人船模型必修精品

人船模型之一

“人船模型”，不仅是动量守恒问题中典型的物理模型，也是最重要的力学综合模型之一．对“人

船模型”及其典型变形的研究，将直接影响着力学过程的发生，发展和变化，在将直接影响着力学过程的分析思路，通过类比和等效方法，可以使许多动量守恒问题的分析思路和解答步骤变得极为简捷。

1、“人船模型” 质量为M的船停在静止的水面上，船长为L，一质量为m的人，由船头走到船尾，若不计水的阻力，则整个过程人和船相对于水面移动的距离？

m 分析：“人船模型”是由人和船两个物体构成的系统；该系统在人和船相互作用下各自运动，运动过程中该系统所 受到的合外力为零；即人和船组成的系统在运动过程中总

y L M x L M 动量守恒。

解答：设人在运动过程中，人和船相对于水面的速度分别为?和u，则由动量守恒定律得：

mv=Mu

由于人在走动过程中任意时刻人和船的速度?和u均满足上述关系，所以运动过程中，人和船平均速度大小? 和 u也应满足相似的关系，即m?=Mu

而??xy，u?，所以上式可以转化为：mx=My ttMmL y?L

m?Mm?M又有，x+y=L,得： x?以上就是典型的“人船模型”，说明人和船相对于水面的位移只与人和船的质量有关，与运动情况无关。该模型适用的条件：一个原来处于静止状态的系统，且在系统发生相对运动的过程中，至少有一个方向(如水平方向或者竖直方向)动量守恒。

2、“人船模型”的变形

变形1：质量为M的气球下挂着长为L的绳梯，一质量为m的人站在绳梯的下端，人和气球静止在空中，现人从绳梯的下端往上爬到顶端时，人和气球相对于地面移动的距离？

分析：由于开始人和气球组成的系统静止在空中， 竖直方向系统所受外力之和为零，即系统竖直方 向系统总动量守恒。得： mx=My

x+y=L 这与“人船模型”的结果一样。

变形2：如图所示，质量为M的

1圆弧轨道静止于光滑水平面上，轨道半径为R，今把质量为m的小球4自轨道左测最高处静止释放，小球滑至最低点时，求小球和轨道相对于地面各自滑行的距离？ 分析：设小球和轨道相对于地面各自滑行的距离为x和y，将小球和轨道看成系统，

m 该系统在水平方向总动量守恒，由动量守恒定律得：

M y x mx=My

x+y=L

这又是一个“人船模型”。

3、“人船模型”的应用

m1

L

m2

①“等效思想”

M 如图所示，长为L质量为M的小船停在静水中，船头船尾分别站立质量为m1、m2（m1>m2）的两个人，那么，当两个人互换位置后，船在水平方向移动了多少？

分析：将两人和船看成系统，系统水平方向总动量守恒。 本题可以理解为是人先后移动，但本题又可等效成质量

y

?m M'M' ?m x

为?m(?m?m1?m2)的人在质量为M'?M?2m2的船上走，这样就又变成标准的“人船模型”。

解答：人和船在水平方向移动的距离为x和y，由动量守恒定律可得：

?mx?M'y

x?y?L这样就可将原本很复杂的问题变得简化。

②“人船模型”和机械能守恒的结合

如图所示，质量为M的物体静止于光滑水平面上，其上有一个半径为R的光滑半圆形轨道，现把质量为m的小球自轨道左测最高点静止释放，试计算：

1．摆球运动到最低点时，小球与轨道的速度是多少? 2．轨道的振幅是多大?

m M 分析：设小球球到达最低点时，小球与轨道的速度分别为v1和v2，

根据系统在水平方向动量守恒，得：mv1?Mv2

又由系统机械能守恒得：mgR?2MgRm1212mv1?Mv2解得：v1?，v2?22m?MM2MgR

m?M当小球滑到右侧最高点时，轨道左移的距离最大，即振幅A。 由“人船模型”得：

mx?My

x?y?2R

解得：x?Mm2R，y?2R

m?Mm?Mm2R

m?M即振幅A为：A?

