高考数学二轮专题复习教案共23讲精品专题

2012届高考数学二轮专题复习教案

专题一 集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用

第1讲 集合与简单逻辑用语

1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？?

2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．

3. 已知集合A、B，当A∩B＝时，你是否注意到“极端”情况：A＝或B＝？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．

4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.

5. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

1. A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且xA∩B}，若A＝{x∈R|y＝x2－3x}，B＝{y|y＝3x，x∈R}，则A×B＝______________.

2. 已知命题P：n∈N,2n＞1 000，则

P为________．

3. 条件p：a∈M＝{x|x2－x<0}，条件q：a∈N＝{x||x|<2}，p是q的______________条件．

(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

4. 若命题“x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围为________．

【例1】 已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．

1

【例2】 设A＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，B＝{(x，y)|4x2＋2x－2y＋5＝0}，C＝{(x，y)|y＝kx＋b}，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C＝？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．

【例3】 (2011·广东)设S是整数集Z的非空子集，如果a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z且a，b，c∈T，有abc∈T，x，y，z∈V，有xyz∈V.

则下列结论恒成立的是________．

A. T，V中至少有一个关于乘法封闭 B. T，V中至多有一个关于乘法封闭 C. T，V中有且只有一个关于乘法封闭 D. T，V中每一个关于乘法封闭

【例4】 已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2.

(1) 当b>0时，若x∈R，都有f(x)≤1，证明：0

(2) 当b>1时，证明：x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b.

1. (2011·江苏)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.

2.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是________．

3.(2009·江苏)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.

4.(2009·陕西)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．

5.(2011·陕西)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有正整数根的充要条件是n＝________.

6.(2011·福建)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：

2

①2 011∈[1]； ②－3∈[3]；

③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”． 其中，正确结论的个数是________个．

(2011·全国)(本小题满分14分)设a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a.若f(x)>0的解集为A，B＝{x|1

1

解：由f(x)为二次函数知a≠0，令f(x)＝0解得其两根为x1＝－a12＋2， a

由此可知x1<0，x2>0，(3分)

① 当a>0时，A＝{x|xx2}，(5分) 1

A∩B≠的充要条件是x2＜3，即＋a② 当a<0时， A＝{x|x1

A∩B≠的充要条件是x2>1，即＋

a

12＋2>1，解得a<－2，(13分) a16

2＋2<3，解得a>，(9分)

a7

11

2＋2，x2＝＋aa

6

，＋∞?.(14分) 综上，使A∩B≠成立的实数a的取值范围为(－∞，－2)∪??7?

一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用

第1讲 集合与简单逻辑用语

1. (2011·安徽)设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7}，则满足SA且S∩B≠的集合S的个数为________．

A. 57 B. 56 C. 49 D. 8

【答案】 B 解析：集合A的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6,7的子集有23

＝8个，所以集合S共有56个．故选B.

m

2. (2011·江苏)设集合A＝{(x，y)|≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R}, B＝{(x，y)|2m≤x＋

2y≤2m＋1，x，y∈R}, 若A∩B≠，则实数m的取值范围是________．

1m1

，2＋2? 解析：由A∩B≠得，A≠，所以m2≥，m≥或m≤0.【答案】 ??2?22|2－2m||2－2m－1|2

当m≤0时，＝2－2m＞－m，且＝－2m＞－m，又2＋0＝2＞2m

222|2－2m|1

＋1，所以集合A表示的区域和集合B表示的区域无公共部分；当m≥时，只要≤m

22

3

|2－2m－1|22或≤m，解得2－2≤m≤2＋2或1－≤m≤1＋，所以实数m的取值范围

2221

，2＋2?. 是??2?

点评：解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数m的取值范围的相关条件．

基础训练

1. (－∞，3) 解析：A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝(－∞，＋∞)，A∩B＝[3，＋∞)．

2. n∈N,2n≤1 000

3. 充分不必要 解析：M＝(0,1)N＝(－2,2)．

4. a≥3或a≤－1 解析：Δ＝(a－1)2－4≥0，a≥3或a≤－1. 例题选讲

例1 解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5. ∴ A＝[－2,5]．

① 当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得－2≤p＋1且2p－1≤5.得－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.

② 当B＝时，即p＋1>2p－1p＜2.BA成立．综上得p≤3.

