概率论习题试题集1

第一章 随机事件与概率

一、填空题

1. 已知随机事件A的概率P(A)?0.5，事件B的概率P(B)?0.6，条件概率P(BA)?0.8，则

P(A?B)?______________。

2.设A，B为随机事件，已知P(A)?0.3，则P(AB)?____________。 P(B)?0.4，P(A?B)?0.5，3. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现目标被击中，则它是甲命中的概率为___________。

4. 某射手在3次射击中至少命中一次的概率为0.875，则该射手在一次射击中命中的概率为

___________。

5. 设随机事件A 在每次试验中出现的概率为

13,则在3次独立试验中A至少发生一次的概率为

___________.

6. 袋中有黑白两种球,已知从袋中任取一个球是黑球的概率为取得白球的概率为___________。

7. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率是___________。

8. 电路由元件A与两个并联的元件B，C串联而成，若A，B，C损坏与否相互独立，且它们损坏的概率依次为0.3，0.2，0.1，则电路断路的概率是___________。

9. 甲乙两个投篮，命中率分别为0.7， 0.6，每人投3次，则甲比乙进球数多的概率是___________。10. 3人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别是，，，则此密码被译出的概率是

53411114,现从袋中不放回地依次取球,则第k次

________。

二、选择题

1. 对于任意两个事件A，B，有P(A?B)为（ ） （A）P(A)?P(B)

（B）P(A)?P(B)?P(AB) （D）P(A)?P(B)?P(AB)

（C）P(A)?P(AB)

2. 设A，B为两个互斥事件，且P(A)?0,P(B)?0，则下列正确的是（ ）

1

（A）P(AB)?P(A)

（B）P(BA)?0 （D）P(BA)?0

（C）P(AB)?P(A)P(B)

3. 其人独立地投了3次篮球，每次投中的概率为0.3，则其最可能失败（没投中）的次数为（ ） （A）2 （C）3

（B）2或3 （D）1

4. 袋中有5个球（3个新，2个旧），每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率是（ ） （A）（C）

3524

（B）（D）

34310

5. n张奖券中含有m张有奖的，k个人购买，每人一张，其中至少有一个人中奖的概率是（ ） （A）

mCn1m （B）1?Cn?mCnCmCknrkk

（C）

CmCn?mCknk?1k

（D）?r?1

三、计算题

(随机事件、随机事件的关系与运祘) 1. 指出下面式子中事件之间的关系：

⑴ AB?A； ⑵ ABC?A； ⑶A?B?A。

2. 一个盒子中有白球、黑球若干个，从盒中有放回地任取三个球.设Ai表示事件“第i次取到白球” (i?1,2,3)，试用Ai的运算表示下列各事件.

⑴ 第一次、第二次都取到白球； ⑵ 第一次、第二次中最多有一次取到白球； ⑶ 三次中只取到二次白球; ⑷ 三次中最多有二次取到白球; ⑸ 三次中至少有一次取到白球.

3. 掷两颗骰子，设Ai、Bi分别表示第一个骰子和第二骰子出现点数i朝上的事件，试用Ai、Bi表示下列事件.⑴ 出现点数之和为4; （2） 出现点数之和大于10.

4. 对若干家庭的投资情况作调查，记A??仅投资股票

?,B??仅投资基金

?,C??仅投资债券

?，试

2

述下列事件的含义.

⑴ ABC; ⑵ A?B?C; ⑶ A?B?C; ⑷ ABC?C; ⑸ ABC?C.

5. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间及随机事件A. ⑴ 掷一颗骰子，点数为偶数的面朝上; ⑵ 掷二颗骰子，两个朝上面的点数之差为2;

⑶ 把三本分别标有数字1，2，3的书从左到右排列，标有数字1的书恰好在最左边; ⑷ 记录一小时内医院挂号人数，事件A?{一小时内挂号人数不超50人};

⑸ 一副扑克牌的4种花式共52张，随机取4张，取到的4张是同号的且是3的倍数.

6. 对某小区居民订阅报纸情况作统计，记A,B,C分别表示订阅的三种报纸，试叙述下列事件的含义. ⑴ 同时订阅A,B两种报纸; ⑵ 只订阅两种报纸; ⑶ 至少订两种报纸;

⑷ 一份报纸都不订阅; ⑸ 订C报同时也订A报或B报中的一种; ⑹ 订A报不订B报.