例1．质量是M，长为L的船停在静止水中，若质量为m的人，由船头走向船尾时，人行走的位移和船的位移是多少？

解：不考虑水的粘滞阻力，人和船组成的系统在水平方向不受外力，系统在水平方向动量守恒，则

M?船?m?人 ①

人进船退，人停船停，人由船头走向船尾的这个过程中，始终满足①式，则全过程有

S船S人??船?船m ② ???人?人MS船 S人 又 S船?S人?L ③ 由②③得， S船?mL

M?m例2．一长为L，质量为M的船上两端分别站有甲、乙两人，质量分别为m甲和m乙．当两人交换位置后，船移动距离多大？其中m甲>m乙．

解：（方法一）先作出如右草图，解法同上面例1， m甲?甲?m乙?乙?M? ① m甲S甲?m乙S乙?MS ②

S S甲 S?L?S乙 ③

S?S甲?L ④

m甲?m乙由②③④得， S?L

M?m甲?m乙S乙 （方法二）等效法：把（m甲?m乙）等效为一个人，把（M?2m乙）看成船，用例1 结论，即得

到S?m甲?m乙M?m甲?m乙L

说明：无论甲、乙谁先走还是同时走，无论在运动过程中谁的速度大谁的速度小，也无论谁先到达船的

另一头，最终的结果，船移动的方向和距离都是唯一确定的。

例3．小车静置在光滑水平面上，站在车上的人练习打靶，靶装在车上的另一端。已知车、人、枪和靶的总质量为M（不含子弹），每颗子弹质量为m，共n发。打靶时，每发子弹打入靶中，就留在靶里，且待前一发打入靶中后，再打下一发。若枪口到靶的距离为d，待打完n发子弹后，小车移动的距离为_______。

解：等效为人船模型，总质量为nm的子弹，运动到小车的另一端，则小车移动的距离可直接由例1结论得到， S车?

例4．如图所示,一辆小车静止在光滑水平面上在C、D两端置有油灰阻挡层,整辆小车质量1㎏,在车的水平底板上放有光滑小球A和B,质量分别为mA=1㎏,mB=3㎏,A、B小球间置一被压缩的弹簧,其弹性势能为6J,现突然松开弹簧,A、B小球脱离弹簧时距C、D端均为0.6m.然后两球分别与油灰阻挡层碰撞,并被油灰粘住,问：

(1)A、B小球脱离弹簧时的速度大小各是多少? (2)整个过程小车的位移是多少?

解：（1）以向左为正方向

mA?A?mB?B?0 ①

nmd

M?nm1122mA?A?mB?B?Ep ② 22由①②得，?A?3m/s ?B??1m/s

（2）（方法一）A以?A?3m/s向左运动，经0.2s和C碰撞时，B只前进了0.2m ，离D还有0.4m ，

A和C碰撞，水平方向动量守恒

mA?A?(mA?m)?AC 解得，?AC?1.5m/s

碰后瞬间，A和C就以共同速度?AC?1.5m/s向左运动，B继续以?B?1m/s的速度向右运动。B再经t?0.4m?0.16s与D相碰。则整个过程小车的位移是

1.5?1m/sS??AC?t?0.24m

（方法二）等效为“人船模型”的例2，注意这里的“船长”为 “L=0.6m”.则，

S?

mB?mA3?1L??0.6m?0.24m

m车?mA?mB1?1?3

图2中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B相同滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行，当A滑过距离l1时，与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A恰好返回出发点P并停止，滑块A和B与导轨的滑动摩擦因数都为?，运动过程中弹簧最大形变量为l2，重力加速度为g，求A从P出发时的初速度v0。

图2

解析：令A、B质量皆为m，A刚接触B时速度为v1（碰前） 由功能关系，有

1212mv0?mv1??mgl1 22A、B碰撞过程中动量守恒，令碰后A、B共同运动的速度为v2 有mv1?2mv2

碰后A、B先一起向左运动，接着A、B一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A、B的共同速度为v3，在这一过程中，弹簧势能始末状态都为零，利用功能关系，有

1122(2m)v2?(2m)v3??(2m)g(2l2) 22此后A、B开始分离，A单独向右滑到P点停下，由功能关系有由以上各式，解得v0?12mv3??mgl1 2?g(10l1?16l2)

用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以v?6m/s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物体C静止在前方，如图3所示，B与C碰撞后二者粘在一起运动。求：在以后的运动中，

图3

（1）当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度多大？ （2）弹性势能的最大值是多大？ （3）A的速度有可能向左吗？为什么？

解析：（1）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，有(mA?mB)v?(mA?mB?mC)vA 解得：vA?3m/s