点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B＝，A∪B＝A，A∪B＝B或AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．

变式训练 设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M[1,4]，求实数a的取值范围．

解： M[1,4]有n种情况：其一是M＝，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ≥0，分三种情况计算a的取值范围．

设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，有Δ＝(－2a)2－(4a＋8)＝4(a2－a－2)， ① 当Δ＜0时，－1＜a＜2，M＝[1,4]成立； ② 当Δ＝0时，a＝－1或2，当a＝－1时，M＝{－1}[1,4]，当a＝2时，M＝{2}[1,4]； ③ 当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M＝

??f?1?≥0且f?4?≥0，

[x1，x2]，M[1,4]1≤x1＜x2≤4?

?1≤a≤4且Δ＞0.?

－a＋3≥0，

??18－7a≥0，即?1≤a≤4，??a＜－1或a＞2，

1818

－1，?. 解得：2＜a≤，综上实数a的取值范围是?7??7

例2 解： ∵ (A∪B)∩C＝，∵A∩C＝且B∩C＝，

2

??y＝x＋1，由 ? 得k2x2＋(2bk－1)x＋b2－1＝0， ?y＝kx＋b?

∵ A∩C＝，∴ k≠0，Δ1＝(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0，

∴ 4k2－4bk＋1<0，此不等式有解，其充要条件是16b2－16>0，即b2>1，①

2??4x＋2x－2y＋5＝0，∵ ? ?y＝kx＋b，?

4

∴ 4x2＋(2－2k)x＋(5－2b)＝0，

∵ B∩C＝，∴ Δ2＝4(1－k)2－16(5－2b)<0，

∴ k2－2k＋8b－19<0, 从而8b<20，即b<2.5， ②

由①②及b∈N，得b＝2，代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得

?4k2－8k＋1＜0，??2 ?k－2k－3＜0，?

∴ k＝1，故存在自然数k＝1，b＝2，使得(A∪B)∩C＝．

点评：把集合所表示的意义读懂，分辨出所考查的知识点，进而解决问题.

???1－y＝3

变式训练 已知集合A＝??x，y??

?x＋1??

??

?，B＝{(x，y)|y＝kx＋3}，若A∩B＝，??

求实数k的取值范围．

解： 集合A表示直线y＝－3x－2上除去点(－1,1)外所有点的集合，集合B表示直线y＝kx＋3上所有点的集合，A∩B＝，所以两直线平行或直线y＝kx＋3过点(－1,1)，所以k＝2或k＝－3.

例3 【答案】 A 解析：由于T∪V＝Z，故整数1一定在T，V两个集合中的一个中，不妨设1∈T，则a，b∈T，

由于a，b,1∈T，则a·b·1∈T，即ab∈T，从而T对乘法封闭；

另一方面，当T＝{非负整数}，V＝{负整数}时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对；

当T＝{奇数}，V＝{偶数}时，T，V显然关于乘法都是封闭的，故B，C不对． 从而本题就选A.

例4 证明：(1) ax－bx2≤1对x∈R恒成立，又b＞0, ∴ a2－4b≤0，∴ 0＜a≤2b. (2) 必要性，∵ x∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，∴ bx2－ax≤1且bx2－ax≥－1， 显然x＝0时成立，

111

对x∈(0,1]时a≥bx－且a≤bx＋，函数f(x)＝bx－在x∈(0,1]上单调增，f(x)最大值

xxxf(1)＝b－1.

1111

函数g(x)＝bx＋在?0，?上单调减，在?，1?上单调增，函数g(x)的最小值为g??x?b??b??b?＝2b，∴ b－1≤a≤2b，故必要性成立；

a2a2aa112

充分性：f(x)＝ax－bx＝－b(x－)＋，＝×≤1×≤1，

2b4b2b2bbba2

f(x)max＝≤1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a－b，

4b

f(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a－b中取最小的，又a－b≥－1， ∴ －1≤f(x)≤1，故充分性成立； 综上命题得证．

变式训练 命题甲：方程x2＋mx＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m的取值范围．

2

??Δ1＝m－4＞0，

解： 使命题甲成立的条件是： ?m＞2.

?x1＋x2＝－m＜0?

∴ 集合A＝{m|m>2}．

5

使命题乙成立的条件是：Δ2＝16(m－2)2－16<0，∴ 1＜m＜3. ∴ 集合B＝{m|1

若命题甲、乙有且只有一个成立，则有： ① m∈A∩

B，② m∈

A∩B.

若为①，则有：A∩若为②，则有：B∩

B＝{m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}＝{m|m≥3}； A＝{m|1

综合①、②可知所求m的取值范围是{m|1

2. 若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 3. 4 解析：A＝(0,4]，AB, ∴ a＞4, ∴ c＝4.