7．某座桥的载重量是1000公斤（含1000公斤），有四辆分别重为600公斤，200公斤，400公斤和500公斤的卡车要过桥，问怎样过法即省时间而桥又不会损坏。

(古典概型及其概率)

8. 设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率：

（1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； （2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。

9. 设有3个人和4间房，每个人都等可能地分配到4间房的任一间房内，求下列事件的概率：（1）指定的

3间房内各有一人的概率；（2）恰有3间房内各有一人的概率；（3）指定的一间房内恰有2人的概率。

10. 一幢12层的大楼，有6位乘客从底层进入电梯，电梯可停于2层至12层的任一层，若每位乘客在任一

层离开电梯的可能性相同，求下列事件的概率：（1）某指定的一层有2位乘客离开；（2）至少有2位乘客在同一层离开。

11. 将8本书任意放到书架上，求其中3本数学书恰排在一起的概率。

3

12. 某人买了大小相同的新鲜鸭蛋，其中有a只青壳的，b只白壳的，他准备将青壳蛋加工成咸蛋，故将鸭

蛋一只只从箱中摸出进行分类，求第k次摸出的是青壳蛋的概率。

13. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随

意将这些油漆发给顾客。问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆，2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到订货的概率是多少？

14. 将12名新技工随机地平均分配到三个车间去，其中3名女技工，求：

（1）每个车间各分配到一名女技工的概率；（2）3名女技工分配到同一车间的概率。

15．从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有两只配对的概率。

16．从0，1，2，......，9十个数中随机地有放回的接连取三个数字，并按其出现的先后排成一列， 求下列事件的概率：（1）三个数字排成一奇数；（2）三个数字中0至多出现一次；

（3)三个数字中8至少出现一次；（4）三个数字之和等于6。

（利用事件的关系求随机事件的概率）

17. 在1~1000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被4整除，又不能被6整除的概率是多少？

18. 甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张，

（1） 若甲抽后将牌放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率； （2） 若甲抽后不放回乙再抽，问甲或乙拿到四张A的概率。

19. 在某城市中发行三种报纸A,B,C，经调查，订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C报的有

30%， 同时订阅A及B的有10%，同时订阅A及C的有8%，同时订阅B及C的有5%，同时订阅A,B,C的有3%。试求下列事件的概率：

（1）只订A报的；（2）只订A及B报的；（3）恰好订两种报纸。

20．某人外出旅游两天，据预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1，试求：

4

（1）至少有一天下雨的概率；（2）两天都不下雨的概率；（3）至少有一天不下雨的概率。

21．设一个工人看管三台机床，在1小时内三台机床需要工人照管的概率的依次是0.8,0.7,0.6,试求：（1） 至少有一台机床不需要人照管的概率；（2）至多只有一台机床需要人照管的概率。

（条件概率与乘法原理）

22．某种动物活15年的概率为0.8，活25年的概率为0.3，求现年15岁的这种动物活到25岁的概率。

23．设口袋有5只白球，4只黑球，一次取出3只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜

色是黑色的概率。

24．10件产品中有3件是次品，从中任取2件。在已知其中一件是次品的条件下，求另一件也是次品

的概率。

25．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，并将其中的1张拿到验钞机上检验，结果发现是假钞，求抽出的2张都是假钞的概率。

26. 小王忘了朋友家电话号码的最后一位，他只能随意拨最后一个号，他连拨了三次，求第三次才拨通的概率。

27. 设袋中装有a只红球，b只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。

28. 一个游戏需要闯过三关才算通过，已知一个玩家第一关失败的概率是3/10，若第一关通过，第二关失败的概率是7/10，若前两关通过，第三关失败的概率为9/10，。试求该玩家通过游戏的概率。

29. 盒中有六个乒乓球，其中2个旧球，每次任取一个，连取两次（不放回），求至少有一次取到旧球的概率。

（全概率与贝叶斯公式）

5

30. 设有两台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率是0.03，第二台机床出废品的概率是0.02，加工出来的零件混放在一起，并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。试求： （1）求任意取出的一个零件是合格品的概率；

（2）如果任意取出一个零件经检验后发现是废品，问它是第一台机床还是第二台机床生产出来的可能性大？

31. 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者，假设人群中男女比例1：1。试求：（1）人群中患色盲的概率是多少？

（2）今从人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者，问此人是男性的概率是多少？

32．盒中有10只羽毛球，其中有6只新球。每次比赛时取出其中的2只，用后放回，求第二次比赛时取到的2只球都是新球的概率。

33．一种传染病在某市的发病率为4%。为查出这种传染病，医院采用一种新的检验法，它能使98%的患有此病的人被检出阳性，但也会有3%未患此病的人被检验出阳性。现某人被此法检出阳性，求此人确实患有这种传染病的概率。

