数学动点问题及练习题附参考答案

初中数学动点问题及练习题附参考答案

专题一：建立动点问题的函数解析式

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式。 二、应用比例式建立函数解析式。

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。

专题二：动态几何型压轴题

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、以动态几何为主线的压轴题。

（一）点动问题。 （二）线动问题。 （三）面动问题。 二、解决动态几何问题的常见方法有:

1、特殊探路，一般推证。2、动手实践，操作确认。3、建立联系，计算说明。 三、专题二总结，本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数．

2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。

专题三：双动点问题

点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏. 1 以双动点为载体，探求函数图象问题。 2 以双动点为载体，探求结论开放性问题。 3 以双动点为载体，探求存在性问题。 4 以双动点为载体，探求函数最值问题。

双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。

专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题

专题五：以圆为载体的动点问题

动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。

例1.如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1

个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒）． （1）求当t为何值时，两点同时停止运动；

（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形； （4）求当t为何值时，∠BEC=∠BFC．

A

E O D F

B

C

例2. 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点， BC上运动时，保持AM和MN垂直， （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

当M点在

（2）设BM?x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．

A D

N

B M

C

例3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，AB?42，∠B动 ?45?．点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （09年济南中考） （1）求BC的长。 A D （2）当MN∥AB时，求t的值．

（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

B M

N C

例4.如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3cm，OB＝4cm，以点O为坐标原点建

立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）

y （1）求AB的长，过点P做PM⊥OA于M，求出P点的坐标（用

A t表示）

（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？

P M （3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？

（4）若点P运动速度不变，改变Q 的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值.

答案解析

F

E

O Q B x 例1. 解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．………（1分）

由题意可知：ED=t，BC=8，FD= 2t-4，FC= 2t．

A

∵ED∥BC，∴△FED∽△FBC．∴

D

FDED?． FCBC∴

2t?4t?．解得t=4． 2t8∴当t=4时，两点同时停止运动；……（3分）

B

图2

C

（2）∵ED=t，CF=2t， ∴S=S△BCE+ S△BCF=

11×8×4+×2t×t=16+ t2． 22即S=16+ t2．（0 ≤t ≤4）；………………………………………………………（6分）

（3）①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，

∵EF2=(2t?4)?t?5t?16t?16，

EC2=4?t?t?16，∴5t?16t?16=t?16．∴t=4或t=0（舍去）；

2222②若EC=FC时，∵EC2=4?t?t?16，FC2=4t2，∴t?16=4t2．∴t?2222222243； 3③若EF=FC时，∵EF2=(2t?4)?t?5t?16t?16，FC2=4t2， ∴5t?16t?16=4t2．∴t1=16?83（舍去），t2=16?83． ∴当t的值为4，222243，16?83时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三3BCCF??2， CDED角形；………………………………………………………………………………（9分）

（4）在Rt△BCF和Rt△CED中，∵∠BCD=∠CDE=90°，

∴Rt△BCF∽Rt△CED．∴∠BFC=∠CED．………………………………………（10分） ∵AD∥BC，∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC． ∵BE2=t?16t?80，∴t?16t?80=64．

22∴t1=16?83（舍去），t2=16?83．

∴当t=16?83时，∠BEC=∠BFC．……………………………………………（12分）

例2. 解：（1）在正方形ABCD中，

AB?BC?CD?4，?B??C?90°， AM⊥MN， ??AMN?90°，

??CMN??AMB?90°，

在Rt△ABM中，?MAB??AMB?90°， ??CMN??MAB，

?Rt△ABM∽Rt△MCN，

（2）Rt△ABM∽Rt△MCN， ABBM4x??，??， MCCN4?xCNA D

N

B

M

C

?x2?4x?CN?，

4?y?S梯形ABCN?1??x2?4x112???4?·4??x2?2x?8???x?2??10， 2?422?当x?2时，y取最大值，最大值为10． （3）

?B??AMN?90°，

?要使△ABM∽△AMN，必须有

由（1）知

AMAB?， MNBMAMAB?， MNMC?BM?MC，

?当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x?2．

例3.解：（1）如图①，过A、D分别作AK?BC于K，DH?BC于H，则四边形ADHK是矩形

∴KH?AD?3．

在Rt△ABK中，AK?ABsin45??42．2?4 2BK?ABcos45??422?4 2在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC?52?42?3

∴BC?BK?KH?HC?4?3?3?10 A D

C B B K H

（图①）

A

D

N

C

G （图②）

M

（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形 ∵MN∥AB ∴MN∥DG ∴BG?AD?3 ∴GC?10?3?7

由题意知，当M、N运动到t秒时，CN?t，CM?10?2t． ∵DG∥MN

∴∠NMC?∠DGC 又∠C?∠C

∴△MNC∽△GDC

CNCM? CDCGt10?2t即? 5750解得，t?

17∴

（3）分三种情况讨论：

①当NC?MC时，如图③，即t?10?2t ∴t?10 3D N

A A D

N

B B C

M

（图④） （图③）

②当MN?NC时，如图④，过N作NE?MC于E ∵∠C?∠C，?DHC??NEC?90? ∴△NEC∽△DHC

M H E

C

NCEC? DCHCt5?t即? 53∴

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