4. 8 解析：画韦恩图．设同时参加数学和化学小组的有x人，则20－x＋11＋x＋4＋9－x＝36，x＝8.

5. 3或4 解析：令f(x)＝x2－4x＋n，n∈N*，f(0)＝n＞0, ∴ f(2)≤0即n≤4，故n＝1,2,3,4，经检验，n＝3,4适合，或直接解出方程的根，x＝2±4－n，n∈N*，只有n＝3,4适合． 6. 3 解析：正确的是①③④，在②中－3∈[2]才对．

6

第2讲 函数、图象及性质

1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一．

2. 重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数．

3. 难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题．

1. 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________.

?x＋1?0

2.函数f(x)＝的定义域为________．

|x|－x

11－?＝2，则f??3.函数f(x)的定义域是R，其图象关于直线x＝1和点(2 , 0)都对称，f??2??2?2009?＋f??2?＝________.

4.函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝mx＋2，对x1∈[－1,2]，x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数m的取值范围是________．

【例1】 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.

(1) 求f(x)的解析式；

37

(2) 是否存在整数m使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实

x数根？若存在，求出m值；若不存在，说明理由．

a

【例2】 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．

x(1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2) 若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．

【例3】 设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，常数a为实数)．

7

(1) 若f(x)为偶函数，求实数a的值； (2) 设a>2，求函数f(x)的最小值.

【例4】 (2011·苏锡常镇模拟)已知函数f(x)＝x＋a＋a|x|，a为实数． (1) 当a＝1，x∈[－1,1]时，求函数f(x)的值域；

31

(2) 设m、n是两个实数，满足m＜n，若函数f(x)的单调减区间为(m，n)，且n－m≤，

16求a的取值范围．

1. (2011·辽宁)若函数f(x)＝

x

为奇函数，则a＝________.

?2x＋1??x－a?

2.(2011·湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝________.

3.(2011·上海)设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若f(x)＝x＋g(x)在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为____________．

4.(2011·北京)已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为________．

5.(2011·上海) 已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0. (1) 若ab>0，判断函数f(x)的单调性；

(2) 若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．

6.(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1) 当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2) 当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)

(2011·镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1) 如果x∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域；

8

f?x?＋g?x?－|f?x?－g?x?|

(2) 求函数M(x)＝的最大值；

2

(3) 如果对不等式f(x2)f(x)＞kg(x)中的任意x∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

解：令t＝log2x，(1分) (1) h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(t－1)2＋2，(2分) ∵ x∈[1,4]，∴ t∈[0,2]，(3分) ∴ h(x)的值域为[0,2]．(4分) (2) f(x)－g(x)＝3(1－log2x)，

当0＜x≤2时，f(x)≥g(x)；当x＞2时，f(x)＜g(x)，(5分)

?g?x?，f?x?≥g?x?，?log2x，0

∴ M(x)＝? M(x)＝?(6分)

???f?x?，f?x?＜g?x?，?3－2log2x，x>2，

当0＜x≤2时，M(x)最大值为1；(7分)

当x＞2时，M(x)＜1.(8分)

综上：当x＝2时，M(x)取到最大值为1.(9分)

(3) 由f(x2)f(x)＞kg(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x， ∵ x∈[1,4]，∴ t∈[0,2]，

∴ (3－4t)(3－t)＞kt对一切t∈[0,2]恒成立，(10分) ①当t＝0时，k∈R；(11分)

?3－4t??3－t?9

②t∈(0,2]时，k＜恒成立，即k＜4t＋－15，(12分)

tt993

∵ 4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号．(13分)

tt29

∴ 4t＋－15的最小值为－3.

t综上：k＜－3.(14分)

第2讲 函数、图象及性质

1. 已知a＝

5－1

，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系2

为________．

【答案】 m＜n 解析： 考查指数函数的单调性

a＝5－1

∈(0,1)，函数f(x)＝ax在R上递减．由f(m)＞f(n)得：m

2. 设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|. (1) 若f(0)≥1，求a的取值范围； (2) 求f(x)的最小值；

(3) 设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．

点拨： 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．

9

??a＜0，

解：(1) 若f(0)≥1，则－a|a|≥1?2a≤－1.

?a≥1?

