2012高考数学二轮专题复习13：数学思想方法

新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

专题十三 数学思想方法

【考纲解读】

1.熟练掌握函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.

2.能够对所学知识进行分类或归纳,能应用数学思想方法分析和解决问题,系统地把握知识间的内在联系.

【考点预测】

1.函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点，也是高考的一个热点。对函数试题的设计仍然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图象、应用考查函数知识；与方程、不等式、解析几何等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查。

2.预测在今年的高考中,数形结合与分类讨论思想仍是考查的一个热点，数形结合的考查方式常以数学式、数学概念的几何意义、函数图象、解析几何等为载体综合考查,分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前n项和有关的计算推证问题、直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等。

3.预测在今年的高考中,运用化归与转化思想解题的途径主要有：借助函数、方程（组）、辅助命题、等价变换、特殊的式与数的结构、几何特征进行转化,其方法有:正反转化、数形转化、语义转化、等与不等、抽象问题与具体问题化归，一般问题与特殊问题化归，正向思维与逆向思维化归。

【要点梳理】

1.函数与方程思想：我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

2.数形结合的思想:是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择与填空题时发挥着奇特功效.具体操作时,应注意以下几点:(1)准确画图,注意函数的定义域;(2)用图象法讨论方程的解的个数.

3．与分类讨论有关的知识点有：直线的斜率分为存在和不存在两种情形、等比数列中的公比q?1和由参数的变化引起的分类讨论、由图形的不确定性引起的分类讨论、指对函数的底数a分为a?1和q?1、

0?a?1两种情形等。分类的原则是：不重复、不遗漏、分层次讨论。分类讨论的一般流程是：明确讨论

的对象、选择分类的标准、逐类进行讨论、归纳整合。

4．转化与化归常用的方法有：直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法等。

【考点在线】

考点一 函数与方程思想

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f

?1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图

像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

例1. (2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)?

1

2x的图象

新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________. 【答案】4

?y?kx2k?(,【解析】设坐标原点的直线方程为y?kx(k?0),则由?解得交点坐标为2k?y?x?2kk2k)、

(?,?2k)，即为P、Q两点，所以线段PQ长为22k?2k?222k?2k?4，当且仅当k?1时等

号成立，故线段PQ长的最小值是4.

【名师点睛】本小题考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题. 【备考提示】：正确理解函数与方程思想是解答好本类题的关键.

练习1: (2011年高考山东卷理科16)已知函数f（x）=logax?x?b(a＞0，且a?1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0?(n,n?1),n?N*,则n= . 【答案】2

【解析】方程logax?x?b(a=0的根为x,即函数y?logax(2?a?3)的图象与函数＞0，且a?1)0y?x?b(3?b?4)的交点横坐标为x0,且x0?(n,n?1),n?N,结合图象,因为当x?a(2?a?3)*时,y?1,此时对应直线上y?1的点的横坐标x?1?b?(4,5);当y?2时, 对数函数y?logx(?2a?的图象上点的横坐标3x?(4,9),直线y?x?b(3?b?4)的图象上点的横坐标ax?(5,6),故所求的n?2.

考点二 数形结合思想

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

例2. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。

2

2 新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

?3?x?0?3?x?0【解析】 原方程变形为 ? ,即：?, 22?x?3x?m?3?x(x?2)?1?m??设曲线y1＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图像如图所示.由图可知：

2② 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;

②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3

∴ m＝1或－3

此题也可设曲线y1＝－(x－2)＋1 , x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图像求解。

【名师点睛】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决.

【备考提示】：一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）.

?2x?2?,练习2：(2011年高考北京卷理科13)已知函数f(x)??x若关于x 的方程f(x)=k有两个不同

?(x?1)3,x?2?2的实根，则数k的取值范围是____ ___. 【答案】（0，1）

【解析】画出函数图象与直线y=k,观察,可得结果.

