《概率论与数理统计》习题集

《概率论与数理统计》习题集 第一章 随机事件及其概率

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§1.1 样本空间及其随机事件

一. 单项选择题

*

1. 若A,B,C为三事件，则A,B,C中不多于一个发生可表为( )

(A) A?B?C (B) AB?AC?BC (C) A?B?C (D) AB?AC?BC 2. 设AB?C，则( )

(A) AB?C (B) A?C且B?C (C) A?B?C (D) A?C或B?C 3. 设?={1,2,?,10},A={2,3,4},B={3,4,5}，则A?B=( ) (A) {2,3,4,5} (B) {1,2,3} (C) ? (D) ?

4. 从一大批产品中任抽5件产品，事件A表示：“这5件中至少有1件废品”，事件

B表示“这5件产品都是合格品”，则AB表示( )

(A) 所抽5件均为合格品 (B) 所抽5件均为废品 (C) 可能事件 (D) 必然事件 二. 填空题

1. 设A,B为任意两个随机事件，则(A?B)B= . 2. 设有事件算式(AB)?(AB)?(AB)?(AB)，则化简式为 . 3. 事件A,B,C至少有一个发生为 .

4．从标有1，2，3的卡片中无放回抽取两次，每次一张，用(X,Y)表示第一次取到的数字x，第二次取到y的事件，则样本空间?={ }，

*

P(X?Y?3)= . 113?x?1}，B?{x?x?}，具体写出下列各式. 2425. 设S?{x0?x?2}，A?{x（1） A?B= ；

1

（2） A?B= _； （3） AB= __； （4） AB= _ . 三. 试写出下列随机试验的样本空间：

（1） 记录一个班级一次数学考试的平均分数（以百分制记分）；

（2） 一射手对某目标进行射击，直到击中目标为止，观察其射击次数；

（3） 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标；

（4） 观察甲、乙两人乒乓球9局5胜制的比赛，记录他们的比分.

四. 设A,B,C为3个事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件：

（1） A发生；

（2） A不发生，但B,C至少有1个发生；

（3） 3个事件恰好有1个发生；

（4） 3个事件至少有2个发生；

（5） 3个事件都不发生；

（6） 3个事件最多有1个发生；

（7） 3个事件不都发生.

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《概率论与数理统计》习题集 第一章 随机事件及其概率

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§1.2 概率的直观定义

一. 单项选择题

1．袋中有8只红球，2只白球， 从中任取2只，颜色相同的概率为( ) （A）

161292 （B） （C） （D） 451045102．从一副除去两张王牌的52张牌中，任取5张，其中没有A牌的概率为( )

5548125C48C48) (D) （A） （B） 5 (C) (C525521352二. 填空题

1. 两封信随机地投入4个邮筒，则第一个邮筒只有一封信的概率为 . 2. 从数字1，2，3，4，5，中任取3个，组成没有重复的3位数，试求： （1）这个3位数是5的倍数的概率为 ； （2）这个3位数是偶数的概率为 ； （3）这个3位数大于400的概率为 .

3. 同时投掷两颗骰子，则“这两颗骰子中至少有一颗出现6点且两颗骰子点数之和 为偶数的概率为 .

4. 设箱中装着标有1~36的36个号码球，今从箱中任取7个，求“恰有4个球的号码能被5整除”的概率 .

5．在一本标准英语字典中，具有55个由两个不相同的字母所组成的单词. 现在从这26个英文字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述55个单词的概率为 .

6. 在电话号码簿中任意取一个电话号码，（设后面4个数的每一个数都是等可能性地取自0，1，?，9）, 则后面四个数全不相同的概率为 . 7. 在整数0至9中任取4个，能排成偶数的概率p= .

3

三. 计算题

1. 设号码锁有6个拨盘，每个拨盘上有从0到9的10个数字，当6个拨盘上的数字组成某一个6位数号码（开锁号码）时，锁才能打开，如果不知道开锁号码，试开一次就能把锁打开的概率是多少?如果要求这6个数字全不相同，这个概率又是多少?

2. 在房间里有10个人，分别佩戴着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码.

（1）求最小的号码为5的概率.

（2）求最大的号码为5的概率.

*

3.（会面问题）两人相约于8时至9时之间在某地会面，先到者等候另一个人15分钟后即可离开，求两人能够会面的概率.

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《概率论与数理统计》习题集 第一章 随机事件及其概率

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§1.3 概率的公理化定义

一. 单项选择题

1. 设A,B为随机事件，AB??，P(A)?0.4，P(A?B)?0.7，则P(B)=( ) (A) 0.3 (B) 0.4 (C) 0.2 (D) 0.1 2. 已知P(A)?a2，P(B)?b2，P(AB)?ab，则P(AB?AB)=( ) (A) a2?b2 (B) (a?b)2 (C) 2ab (D) a2?ab 3．下列正确的是：( )

(A) P(A)?1，则A为必然事件 (B) P(B)?0，则B?? (C) P(A)?P(B)，则A?B (D) A?B则P(A)?P(B) 二. 填空题

1. 当A与B互不相容时，PA?B? . 2. 若P(A)?11，P(B)?且B?A，则P(A?B)? ； 23??P(AB)?____________________；P(AB)?_______________________. 3. 设A,B,C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?11P(AC)?，P(AB)?P(CB)?0，，

48则A,B,C至少有一个发生的概率为 .