∴ a的取值范围是(－∞，－1]

(2) 当x≥a时，f(x)＝3x2－2ax＋a2， f?a?，a≥0，2a，a≥0，????2

f(x)min＝??a?＝?2a

，a＜0，f，a＜0????3??3

2

??f?－a?，a≥0，－2a，a≥0，??22

??当x≤a时，f(x)＝x＋2ax－a，f(x)min＝＝2 ?f?a?，a＜0???2a，a＜0，

2

2

－2a，a≥0，??2

综上f(x)min＝?2a

，a＜0.??3

(3) x∈(a，＋∞)时，h(x)≥1得3x2－2ax＋a2－1≥0，Δ＝4a2－12(a2－1)＝12－8a2. 当a≤－

66

或a≥时，Δ≤0，x∈(a，＋∞)； 22

a－3－2a2??a＋3－2a2?????x－??x－?≥0，6633???当－＜a＜时，Δ＞0，得：?? 22

??x＞a，讨论得：当a∈?

26?

时，解集为(a，＋∞)； ，?22?

62?a－3－2a2??a＋3－2a2?? ?当a∈－，－时，解集为?a，∪???，＋∞2??233????22?a＋3－2a2??. ?当a∈－，时，解集为??，＋∞2??23??综上，当a∈?－∞，－

?

6??222???∪时，，＋∞时，解集为(a，＋∞)，当a∈－，2??2??22?62?a＋3－2a2a－3－2a2?????解集为??，＋∞?，当a∈?－2，－2?时，解集为?a，33????a＋3－2a2??

∪?，＋∞?.

3??

基础训练 111. x2＋x 22

??x＋1≠0，2. (－∞，－1)∪(－1,0) 解析：?x＜0，x≠－1.

?|x|－x＞0?

3. －4 解析：函数图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，函数图象关于点(2 , 0)

对称，则f(x)＝－f(4－x)，∴ f(x＋2)＝－f(x)，∴ f(x＋4)＝f(x)，

10

2 009??1111

1 004＋?＝f??，又f?－?＝－f?4＋?＝ ∴ f?＝f2??2??2???2??2?1??1??2 009??1?＝－2f?－1?＝－4. －f?，f＋f＝2f?2??2??2??2??2?

1

－1，? 解析：x∈[－1,2]时，f(x)∈[－1,3]．m≥0，x∈[－1,2]时，g(x)∈[2－m,24. ?2??＋2m]；m＜0，x∈[－1,2]时，g(x)∈[2＋2m,2－m]．m≥0，[2－m，2＋2m][－1,3]；m＜11

－1，?. 0，[2＋2m,2－m][－1,3]得0≤m≤或－1≤m<0，故实数m的取值范围是?2??2例题选讲

例1 解： (1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5), ∴ 可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)．

∴ f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.

由已知得6a＝12, ∴ a＝2, ∴ f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．

37

(2) 方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0.设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h′(x)

x＝6x2－20x＝2x(3x－10)．

1010

0，?时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈?，＋∞?时，h′(x)＞0，h(x)是当x∈?3???3?增函数．

10?1?3，10?，?10，4?∵ h(3)＝1＞0，h?＝－＜0，h(4)＝5＞0，∴ 方程h(x)＝0在区间3??3?3???27内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m37

＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不同的实数根．

x

变式训练 已知函数y＝f (x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(x)(－1≤x≤1)的图象关于原点对称．又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5.

(1) 证明：f(1)＋f(4)＝0；

(2)求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式； (3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．

(1)证明： ∵ f (x)是以5为周期的周期函数，∴ f(4)＝f(4－5)＝f(－1)， 又∵ y＝f(x)(－1≤x≤1)关于原点对称，∴ f(1)＝－f(－1)＝－f(4), ∴ f(1)＋f(4)＝0.

(2)解： 当x∈[1,4]时，由题意可设f(x)＝a(x－2)2－5(a＞0)， 由f(1)＋f(4)＝0得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴ a＝2， ∴ f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)．

(3)解： ∵ y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴ f(0)＝0，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴ 可设f(x)＝kx(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴ k＝－3，∴ 当0≤x≤1时，f(x)＝－3x，从而当－1≤x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1时，f(x)＝－3x，∴ 当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴ f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15，

当6＜x≤9时，1＜x－5≤4，∴ f(x)＝f(x－5)＝2[(x－5)－2]2－5＝2(x－7)2－5，∴ f(x)

??－3x＋15，4≤x≤6，＝? 2

?2?x－7?－5，6＜x≤9.?