考点三 分类讨论思想

例3. (2011年高考全国新课标卷理科21) 已知函数f(x)?alnxx?1?bx，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?2y?3?0。

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，f(x)?a(x?1?lnx)?lnxx?1bx2?kx，求k的取值范围.

【解析】（Ⅰ）?f?(x)?x2(x?1)?f(1)?1?b?1??，由题意知：?1即?a1

?f?(1)????b??22??2?a?b?1

3

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（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?lnx11lnxx?1?1x，所以，

2?(k?1)(x?1)?f(x)?(?)?2lnx?? 2?x?1xx1?x??设h(x)?2lnx?(k?1)(x?1)x22,(x?0)则，h?(x)?(k?1)(x?1)?2xx22

⑴如果k?0，由h?(x)?k(x?1)?(x?1)x22知，当x?1时， h?(x)?0，而h(1)?0

11-xkx2故，由当x?(0,1)时h?(x)?0,当x?(1,??),时h?(x)?0得：从而，当x?0时，f(x)?(lnxx?1?11?kkx)?0,即f(x)?lnxx?12h(x)?0

?

⑵如果k?(0,1)，则当，x?(1,而h(1)?0；h(x)?0得：⑶如

11-x)时，?(k?1)(x?1)?2x?0,h?(x)?0

2h(x)?0与题设矛盾；

11-x2k?1，那么，因为h?(x)?0而h(1)?0，?x?(1,??)时，由h(x)?0得：h(x)?0与题

设矛盾；

综合以上情况可得：k????,0?.

【名师点睛】本题综合考察导数的概念、性质、求导法则、导数的应用、分类讨论等概念、性质、方法和思想, 特别是第(2)问通过构造新函数，用导数判定单调性，通过分类讨论确定参数的取值范围,要深入理解和把握并进行拓展.

【备考提示】：分类讨论思想是高考的热点,年年必考,深刻领会分类讨论的思想是解决好本类题目的关键. 练习3：(2011年高考湖南卷理科22第(1)问)已知函数f?x??x,g?x??x?3x.求函数

h?x??f?x??g?x?的零点个数，并说明理由；

【解析】由h?x??x?x?3x知，x??0,???，而h?0??0,且h?1???1?0，

h?2??6?2?0，则x?0为h?x?的一个零点，且h?x?在?1,2?内由零点，

因此h?x?至少有两个零点.

h??x??3x?1?212x?12,记??x??3x?1?212x?12,则???x??6x?14x?32,

当x??0,???时，???x??0,因此??x?在?0,???上单调递增，则??x?在?0,???上至多有一个零点，又因

4

新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

?3??3???,1?内有零点.所以??x?在?0,???上有且只有一个零点，记此?0，则??x?在?为??1??0，??????3??3?零点为x1，则当x??0,x1?时，??x????x1??0;当x??x1,???时，??x????x1??0;

所以，当x??0,x1?时，h?x?单调递减，而h?0??0,则h?x?在?0,x1?内无零点；当x??x1,???时，h?x?h?x?单调递增，则h?x?在?x1,???内至多只有一个零点，从而h?x?在?0,???上至多有一个零点.综上所述，

有且只有两个零点.

考点四 转化与化归的思想

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

在数学操作中实施转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问

题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式?等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力.

例4. 若x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(

?1x－1)(

1y－1)(

1z－1)的最小值。

【解析】(

1x－1)(

1y－1)(

1z－1)＝

1xyz（1－x）(1－y)(1－z)

＝

1xyz(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝

1xyz(xy＋yz＋zx－xyz)

＝

1x＋

1y＋

1z－1≥3

13xyz－1＝

33xyz－1≥

3x?y?z3－1＝9

【名师点睛】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求

1x＋

1y＋

1z的

最小值，则不难由平均值不等式而进行解决.本题的关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化,此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变. 【备考提示】：熟练转化与化归的思想是解答好本题的关键.

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练习4.已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为_____。 A.

152 B. 10 C.

252 D.

352

【答案】A 【解析】由S?ADE＝

【易错专区】 问题：分类讨论

例.已知集合A={x|x－3x＋2=0},B={x|x－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为______． 【解析】 ∵ A∪B=A， ?B?A,

2

2

14S?ABC和三棱椎的等体积转化容易求.