（2）B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v'，则

mBv?(mB?mC)v'，v'?2m/s

设物块A速度为vA时弹簧的弹性势能最大为EP，根据能量守恒

EP?1112(mB?mC)v'2?mAv2?(mA?mB?mC)vA?12J 222（3）由系统动量守恒得

mAv?mBv?mAvA?(mB?mC)vB

设A的速度方向向左，vA?0，则vB?4m/s 则作用后A、B、C动能之和

Ek?1122mAvA?(mB?mC)vB?48J 22实际上系统的机械能

12E'?EP?(mA?mB?mC)vA?48J

2根据能量守恒定律，Ek?E'是不可能的。故A不可能向左运动。

作业评价

如图4所示，在光滑水平长直轨道上，A、B两小球之间有一处于原长的轻质弹簧，

m弹簧右端与B球连接，左端与A球接触但不粘连，已知mA?，mB?2m，开始时A、B

21均静止。在A球的左边有一质量为m的小球C以初速度v0向右运动，与A球碰撞后粘连

2在一起，成为一个复合球D，碰撞时间极短，接着逐渐压缩弹簧并使B球运动，经过一段时间后，D球与弹簧分离（弹簧始终处于弹性限度内）。

图4

（1）上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多少？ （2）当弹簧恢复原长时B球速度是多大？

（3）若开始时在B球右侧某位置固定一块挡板（图中未画出），在D球与弹簧分离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设B球与挡板碰撞时间极短，碰后B球速度大小不变，但方向相反，试求出此后弹簧的弹性势能最大值的范围。

人船问题

说明：若系统在全过程中动量守恒（包括单方向），则这一系统在全过程中的平均动量也必定守恒。

推导：若两物体组成的系统相互作用前静止，则有：

0 = m1?v1 + m2?v2 即：m1?|S1|= m2?|S2|

例1. 静止在水面上的船长为L，质量为M，一个质量为m的人站在船头，当此人由船头走到船尾时，船移动了多大距离？

分析：将人和车作为系统，动量守恒，设车向右移动的距离为s

船=s，则人向左移动的距离为

s人

=L－s，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得M·s－m（L－s）＝0，从而可解得s. 注意在用位移表示动量守恒时，各位移都是相对地面的，并在选定正方向后位移有正、负之分。

?s?mL

M?m

说明：

（1）此结论与人在船上行走的速度大小无关。不论是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只要人最终到达船的左端，那么结论都是相同的。

（2）做这类题目，首先要画好示意图，要特别注意两个物体相对于地面的移动方向和两个物体位移大小之间的关系。

（3）以上所列举的人、船模型的前提是系统初动量为零。如果发生相互作用前系统就具有一定的

动量，那就不能再用m1v1=m2v2这种形式列方程，而要利用（m1+m2）v0= m1v1+ m2v2列式。

例2. 在光滑水平面上静止着一辆长为L的小车，其一端固定着靶牌，另一端有一人手拿手枪站在车上，车、靶、人（不含子弹）总质量为M，如图。人开枪，待子弹射中靶牌后再开枪，每发子弹均留在靶中，这样将枪中N发质量为m的子弹全部射出。求：在射击过程中车的位移多大？

要点：由守恒，知道每一次子弹打入靶中时刻，车的速度都是零。

分析：

解法1：与N发齐发等同，即： N?m?v1 + M?v2 = 0

而 t=L/（|v1|+|v2|） 且 |S1|=|v1|?t，|S2|=|v2|?t |S1|+|S2|=L 联立解得：S1?NmL

M?Nm解法2：设第一颗子弹射出后船的后退速度为v1'，每发效果相同，即：

m?v1 = [M+（N－1）m]?v1'

在时间t内船的后退距离 s1= v1't 子弹前进的距离d= v1 t 如图L= d+s1，即L= v1 t + v1't

子弹全部射出后船的后退距离S1=N?s1 联立解得：S1?NmL

M?Nm

小结：对本题物理过程分析的关键，是要弄清子弹射向靶的过程中，子弹与船运动的关系，而这一

关系如果能用几何图形加以描述，则很容易找出子弹与船间的相对运动关系。可见利用运动的过程草图，帮助我们分析类似较为复杂的运动关系问题，是大有益处的。

解题方法指导

例题3、质量为M的平板车在光滑的水平面上。车平台高是h=1.25米，车以V0=4m/s的速度向右运动。某时刻质量为m=M/2的木块轻放在车的右端，m落地时距平板车左端S=0.5米。求：