11

点评：紧抓函数几个性质，将未知的转化为已知的，注意函数图象及端点值．

例2 解： (1) 当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2

＝x2＝f(x), ∴ f(x)为偶函数．

a

当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，

x

取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， ∴ f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，

∴ 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2) (解法1)设2≤x1＜x2，

aa?x1－x2?2

f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2[x1x2(x1＋x2)－a]， 2－＝x1x2x1x2

要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)＜0恒成立． ∵ x1－x2＜0，x1x2＞4，即a＜x1x2(x1＋x2)恒成立． 又∵ x1＋x2＞4, ∴ x1x2(x1＋x2)＞16. ∴ a的取值范围是(－∞，16]．

(解法2)当a＝0时，f(x)＝x2，显然在[2，＋∞)为增函数． a

当a＜0时，反比例函数在[2，＋∞)为增函数，

xa

∴ f(x)＝x2＋在[2，＋∞)为增函数．

x当a＞0时，同解法1.

a

(解法3)f′(x)＝2x－2≥0，对x∈[2，＋∞)恒成立．∴ a≤2x3而y≤2x3.在[2，＋∞)

x上单调增，最小值为16，∴ a≤16.

点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题． 例3 解：(1) 由已知f(－x)＝f(x)，即|2x－a|＝|2x＋a|，解得a＝0.

?x＋2x－a，x≥2a，

(2) f(x)＝?1

x－2x＋a，x＜a，?2

22

1

1

当x≥a时，f(x)＝x2＋2x－a＝(x＋1)2－(a＋1)，

2

1

由a＞2，x≥a，得x＞1，从而x＞－1，又f′(x)＝2(x＋1)，

2a?a21?故f(x)在x≥a时单调递增，f(x)的最小值为f?2?＝；

241

当x＜a时，f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋(a－1)，

2

a

故当1＜x＜时，f(x)单调递增，当x＜1时，f(x)单调递减，

2则f(x)的最小值为f(1)＝a－1；

?a－2?2a2

由－(a－1)＝＞0，知f(x)的最小值为a－1. 44点评：本题考查二次函数含参数最值的讨论方法．

12

变式训练 已知函数f(x)＝x|x－2|.设a＞0，求f(x)在[0，a]上的最大值．

22??x－2x＝?x－1?－1，x≥2，

解： f(x)＝x|x－2|＝?2 2

?－x＋2x＝－?x－1?＋1，x＜2.?

∴ f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和[2，＋∞); 单调递减区间是[1,2]．

① 当0＜a≤1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；

② 当1＜a≤2时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；

③ 当a＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a－2)－1＝a2－2a－1＞0, 解得a＞1＋2. 若2＜a≤1＋2，则f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1； 若a＞1＋2，则f(a)＞f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a－2)．

综上，当0＜a＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1≤a≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a＞1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a－2)．

例4 解： 设y＝f(x)，

(1) a＝1时，f(x)＝x＋1＋|x|，

当x∈(0,1]时，f(x)＝x＋1＋x为增函数，y的取值范围为(1,1＋2]． 当x∈[－1,0]时，f(x)＝x＋1－x，令t＝x＋1，0≤t≤1，

155

t－?2＋，0≤t≤1，y的取值范围为?1，?. 则x＝t2－1，y＝－??2?4?4?5

∵ ＜1＋2， 4

∴x∈[1,1]时，函数f(x)的值域为[1,1＋2]．

(2) 令t＝x＋a，则x＝t2－a，t≥0，y＝g(t)＝t＋a|t2－a|. ① a＝0时，f(x)＝x无单调减区间；

11

－，＋∞?上g(t)是减函数，则在?2－a，＋∞?② a＜0时，y＝g(t)＝at2＋t－a2，在??2a??4a?上f(x)是减函数．∴a＜0不成立．

22

?－at＋t＋a，0≤t≤a，

③ a＞0时，y＝g(t)＝?2

?at＋t－a2，t＞a.

311

仅当＜a，即a＞时，

2a2

11

，a?时，g(t)是减函数，即x∈?2－a，0?时，f(x)是减函数． 在t∈??2a??4a?∴n－m＝a－

131

，即(a－2)(16a2＋a＋2)≤0. ∴a≤2. 2≤4a16

故a的取值范围是?高考回顾

?31?，2?. ?4?

1

1. 解析：f(－x)＝－f(x)恒成立或从定义域可直接得到． 2

13

ex＋ex

2. g(x)＝ 解析： 因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)

2

－

＝f(x)－g(x)＝ex.

