列a2nc2n?1的通项公式； （ii）求

????*?aicii?12n?n?N?.

??nn【答案】（Ⅰ）an?3n?1；bn?3?2（Ⅱ）（i）a2nc2n?1?9?4?1（ii）

?ac?n?N??27?2*iii?12n2n?1?5?2n?1?n?12?n?N?

*【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；

(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列a2nc2n?1的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得

?????ac的值.

iii?12n【详解】(Ⅰ)设等差数列?an?的公差为d，等比数列?bn?的公比为q.

??d?3?6q?2?4?d??2?6?2d依题意得?2，解得?，

6q?24?2d?4?12?4dq?2?????n?1n故an?4?(n?1)?3?3n?1，bn?6?2?3?2.

n所以，?an?的通项公式为an?3n?1，?bn?的通项公式为bn?3?2.

(Ⅱ)(i)a2nc2n?1?a2n?bn?1??3?2?13?2?1?9?4?1.

nnn??????所以，数列a2nc2n?1的通项公式为a2nc2n?1?9?4?1. (ii)

??2ni?1????n?ac????a?a?c?1?????a??a?ciiiiiii?1i?1i?12i2n2n2n2i?1?

nn?22?1??n?n??2?4??3????9?4i?1? ??i?12????3?22n?1?5?2n?1??9?4?1?4n?1?4?n

*?27?22n?1?5?2n?1?n?12?n?N?.

【点睛】本题主要考查等差数列?等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.

20.设函数f(x)?excosx,g(x)为f?x?的导函数.

（Ⅰ）求f?x?的单调区间； （Ⅱ）当x?????????,?时，证明f(x)?g(x)??x?…0； 422??????（Ⅲ）设xn为函数u(x)?f(x)?1在区间?2m??4,2m?????内的零点，其中n?N，证2?e?2n?. 明2n???xn?2sinx0?cosx0?【答案】（Ⅰ）单调递增区间为?2k????3???,2k???(k?Z),f(x)的单调递减区间为44??5???2k??,2k??(k?Z).（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明 ??44??【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数f?x?的单调区间； (Ⅱ)构造函数h?x??f?x??g?x??????x?，结合(Ⅰ)结果和导函数的符号求解函数?2?h?x?的最小值即可证得题中的结论；

(Ⅲ)令yn?xn?2n?，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.

【详解】(Ⅰ)由已知，有f'?x??e当x??2k??减;

当x??2k??增.

x?cosx?sinx?.

???4,2k??5????k?Z?时，有sinx?cosx，得f'?x??0，则f?x?单调递4???3???,2k????k?Z?时，有sinx?cosx，得f'?x??0，则f?x?单调递44?3????2k??,2k??fx所以，??的单调递增区间为???k?Z?，

44??的?5???f?x?的单调递减区间为?2k??,2k????k?Z?.

44????xhx?fx?gx(Ⅱ)记????????x??.依题意及(Ⅰ)有：g?x??e?cosx?sinx?，

?2?从而g'(x)??2esinx.当x??x????,?时，g'?x??0，故 42????????h'(x)?f'(x)?g'(x)??x??g(x)(?1)?g?(x)??x??0.

?2??2????????h(x)…h,hx因此，??在区间?上单调递减，进而?????2??42?所以，当x?????f???0. ?2????????,?时，f(x)?g(x)??x?…0. 422????x(Ⅲ)依题意，u?xn??f?xn??1?0，即encosxn?1. 记yn?xn?2n?，则yn??且f?yn??encosyn?ey????,?. ?42?xn?2n?cos?xn?2n???e?2n??n?N?.

由f?yn??e?2n?y0. ?1?f?y0?及(Ⅰ)得yn…????????,?时，g'?x??0，所以g?x?在?,?上为减函数，

?42??42??????0. 4??????yn?…0，故： ?2?由(Ⅱ)知，当x??因此g?yn??g?y0??g?又由(Ⅱ)知f?yn??g?yn???f?yn?e?2n?e?2n?e?2n?e?2n??yn???????. 2g?yn?g?yn?g?y0?ey0?siny0?cosy0?sinx0?cosx0e?2n?. 所以2n???xn?2sinx0?cosx0?【点睛】本题主要考查导数的运算?不等式证明?运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力?综合分析问题和解决问题的能力.

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