34．某人下午5：00下班，他所累计的资料表明：

到家时间 5：35～ 5：39 乘地铁到家概率 乘汽车到家概率 0．10 0．30 5：40～ 5:44 0．25 0．35 5:45~ 5:49 0．45 0．20 5:50~ 5:54 0．15 0．10 0．05 0．05 迟于5:54 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。

35．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求： （1）学生回答正确的概率；

（2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。

36．有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4，如果他乘火车、

6

轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/6，而乘飞机则不会迟到，试问：（1）他迟到的概率多大？

（2）结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？

37．要验收100台微机，验收方案如下：自该批微机中随机地取出3台独立进行测试，三台中只要有一台在测试中被认为是次品，这批微机就会被拒绝接受，由于测试条件和水平，将次品微机误认为正品的概率为0.05，而将正品的微机误判为次品的概率为0.01。如果已知这100台微机中恰有4台次品，试问：（1）这批微机被接受的概率是多少?(2) 假如被接受，而3台微机中有1台次品微机的概率是多少？

（贝努利概型）

38. 五架飞机同时去轰炸一目标，每架飞机击中目标的概率为0.6，求：五架飞机中至少有三架击中目标的概率.

39. 有一场短跑接力赛，某队有4名运动员参加，每人跑四分之一距离，每名运动员所用时间超过一分钟的概率为0.3,当四名中有一名运动员所用时间超过一分钟,则该队必输,求: ⑴ 该队中没有一个运动员所用时间超过一分钟的概率; ⑵ 最多二人超过一分钟的概率; ⑶ 该队输掉的概率.

40. 某人骑车回家需经过五个路口，每个路口都设有红绿灯，红灯亮的概率为 ⑴ 此人一路上遇到三次红灯的概率； ⑵ 一次也没有遇到红灯的概率.

41. 某台电视机能接收到十个频道的电视节目，每个频道独立地播放广告，每小时放广告的概率均为一时刻打开电视机:

⑴ 十个频道都在放广告的概率； ⑵ 只有三个频道在放广告的概率； ⑶ 至少有一个频道在放广告的概率.

7

25，求：

15，问某

42．有五个儿童在玩跳绳比赛，每个儿童跳绳能超过100下的概率为0.6，问： ⑴ 五人中最多有二人超过100下的概率； ⑵ 至少一人超过100下的概率.

43．据统计某地区五月份中各天下雨的概率为

162，求：

⑴ 五月份中下雨的天数不超过五天的概率； ⑵ 五月份每天都下雨的概率.

44．三名运动员射击同一靶，射中靶的概率都为0.7，问： ⑴ 靶被射中的概率；

⑵ 最多二名运动员射中的概率.

45. 五家电视台同时接受由卫星转播的一套节目，但受天气影响，五家电视台各自能收到节目的概率都为0.6，问，至少有三家电视台能收到节目的概率.

46. 某幢大楼有20户居民，每户订日报的概率为0.2，问邮递员每天至少要给这幢大楼送10份日报的概率.

47. 20个鞭炮受了潮，每个能放响的概率为0.3，问： ⑴ 只有5个鞭炮能放响的概率； ⑵ 最多有10个能放响的概率.

（利用事件的独立性求概率）

48. 三家电视台独立地播放广告节目，在一小时内各电视台播放广告的概率分别为0.1, 0.15, 0.2. ⑴ 求一小时内三家电视台同时播放广告的概率； ⑵ 求一小时内没有一家电视台在播放广告的概率； ⑶ 至少有一家电视台在播放广告的概率.

49. 一个系统由三个电器并联组成，三个电器会损坏的概率分别为0.3, 0.4, 0.5. ⑴ 求系统不能正常工作的概率； ⑵ 求系统能正常工作的概率.

8

50. 有两组射击手各5人，每组射击手射击时射中目标的概率分别为： ⑴ 0.4, 0.6, 0.7, 0.5, 0.5; ⑵ 0.8, 0.4, 0.3, 0.6, 0.5.

两组进行射击比赛，哪组击中目标的概率大.

51. 一个会议室装有若干组独立的照明系统，每组照明系统由一个开关和一个灯组成，开关、灯损坏的概率分别0.6、0.5. 当开关、灯都正常工作时，这组系统才能正常工作，问会议室里至少需有多少组系统，才能以95%的把握使室内有灯照明.

52. 五架飞机同时去轰炸一目标，每架飞机投中目标的概率为0.6. 求⑴ 5架飞机都投中目标的概率； ⑵ 只有一架投中目标的概率；

⑶ 要以90%以上的概率将目标击中，至少应有几架飞机去轰炸.