－

ex＋ex

又因为f(x)＋g(x)＝e，所以g(x)＝. 2

－

x

3. [－2,7] 解析：设x1∈[0,1]，则f(x1)＝x1＋g(x1)∈[－2,5]，∵ g(x)是定义域为R周期为1的函数，∴ 当x2∈[1,2]时，f(x2)＝x1＋1＋g(x1＋1)＝1＋x1＋g(x1)＝1＋f(x1)∈[－1,6]，当x2∈[2,3]时，f(x2)＝x1＋2＋g(x1＋2)＝2＋x1＋g(x1)＝2＋f(x1)∈[0,7]，∴ f(x)在区间[0,3]上的值域为[－2,7]．

4. 4 解析：AB＝22，直线AB的方程为x＋y＝2，在y＝x2上取点C(x，y)，点C(x，

|x＋y－2|

y)到直线AB的距离为2，＝2，|x＋x2－2|＝2，此方程有四个解．

2

5. 解：(1) 当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)，

∵ 2x1＜2x2，a＞0a(2x1－2x2)＜0,3x1＜3x2，b＞0b(3x1－3x2)＜0， ∴ f(x1)－f(x2)＜0，函数f(x)在R上是增函数．

当a＜0，b＜0时，同理函数f(x)在R上是减函数．

3?xa

(2) f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0，当a＜0，b＞0时，?＞－，则 ?2?2ba3aa

－?；当a＞0，b＜0时，??x＜－，则x＜log1.5?－?. x＞log1.5??2b??2??2b?2b

6. 解：(1) 由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，

??200a＋b＝0，

显然v(x)＝ax＋b在[20,200]是减函数，由已知得?解得

?20a＋b＝60，?

?

?200?b＝3.

1a＝－，

3

故

60，0≤x≤20，??

函数v(x)的表达式为v(x)＝?1

?200－x?，20

60x，0≤x≤20，??

(2) 依题意并由(1)可得f(x)＝?1

??3x?200－x?，20

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 11x＋?200－x??210 000

当20

10 000

. 3

10 000

≈3 333， 3

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．

14

第3讲 基本初等函数

1. 掌握指数函数的概念、图象和性质． 2. 理解对数函数的概念、图象和性质．

3. 能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题． 4. 了解幂函数的定义，熟悉常见幂函数的图形与性质．

1. 函数y＝loga(x＋2)＋1(a>0，a≠1)的图象经过的定点坐标为________．

2.函数y＝lg(x2－2x)的定义域是________.

3.函数y＝ax(a>0，a≠1)在R上为单调递减函数，关于x的不等式a2x－2ax－3>0的解集为________．

4.定义：区间[x1，x2](x1

ax2＋1

【例1】 函数f(x)＝(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)＝2，f(2)<3.

bx＋c(1) 求a，b，c的值；

(2) 当x<0时，讨论f(x)的单调性．

【例2】 已知函数f(x)＝2x－

1. 2|x|(1) 若f(x)＝2，求x的值；

(2) 若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．

【例3】 已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a≠0，b<1)，在区间[2,3]上有最大值4，最g?x?

小值1，设f(x)＝.

x

15

(1) 求a，b的值； (2) 不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上恒成立，求实数k的取值范围；

2

(3) 方程f(|2x－1|)＋k?|2x－1|－3?＝0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

??

【例4】 (2011·盐城二模)已知函数f(x)＝

x＋a

是定义在R上的奇函数，其值域为x2＋b

?－1，1?. ?44?

(1) 试求实数a、b的值；

(2) 函数y＝g(x)(x∈R)满足：当x∈[0,3)时，g(x)＝f(x)；g(x＋3)＝g(x)lnm(m≠1)． ① 求函数g(x)在x∈[3,9)上的解析式；

② 若函数g(x)在x∈[0，＋∞)上的值域是闭区间，试探求实数m的取值范围，并说明理由．

1. (2011·广东)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.

2.(2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．

1x??2，x≤1，

3.(2011·辽宁)设函数f(x)＝?则满足f(x)≤2的x的取值范围是

?1－logx，x>1，?2

－

________．

4.(2011·山东)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.

2

5.(2009·山东)已知函数f(x)＝x－＋a(2－lnx)(a>0)，讨论f(x)的单调性．

x

6.(2011·陕西)设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)． (1) 求g(x)的单调区间和最小值； 1?(2) 讨论g(x)与g??x?的大小关系；

16

1

(3) 求实数a的取值范围，使得g(a)－g(x)＜对任意x＞0成立．

a

(2011·常州模考)(本小题满分16分)已知a为实数，函数f(x)＝(1＋ax)ex，函数g(x)＝1

，令函数F(x)＝f(x)·g(x)． 1－ax

(1) 若a＝1，求函数f(x)的极小值； 1

(2) 当a＝－时，解不等式F(x)＜1；

2

(3) 当a＜0时，求函数F(x)的单调区间． 解：(1) 当a＝1时，f(x)＝(1＋x)ex.