4. 从0，1，2，?,9等10个数字中任意选出3个不同数字，试求下列事件的概率 (1) 3个数字中不含0和5的概率为 ； (2) 3个数字中不含0或5的概率为 ； (3) 3个数字中含0但不含5的概率为 . 5. 设P(A)?11，P(B)?，如果A与B互不相容，则P(BA)? . 326. 设随机事件A,B及A?B的概率分别为0.4，0.3和0.6，则PAB?_______.

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《概率论与数理统计》习题集 第三章 多维随机变量及分布

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§3.1§3.2 二维随机变量及其分布

一．单项选择题

1. 设F(x,y)是任意两个随机变量X和Y的联合分布函数，则错误的是( ) （A）F(x,y)对于每一个自变量单调不减 （B）F(x,y)对于每一个自变量右连续 （C）F(??,y)?F(x,??)?0,F(??,??)?1 （D）对于任意的a?b,c?d，有

P(a?X?b,c?Y?d)?F(b,d)?[F(a,d)?F(b,c)]?F(a,c)

2. 随机变量X和Y相互独立，都服从于0?1分布：P(X?0)?P(Y?0)?则P(X?Y)?( )

57（A）0 （B） （C） （D）1

99二．填空题

2, 31. 设二维联合变量(X,Y)的联合分布列为

(1) a? ； (2) X,Y独立吗? ；

Y X ?1 0 ?1 1 3 a/3 a 1/12 1/8 3/8 2a (3) F(0,2)? ； P(?1?X?0,2?Y?3)? .

?Cx0?x?4,0?y?12. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??，

其它?01 则：(1)C? ；(2) P(?1?X?3,?Y?1)? ；

2(3) fX(x)? ； (4) fY(y)? .

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三．计算题

1. 设袋中有4个球，分别标有数字1,2,2,3从袋中任取一球（其数字记为X）之后不能再放回，再从袋中任取一球（其数字记为Y），求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律，并判断X,Y是否独立.

?Cy(1?x)0?x?1,0?y?x2. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)??，求常

0其它?数C，并判断X,Y是否独立.

?1?(x?y)0?x?2,0?y?23. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)??8,求常

?其它?0数C，并判断X,Y是否独立.

4. 设G表示抛物线y?x2及直线y?x所包围的区域，X,Y服从G上的均匀分布，求联合概率密度.

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《概率论与数理统计》习题集 第三章 多维随机变量及分布

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*§3.3§3.4 二维随机变量的分布

一．单项选择题

1．设X与Y相互独立，且P(X?0)?P(Y?0)?1X,Y}?0)?( ) ，则P(max{31581（A） （B） （C） （D）

9993

二．填空题

1．设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,0?y?2?2x上服从均匀分布.求随机变量Z?X?Y的分布函数F(z)＝_________________.

12．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1,1),Y～N(0,)，Z?X?2Y，求随机

2变量Z的概率密度为________________.

3．设X~N(1,3)，Y~N(2,2)，且X与Y相互独立，则X?Y~_____________.

三．计算题

1.设随机变量U与V相互独立，且P(U?0)?P(U?1)?P(V?1)?12，P(V?0)?，231U,V}求（1）X,Y的分布律； ，记X?min?U,V?，Y?max{3（2）(X,Y)的分布律.

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?6x,0?x?y?12. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)??， 求

?0,其 它Y的条件密度函数fYX(yx?1/3)；（1） （2）当X?1/3时，X,Y的边缘密度函数；

（3）P(X?Y?1).

3. 设随机变量X在(0,a)上随机地取值，服从均匀分布，当观察到X?x(0?x?a) 时，Y在区间(x,a)内任一子区间上取值的概率与子区间的长度成正比， 求： （1）(X,Y)的联合密度函数f(x,y)； （2） Y的密度函数fY(y).

4. 随机变量X与Y相互独立，且X与Y的分布律相同，X的分布律为 （1） 求Z?X?Y的分布律； （2） 求M?max?X,Y?的分布律 （3） 求N?min?X,Y?的分布律.

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X p 0 1/6 1 1/3 2 1/2 《概率论与数理统计》习题集 第三章 多维随机变量及分布

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习 题 课

一．选择题

1. 设随机变量X和Y有相同的概率分布

P(XY?0)?1,则P(X2?Y2)?( )

（A）0 （B）0.25 （C）0.50 （D）1

*

X P ?1 0 1 0.25 0.5 0.25 2. 设X和Y相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是( )

（A）(X,Y) （B）X?Y （C）X2 （D）X?Y

二．填空题

1. 设二维联合变量(X,Y)的联合分布列为

XY 1 2 3 则,a,b应该满足条件 ， 若X和Y相互独立，则a? ，b? . 1 2 1/6 1/9 1/18 1/3 a b ?10?x?1,0?y?12. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??

其它?0 则P(X?0.5,Y?0.6)? . 三．计算题

??A(1?x2?y2)x2?y2?11. 设随机变量(X,Y)的联合密度为f(x,y)??，

0其它??求系数A.

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