∵ A={1，2}，∴ B=?或B={1}或B={2}或B={1，2}． 若B=?，则令△<0得a∈?；

若B={1}，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；

若B={2}，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根，∴a∈?；

若B={1，2}则令△>0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3． 综上a的值为2或3．

【名师点睛】：本题讨论时,要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况． 【备考提示】：分类讨论是高考的一个热点,在二轮复习时,要有意识地去应用,注意问题点. 【考题回放】

A???x,y?|x、yx?y?1?221.(2011年高考广东卷文科2)已知集合实数，且

x?y?1?为实数，且，

B???x,y?|x、y为

，则A?B的元素个数为（ ） B．3

C．2

D．1

A．4

【答案】C

?x2?y2?1?x?1?x?0??或?【解析】方法一：由题得?，A?B?{(x,y)|(1,0),(0,1)}，所以选C. ?y?0?y?1?x?y?1方法二：直接作出单位圆x2?y2?1和直线x?y?1，观察得两曲线有两个交点，故选C.

2.（2011年高考湖南卷文科1)设全集U?M?N?{1,2,3,4,5},M?CUN?{2,4},则N?（ ） A．{1,2,3} B．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 【答案】B

【解析】画出韦恩图，可知N?{1,3,5}.

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3.(2011年高考全国卷理科7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( ) (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种 【答案】B

【解析】：选画册2本，集邮册2本，共有赠送方法c4?6，选画册1本，集邮册3本，共有赠送方法c4?4，故共有赠送方法4+6=10种，故选B.

a?b?1,?a,4. (2011年高考天津卷理科8)对实数a与b，定义新运算“?”：a?b?? 设函数

.?b,a?b?1f(x)??x?2???x?x2221?,x?R.若函数y?f(x)?c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范

围是（ ）

A．???,?2????1,?1?C．???,4??3?? B．???,?2??2?3???1,???

4????1??,????? D.

4???3??1???1,??,??????4??4??【答案】B

【解析】由题意知,若x?2?(x?x)?1,即?1?x?x??1或x?322232时, f(x)?x?2;当x?2?(x?x)?1,即

2222时, f(x)?x?x,要使函数y?f(x)?c的图像与x轴恰有两个公共点，只须方程

f(x)?c?0有两个不相等的实数根即可,即函数y?f(x)的图像与直线y?c有两个不同的交点即可,画

出函数y?f(x)的图像与直线y?c,不难得出答案B. 5.(2011年高考江苏卷14)设集合A?{(x,y)|m2?(x?2)?y22?m,x,y?R},

2B?{(x,y)|2m?x?y?2m?1,x,y?R}, 若A?B??, 则实数m的取值范围是______________

【答案】

12?m?2?1

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6. (2011年高

3?(?1)2n考天津卷理科20)已知数列{an}与{bn}满足：bnan?an?1?bn?1an?2?0,bn?a1?2,a2?4．

， n?N*，且

（Ⅰ）求a3,a4,a5的值；

（Ⅱ）设cn?a2n?1?a2n?1,n?N，证明：?cn?是等比数列；

*4n（Ⅲ）设Sk?a2?a4?????a2k,k?N,证明：?k?1*Skak?76(n?N)．

*【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. （Ⅰ）解:由bn?3?(?1)2n?1,n是奇数,n?N*,可得bn??, 又bnan?an?1?bn?1an?2?0,

?2,n是偶数当n=1时,a1?a2?2a3?0,由a1?2,a2?4,得a3??3; 当n=2时,2a2?a3?a4?0,可得a4??5. 当n=3时,a3?a4?2a5?0,可得a5?4. （Ⅱ）证明:对任意n?N, a2n?1?a2n?2a2n?1?0,① 2a2n?a2n?1?a2n?2?0,②

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* 新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

a2n?1?a2n?2?2a2n?3?0,③

②-③得 a2n?a2n? ④, 3将④代入①,可得a2n?1?a2n?3??(a2n?1?a2n?1),即cn?1??cn(n?N*),又c1?a1?a3??1, 故cn?0,因此

cn?1cn??1,所以?cn?是等比数列.