则f′(x)＝(x＋2)ex.令f′(x)＝0，得x＝－2.(1分) 列表如下：

x f′(x) f(x) (－∞，－2) －  －2 0 极小值f(－2) －(－2，＋∞) ＋  ∴ 当x＝－2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(－2)＝－e2.(3分) 2－xx1

(2) 当a＝－时，F(x)＝e，定义域为{x|x≠－2，x∈R}．

22＋x

?2－x?′ex＋2－x(ex)′＝－xe＜0，

∵ F′(x)＝??2＋x?2＋x?2?2＋x?

∴ F(x)在(－∞，－2)及(－2，＋∞)上均为减函数．(5分)

∵ 当x∈(－∞，－2)时，F(x)＜0，∴ x∈(－∞，－2)时，F(x)＜1. ∵ 当x∈(－2，＋∞)时，F(0)＝1，∴ 由F(x)＜1＝F(0)，得x＞0. 综上所述，不等式F(x)＜1的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(7分) 1＋axx1??

x∈R，x≠??. (3) 函数F(x)＝e，定义域为?x?a????1－ax2a＋1－a2?x2－2?a?x－ax＋2a＋1x?

当a＜0时，F′(x)＝e＝e.

?1－ax?2?1－ax?222

2x

2a＋1

令F′(x)＝0，得x2＝2.(9分)

a1

① 当2a＋1＜0，即a＜－时，F′(x)＜0.

2

111

－∞，?∪?，＋∞?.(11分) ∴ 当a＜－时，函数F(x)的单调减区间为?a??a??22a＋12a＋12a＋11

② 当－＜a＜0时，解x2＝2得x1＝，x2＝－. 2aaa2a＋11

∵ ＜，

aa

17

11

－∞，?，x∈?，x1?，x∈(x2，＋∞)； ∴ 令F′(x)＜0，得x∈?a???a?令F′(x)＞0，得x∈(x1，x2)．(13分) 1

∴ 当－＜a＜0时，函数F(x)的单调减区间为

22a＋1??2a＋11?； ?－∞，1?∪?∪????，－，＋∞a??a?a??a?函数F(x)单调增区间为?

2a＋1??2a＋1

?.(15分) ，－

a??a

1

③ 当2a＋1＝0，即a＝－时，由(2)知，函数F(x)的单调减区间为(－∞，－2)∪(－2，

2＋∞)．(16分)

第3讲 基本初等函数

1. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.

【答案】 －8 解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)，对f(x)是奇函数，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.

2. 已知函数f(x)＝x－(k－k＋1)x＋5x－2，g(x)＝kx＋kx＋1，其中k∈R. (1) 设函数p(x)＝f(x)＋g(x)．若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围；

3

2

2

22

?g?x?，x≥0，?

(2) 设函数q(x)＝?是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的

??f?x?，x＜0.

非零实数x2(x2≠x1)，使得q′(x2)＝q′(x1)成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理

由．

解： (1)因p(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋(k－1)x2＋(k＋5)x－1，

p′(x)＝3x2＋2(k－1)x＋(k＋5)，因p(x)在区间(0,3)上不单调，所以p′(x)＝0在(0,3)?3x2－2x＋5?

上有实数解，且无重根，由p′(x)＝0得k(2x＋1)＝－(3x－2x＋5)，∴ k＝－＝

2x＋1

2

91039

－??2x＋1?＋2x＋1－3?，令t＝2x＋1，有t∈(1,7)，记h(t)＝t＋，则h(t)在(1,3]上单调递4?t?9减，在[3,7)上单调递增，所以有h(t)∈[6,10]，于是(2x＋1)＋∈[6,10)，得k∈(－5，－

2x＋12]，而当k＝－2时有p′(x)＝0在(0,3)上有两个相等的实根x＝1，故舍去，所以k∈(－5，

18

－2)．

(2) 当x＜0时，有q′(x)＝f′(x)＝3x2－2(k2－k＋1)x＋5；

当x＞0时，有q′(x)＝g′(x)＝2k2x＋k，因为当k＝0时不合题意，因此k≠0，

下面讨论k≠0的情形，记A＝(k，＋∞)，B＝(5，＋∞)①，当x1＞0时，q′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以要使q′(x2)＝q′(x1)成立，只能x2＜0且AB，因此有k≥5，②当x1＜0时，q′(x)在(－∞，0)上单调递减，所以要使q′(x2)＝q′(x1)成立，只能x2＞0且BA，因此k≤5，综合①②k＝5；

