高考数学二轮复习 专题能力提升训练十 数列

杭州附中三维设计 高考数学二轮复习：数列

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设an??n2?10n?11，则数列?an?的最大项为( ) A． 5 【答案】D

B． 11

C． 10或11

D． 36

2．由下列表达式确定的数列：①；②；③；④，其中表示等差数列

的序号是( ) A． ①③④ B． ①② C． ①③ D． ②③④ 【答案】C

3．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的取值范围是( )

A．(0,1?5)

2C．[1,1?5)

2B．(1?5,1]

2D．(?1?5,1?5)

22【答案】D

n

4．若数列{an}的前n项和Sn = 3－a，若数列{an}为等比数列，则实数a的取值是( )

A．3 B．1 C．0 D．－1 【答案】B

5．数列?an?的通项公式an?A．98 【答案】B

B．99

1n?n?1，则该数列的前( )项之和等于9。 C．96

D．97

6．已知等比数列?an?的公比是2，a3?1，则a5的值是( )

A．

1 16 B．

1 4C．4 D．16

【答案】C

7．已知函数f(x)对应关系如表所示，数列{an}满足：a1?3,an?1?f(an),则a2011=( )

A．3 B．2 C．1 D．不确定 【答案】A

8．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝( )

9

A．8 B．－8 C．?8 D．

8

【答案】B

9．数列?an?的前n项和为sn=n+2n-1，则a1+a3+a5+……+a25=( )

2

1

A. 350 B. 351 C. 337 D. 338 【答案】A

10．有下列数组排成一排：(1),(2,1),(3,2,1),(4,3,2,1),(5,4,3,2,1),112123123412345

如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：

121321432154321,,,,,,,,,,,,,,,112123123412345A．7 B．6

5758则此数列中的第2011项是( )

C．5

59D．4

60【答案】B

11．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R，满足 f（ab）=af（b）+bf（a），

f(2n)*(n?N)则数列{an}的通项公式为( ) f（2）一2，令an?n2A．an?2n?1?3,(n?N*) C．an?2n?1,(n?N*) 【答案】D 12．已知

A．

,b1?7，且满足

B．

B．an?2n,(n?N*) D．an?n,(n?N*)

a1?1?an?1?bn?2anabn?1?3bn?4an求limn=( )

n??bn1 21 4C． 4 D． 2

【答案】B

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知?ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为____________ 【答案】?2 414．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数

f(x)?[x]称为高斯函数或取整函数，若

nan?f(),n?N?,Sn为数列?an?的前n项和，则S3n=____________ 33n2?n【答案】

215．数列?24816,,?,，……的一个通项公式为 1?22?33?44?5(?2)n【答案】

n(n?1)16．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f?n?个小正方形，则f?6?= ．

2

【答案】61

三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．数列{a*

n}满足Sn=2n-an（n∈N）. (1)计算a1，a2，a3，a4

(2)猜想通项公式an，并用数学归纳法证明. 【答案】（1）a3715

1=1，a2=2 ,a3=4 ,a4=8

n

(2)猜想a2-1

n=2

n-1 ,

证明：①当n=1时，a1=1猜想显然成立；

②假设当n=k（n≥1且n∈N*

）时，猜想成立， k

即a=2-1

k2

k-1 ,Sk=a1+a2+…+ak=2k-ak,

那么，n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=2（k+1）-ak+1-（2k-ak）， k

2+2-1

∴a2+ak-1 k+1

k22-1

k+1=2 =2=2k ,∴当n=k+1时猜想成立；

综合①②，当n∈N*时猜想成立.

18．已知各项均为正数的数列?an?前n项和为Sn，对?n?N*总有2，an，Sn成等差数列. (1）求数列{an}的通项公式； (2）若bn?logbn2an，cn?a，求数列{cn}的前n项和Tn. n【答案】（1）∵2，an, Sn成等差数列， ?2an?2?Sn 当n?1时，?2a1?2?S1?2?a1，解得?a1?2． 当n?2时，．即an?Sn?Sn?1?2an?2?(2an?1?2)

即an?2an?1．

∴数列?an?是首项为2，公差为2的等差数列，

?an?2n.

(2）

bn?log2an?log22n?n,

又cbnnn?a?cn?nn2

Tb1bb123nn?a?2a???n?2?22?23???2n,①

12an 3

1123nTn?2?3?4???n?1.② 22222①—②，得

n11111Tn??2?3???n?n?1. 22222211(1?n)2?n?2?2?n ?Tn?2n?1n1221?219．已知等比数列(I）求(II）令

的通项公式；

，求数列

的前n项和Sn.

【答案】（I）设数列{ 由

}的公比为q，

可得

解得a1=2，q=4. 所以数列{ (II）解：由 得 所以数列{ 故 即数列{

}的通项公式为

，

}是首项b1=1，公差d=2的等差数列.

.

}的前n项和Sn=n.

2

20．已知数列?xn}的前n项和为Sn满足Sn?1?Sn?(Ⅰ) 猜想数列?x2n?的单调性，并证明你的结论； (Ⅱ)对于数列?un11*,S1?,n?N

21?xn?若存在常数M＞0,对任意的n?N?，恒有

， 则称数列?unun?1?un?un?un?1?...?u2?u1?M ，B-数列吗？ 并证明你的结论。

?为B-数列。问数列?xn?是

【答案】(Ⅰ)由已知得

求得x2?235813,x3?,x4?,x5?,x6? 3581321由x2?x4?x6猜想：数列?x2n?是递减数列 下面用数学归纳法证明：

(1）当n=1时，已证命题成立 (2）假设当n=k时命题成立，即x2k?x2k?2

4

x?x11易知x?12k?0，那么x2k?2?x2k?4?2k?32k1?x??x?)(1?x 2k?112k?3(1?x2k?12k?3) =

x2k?x2k?2(1?x?0即x2(k?1)?x2(k?1)?2 2k)(1?x2k?1)(1?x2k?2)(1?x2k?3)

也就是说，当n=k+1时命题也成立，由（1）、（2）可知，命题成立 (Ⅱ) 数列?xn?是B-数列。 当n?1时，xn?1?xn?x2?x1?16， 当n?2时，易知0?xn?1?1,?1?xn?1?2,xn?111?x?

n?12?(1?xn)(1?xn?1)?(1?11?x)(1?x)?2?x5n?1n?1?

n?12

?xn?1?xn?11?x?1?xn?xn?1 n1?xn?1(1?xn)(1?xn?1)?2x22n?xn?1?（）xn?1?xn?2??（2

555）n-1x2?x1

?16（25）n-11?(2)nxn?1?xn?x?...?x1n?xn?12?x1?56??5 1?2185 所以数列?xn?是B-数列。

21．已知数列(1）证明

(2）求数列

的通项公式an.

【答案】（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

∴，命题正确.

2°假设n=k时有

5

则

而

又∴

时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=1时， 2°假设n=k时有

成立，

∴；

令，在[0，2]上单调递增，所以由假设

有：

也即当n=k+1时

即

成立，所以对一切

(2）下面来求数列的通项：

所以

,

又bn=－1，所以

22．设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知为1，求{an}的通项公式.

.

11111S3与S4的等比中项为S5，且S3与S4的等差中项353446

【答案】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

由条件知

（1S2155）?3S13?4S4

13S13+4S4=2

?d(5d?3a1)?0即??解得?d??12??2a5d?0或??d??5 1?2?2?a1?1??a1?4?an?1或a12n??5n?325

7

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