（1）木块离开平板车时平板车和木块的速度；

（2）若平板车长L=2米，则平板车与木块间的动摩擦因数μ是多少？

解析：

（1）M、m在相对运动的过程中，系统不受外力，所以系统动量守恒。木块离开平板车后做平抛运动，木块落地时距平板车左端的距离就是木块的水平位移与平板车的位移的和。

由系统动量守恒： MV0=MV1－mV2

由运动学知识知： h=1/2 gt2 S= V1t+ V2t

解以上三式得： V1=3m/s V2=－2m/s （负2说明木块速度是向前的） （2）由能量守恒知：μmgL=解以上式子得：μ=0.25 小结：

（1）解此类问题，关键是要看清系统动量是否守恒，特别注意地面是否光滑。从而判断能否用动量守恒列方程。如不守恒往往要用动量定理和动能定理。

（2）要注意两物体间运动时间的关系、位移关系、能量关系及其与对应功的关系。 （3）滑动摩擦力和相对位移的乘积等于摩擦生的热。这是常用的一个关系。

111MV 02－MV12－mV 22 222课后作业

1、如图所示，一车厢长度为L、质量为M，静止于光滑的水平面上，车厢内有一质量

为m的物体以初速度v0向右运动，与车厢来回碰撞n次后静止于车厢中，这时车厢的速度为

A. v0，水平向右 B. 零

mv0mv0C. D. M?mM?m2、一门旧式大炮，炮身的质量为M，射出炮弹的质量为m，对地的速度为v，方向与水平方向成α角，若不计炮身与水平地面的摩擦，则炮身后退速度的大小为

A. mv/M B. mvcos?/M C. mvcos?/(M?m) D. mvcos?/(M?m)

3、质量相等的三个小球a、b、c在光滑的水平面上以相同的速率运动，它们分别与原来静止的三个球A、B、C相碰（a与A碰，b与B碰，c与C碰）。碰后，a球继续沿原来的方向运动，b球静止不动，c球被弹回而向反方向运动。这时，A、B、C三球中动量最大的是

A. A球 B. B球 C. C球 D. 由于A、B、C三球的质量未知，无法判定

4、一平板小车静止在光滑水平面上，车的右端安有一竖直的板壁，车的左端站有一持枪的人，此人水平持枪向板壁连续射击，子弹全部嵌在板壁内未穿出，过一段时间后停止射击。则

A. 停止射击后小车的速度为零

B. 射击过程中小车未移动

C. 停止射击后，小车在射击之前位置的左方 D. 停止射击后，小车在射击之前位置的右方

5、质量相等的A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、向同一方向运动，A球的动量为7 kg·m/s，B球的动量为 5 kg·m/s，当A球追上B球发生碰撞后，A、B两球的动量可能为

A. pA=6 kg·m/s pB=6 kg·m/s B. pA=3 kg·m/s pB=9 kg·m/s C. pA=－2 kg·m/s pB=14 kg·m/s D. pA=－4 kg·m/s pB=16 kg·m/s

6、如图所示，质量为M的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一质量为m的小球以速度v0向滑块滚来，设小球不能越过滑块，小球滑到最高点时的速度大小为_______，此时滑块速度大小为_______。

7、甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车的总质量共为M=30kg，乙和他的冰车的总质量也是30kg，甲推着一个质量为m=15kg的箱子，和他一起以大小为v0=2m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相碰，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度（相对于冰面）将箱子推出，才能避免与乙相撞。

8、小车静置在光滑水平面上，站在车上的人练习打靶，人站在车的一端，靶固定在车的另一端，如图，已知车、人、靶和枪的总质量为M （不包括子弹），每颗子弹质量为m，共n发，打靶时每颗子弹击中靶后，就留在靶内，且待前一发击中靶后，再打下一发，打完n发后，小车移动的距离为多少？

9、质量为M的木块放在水平地面上，处于静止状态，木块与地面间动摩擦因数为μ，一颗质量为m的子弹水平射入木块后，木块沿水平地面滑行了距离s后停止，试求子弹射入木块前速度v0。

10、如图，质量为M的平板车的长度为L，左端放一质量为m的小物块，今使小物块与小车一起以共同速度v0沿光滑水平面向右运动，小车将与竖直墙发生弹性碰撞，而小物块最终又恰与小车相对静止于小车的最右端，求小物块与小车上表面间的动摩擦因数。

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