当k＝5时A＝B，则x1＜0，q′(x1)∈B＝A，即x2＞0，使得q′(x2)＝q′(x1)成立，因为q′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x2的值是唯一的；

同理，x1＜0，即存在唯一的非零实数x2(x2≠x1)，使q′(x2)＝q′(x1)成立，所以k＝5满足题意．

基础训练 1. (－1,1)

2. {x|x＜0或x＞2}

3. (－∞，loga3) 解析：由题知0＜a＜1，不等式a2x－2ax－3＞0可化为(ax－3)(ax＋1)＞0，ax＞3，x＜loga3.

4.

151115 解析：由函数y＝|log0.5x|得x＝1，y＝0；x＝4或x＝时y＝2,4－＝. 4444

例题选讲

例1 解：(1)函数f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)恒成立，∴ c＝0，又由f(1)＝2，f(2)＜a＝2b－1，??x2＋1313得?4a＋1 0＜b＜，b∈Z ∴ b＝1，a＝1.(2) f(x)＝＝x＋，函数在(－∞，－

2xx＜3，?2b?1)上递增，在(－1,0)上递减．

－2x＋b

变式训练 已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．

2＋a

(1) 求a，b的值；

(2) 若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围． b－1

解： (1) 因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0b＝1, ∴ f(x)＝

a＋211－21－21－2

＝－a＝2. x＋1，又由f(1)＝ －f(－1)知a＋2a＋4a＋1

x

经检验符合题意，∴ a＝2，b＝1.

1－2x11

(2) (解法1)由(1)知f(x)＝， x＋1＝－＋x22＋12＋2

易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：

f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，

因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t＞k－2t2.即对一切t∈R有：3t2－2t－k＞0，从而1

判别式Δ＝4＋12k＜0k＜－.

3

1－2x1－2t2－2t1－22t2－k

(解法2)由(1)知f(x)＝＋＜0，即：＋.又由题设条件得：2＋2x12＋2t2－2t＋12＋22t2－k＋1

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(22t2－k＋1＋2)(1－2t2－2t)＋(2t2－2t＋1＋2)(1－22t2－k)＜0，

整理得23t2－2t－k＞1，因底数2＞1，故： 3t2－2t－k＞0对一切t∈R均成立，从而判1

别式Δ＝4＋12k＜0k＜－. 3

1

例2 解：(1)当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2x－x，

21

由条件可知2x－x＝2，即22x－2·2x－1＝0，解得2x＝1±2，

2∵ x＞0，∴ x＝log2(1＋2)．

11

22t－2t?＋m?2t－t?≥0， (2) 当t∈[1,2]时，2t?2???2?即m(22t－1)≥－(24t－1), ∵ 22t－1＞0，∴ m≥－(22t＋1)．

∵ t∈[1,2]，∴ －(22t＋1)∈[－17，－5]． 故m的取值范围是[－5，＋∞)．

变式训练 设函数f(x)＝ax满足条件：当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1.当x∈(0,1]时，不等式f(3mx－1)＞f(1＋mx－x2)＞f(m＋2)恒成立，求实数m的取值范围．

解： 由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1＋mx－x2)＞f(m＋2)，x∈(0,1]恒成立

?3mx－1＜1＋mx－x2，??在x∈(0,1]上恒成立． 2

?1＋mx－x＜m＋2，?

22

???2mx＜2－x，?2mx＜2－x，

?整理，当x∈(0,1]时，?2恒成立．当x＝1时，2恒成?m?x－1?＜1＋x.???m?x－1?＜1＋x

1

立，则m＜.

2

??

当x∈(0,1)时，?1＋x

m＞??x－1

2－x211

∴ ＞，∴ m≤. 2x22

2－x2

m＜，2x

2

2－x21x

恒成立， ＝－在(0,1)上单调减，

2xx2

x2＋1x2＋12

又∵ ＝(x－1)＋＋2，在x∈(0,1)上是减函数，∴ ＜－1.

x－1x－1x－1

x2＋1∴ m＞恒成立m≥－1，当x∈(0,1)时，

x－1

??

?1＋x??m＞x－1，2

2－x2m＜，2x

1－1，?. 恒成立m∈?2??

综上，使x∈(0,1]时，f(3mx－1)＞f(1＋mx－x2)＞f(m＋2)恒成立，实数m的取值范围1

－1，?. 是?2??

例3 解：(1) g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a， 当a＞0时，g(x)在[2,3]上为增函数，

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