53. 某班级4名学生去参加数学竞赛，他们能得满分的概率分别为0.8, 0.6, 0.7, 0.9，求： ⑴ 只有一张卷子得满分的概率； ⑵ 没有一人得满分的概率.

54. 某人回家需打开大门、过道门和房门三道门，这三道门的钥匙各不相同并放在一起，此人每到一道门便随机地取一把钥匙开门，然后放回，问此人取了三次钥匙开门锁即能进屋的概率.

55. 有三个人从公司回家分别乘公交车、地铁和出租车，三种方式所花的时间超过半小时的概率分别为0.8, 0.6, 0.5.

⑴ 三人中至少有一人回家时间超过半小时的概率; ⑵ 至少有二人回家时间超过半小时的概率.

11156. 某台电视机能接收到三个频道节目，这三个频道独立地播放广告，每小时播放广告的概率分别为,,，

654问：

⑴ 打开电视机三个频道都在放广告的概率；

9

⑵ 最多有二个频道在播广告的概率.

57. 5名运动员各划一条船进行划船比赛，若在规定时间内到达对岸的，可以得到一面锦旗，5名运动员在规定时间内能到达对岸的概率分别为0.8, 0.9, 0.7, 0.5, 0.6, 求: ⑴ 至少一人拿到锦旗的概率；

⑵ 恰有一人拿到锦旗的概率.

（四）证明题

1.设A，B为两个随机事件，且有P(CAB)?1，证明：P(C)?P(A)?P(B)?1。 2.设A，B为两个随机事件，0?P(A)?1,P(BA)?P(BA)，证明：A与B相互独立。

参考答案

一、填空题： (1) 0.7：(2) 0.1；(3)

34；(4) 0.5；(5)

1927；(6)

34；(7)0.496；(8)0.314；(9) 0.436；(10)

35二、

选择题：(1)C; (2) B; (3) A; (4) A; (5) B. 三、计算题：

（随机事件、随机事件的关系与运算） 1.解：⑴事件B包含事件A，B?A.

⑵事件B与事件C的交包含事件A，BC?A. ⑶事件A包含事件B，A?B.

2. 解：⑴ A1A2。 ⑵A1A2?A1A2?A1A2. ⑶A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3. ⑷A1A2A3?A1?A2?A3. ⑸A1?A2?A3.

3. 解：⑴A1B3?A3B1?A2B2. ⑵A5B6?A6B5?A6B6.

4. 解：⑴被调查到的家庭同时投资了股票和基金，没投资债券. ⑵被调查到的家庭，至少投资了一项. ⑶被调查到的家庭，至少一项没投资.

10

P(A1)?0.3,P(A2)?0.2,P(A3)?0.1,P(A4)?0.4,P(BA1)?1/4,P(BA2)?1/5,P(BA3)?1/6,P(BA4)?0

由全概公式P(B)?0.3?1/4?0.2?1/3?0.1?1/6?0.4?0?0.1583 由贝叶斯公式P(A1B)?0.3?1/40.3?1/4?0.2?1/3?0.1?1/6?0.4?0?0.474。

37．解：设Ai={三台微机中的次品数为i},i=0,1,2,3，B={微机被接受}; 依题意 P(A0)?C96C10033,P(A1)?3C4C96C100312,P(A2)?C4C96C1002321,P(A4)?C4323C1003

P(BA0)?0.99,P(BA1)?0.05?0.99,P(BA2)?0.05?0.99,P(BA3)?0.05由全概公式

P(B)?C96C31003?0.99?3C4C96C310012?0.05?0.99?2C4C96C310021?0.05?0.99?2C4C33100?0.05?0.8629。

3 38.解：P(??3)?1?P(??2)?1?P(0)?P(1)?P(2).

514223 ?1?(0.4)?C5?0.6?(0.4)?C5?0.6?(0.4).

=0.68.

39．解：⑴ P(??0)?(0.7)4=0.24.

13222 ⑵ P(??2)?P(0)?P(1)?P(2)?0.74?C4?0.3?0.7?C4?0.3?0.7=0.92.

⑶ P(??1)?1?P(0)?1?0.7=0.76. 40．解：⑴ P(??3)?C5()()?5342332144625 ⑵ P(??0)?()?5355243.

3125.

1104103134741．解：⑴ (). ⑵ C10()(). ⑶ 1?().

555551423242．解：⑴ P(??2)?P(0)?P(1)?P(2)?(0.4)?C5?0.4?0.6?C5?0.4?0.6=0.32

⑵ P(??1)?1?P(??0)?1?(0.4)=0.99 43．解：⑴??np?31?162?125

P(??5)?P(??0)?P(??1)?P(??2)?P(??3)?P(??4)?P(??5)

16

351?e?2(1?1(12)2?1???142??12?2?2!?23!4!?5!)?0.99.

?1(131 ⑵ P(??31)?e22)?31!?0. 44．解：⑴ P(??1)?1?P(??0)?1?(0.3)3=0.97. ⑵ P(??2)?1?P(??3)?1?(0.7)3=0.66.

45. 解：P(??3)?C35(0.6)3(0.4)2?C445(0.6)0.4?C55(0.6)5=0.68.

2046. 解：??4P(??10)??4k?0.0081.

k?10k!e?4547．解：??6 ⑴ P(??5)?65!e?6?0.16.

（利用事件的独立性求概率） 48. 解：记Ai??第i家电视台在播放广告?，A为待求概率的事件.

⑴ A?A1A2A3，事件A1,A2,A3独立.

P(A)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.1?0.15?0.2?0.003. ⑵ A?A1A2A3，事件A1,A2,A3独立，

P(A)?P(A1)P(A2)P(A3)?(1?0.1)(1?0.15)(1?0.2)?0.612. ⑶ A?A1?A2?A3?A1A2A3，P(A)?1?P(A1)P(A2)P(A3)?0.388. 49. 解：记Ai??第i个电器损坏?

(i?1,2,3)，A为所求概率的事件.

⑴ A?A1A2A3，由题意,事件A1,A2,A3独立.

P(A)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.3?0.4?0.5?0.06.

⑵ A?A1?A2?A3?A1A3A3, P(A)?1?0.06=0.94 50. 解：设A??目标被击中

?，Ai??第一组第i个射击手射中目标

?，

Bi??第二组第i个射击手中目标? (i=1,2,3,4,5)，

则：A?A1?A2?A3?A4?A5，Ai(i?1,?,5)是独立的，

17

?P(A)?1?P(A)?1?P(A1A2A3A4A5)?0.982.

同理：P(A)?1?P(B1B2B3B4B5)?0.9832. 所以第二组击中目标的概率大. 51. 解：设需n组系统，A??室内有灯照明

?，Ai??第i组系统正常?(i?1,?,n)，

则：P(Ai)?0.6?0.5?0.3 A?A1???An，

P(A)?1?P(A)=1?P(A1)P(A2)?P(An)?1?(0.7)n?0.95 0.05?(0.7)n n? n?9. 52. 解：⑴ 记Ai?log0.05log0.7??1.3?0.1549?8.39

?第i架飞机投中目标?(i?1,?,5)，

A?A1A2A3A4A5，Ai独立(i?1,?,5)； （1）P(A)?(0.6)5?0.08.

（2）A?A1A2A3A4A5?...?A1A2A3A4A5，P(A)?0.6?(0.4)4?5?0.08. （3）设应有n架飞机去轰炸，

n P(A)?1?P(A)?1??P(Ai)?1?(0.4)n?0.9i?1(0.4)?0.1

n n?lg0.1lg0.4， n?3.

53．解：记Ai??第i名得满分?(i?1,?,4), 记A为所求事件.

⑴ P(A)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)

=0.04.

⑵ P(A)?0.1?0.2?0.3?0.4?0.0024. 54. 解：记Ai?A??第i道门被打开?(i?1,2,3)，A1,A2,A3独立，

?此人进屋

?，A?A1A2A3，P(Ai)?13?13?13?12713，(i?1,2,3)，

P(A)?P(A1)P(A2)P(A3)?.

55．解：记D为所求事件.

18

A?B?C??乘公交车回家时间超过半小时乘地铁回家时间超过半小时

?，

???， ?，

乘出租车回家时间超过半小时

⑴P(D)?P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C)=0.96. ⑵ D?ABC?ABC?ABC?ABC,

P(D)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)=0.7.

56. 解：记B={三个频道都在放广告}为所求事件，则

⑴ 记Ai??第i个频道在播广告?

16?112015??1?(i?1,2,3)， 1 P(B)?P(A1A2A3)?⑵ P(B)?1?P(B)?1?

57. 解：记Ai?4120119120.

.

?第i个运动员能拿到锦旗?

(i?1,?,5)，B??所求事件

?.

⑴ P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2A3A4A5)?0.99. ⑵ B?A1A2A3A4A5?A1A2A3A4A5???A1A2A3A4A5，

P(B)?0.02.

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