（III）证明：由（II）可得a2k?1?a2k?1?(?1)，

于是，对任意k?N*且k?2，有

a1?a3??1,?(a3?a5)??1,a5?a7??1,?(?1)(a2k?3?a2k?1)??1.kk

将以上各式相加，得a1?(?1)a2k?1??(k?1), 即a2k?1?(?1)k?1k(k?1)，

k?1此式当k=1时也成立.由④式得a2k?(?1)(k?3).

从而S2k?(a2?a4)?(a6?a8)???(a4k?2?a4k)??k, S2k?1?S2k?a4k?k?3.

所以，对任意n?N*,n?2，

4n?k?1Skaknn??m?1(S4m?3a4m?3??S4m?2a4m?2??S4m?1a4m?1??S4ma4m2m)

??(m?1n2m?22m22m?12m?22m?32m?132m?3)

??m?1(2m(2m?1)n?(2m?2)(2m?2)3)

?22?313??m?252m(2m?1)5?(2n?2)(2n?3)3

n???m?2(2m?1)(2m?1)?(2n?2)(2n?3)

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?13?51111113 ?[(?)?(?)???(?)]?235572n?12n?1(2n?2)(2n?3)??1376?.56?522n?1?1?3(2n?2)(2n?3)

对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意n?N*,

S1a1?(?S2a2????S2n?1a2n?1S3a3??S2na2n

S1a1S2a2)?(S4a4)???(S2n?1a2n?1?S2na2n)

?(1?1414?1121)?(1?142?24?(4?1)222)???(1?14n?n(4?1)n)

?n?(?12)?(142?4(4?1)22)???(14n?n4(4?1)nn)

?n?(14?112)?n?13.

7.(2011年高考安徽卷理科20)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p?,p?,p?，假设p?,p?,p?互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q?,q?,q?，其中q?,q?,q?是p?,p?,p?的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；

（Ⅲ）假定??p??p??p?，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。

【命题意图】：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列，均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识。

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【解析】：（Ⅰ）无论怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(??p?)?(??p?)?(??p?)，所以任务能被完成的概率为??(??p?)?(??p?)?(??p?)=p??p??p??p?p??p?p??p?p??p?p?p?

（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q?,q?,q?时，所需派出人员数目X的分布

列为

X1 2 3 (??q?)?q?(??q?)?(??q?)P q?

所需派出人员数目X的均值（数字期望）EX是 EX???q????(??q?)?q????(??q?)?(??q?)????q??q??q??q?

（Ⅲ）（方法一）由（Ⅱ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人时，所需派出人员数目X的

均值（数字期望）EX是

EX????p??p??p??p?

按常理，优先派完成任务概率大的人，可减少所需派出人员的数目的均值。 下面证明：对于p?,p?,p?的任意组合q?,q?,q?，都有 ???q??q??q??q?????p??p??p??p? ??（＊） 事实上△=(???q??q??q??q?)?(???p??p??p??p?) =?(p??q?)?(p??q?)?q??q??p??p?

=?(p??q?)?(p??q?)?(p??q?)?p??(p??q?)?q? =(p??q?)(??p?)?(p??q?)(??q?)

?(??q?)[(p??p?)?(q??q?)]??,所以（＊）式成立。

（方法二）（i）可将（Ⅱ）中EX????q??q??q??q?改写为EX???(q??q?)?q??q??q?，

若交换前两人的顺序，则变为EX???(q??q?)?q??q??q?，由此可见，当q??q?时，交换前两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。

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（ii）也可将（Ⅱ）中EX????q??q??q??q?改写为EX????q??(??q?)?q?，若交换后两人

的顺序则变为EX????q??(??q?)?q?，由此可见，保持第一个人不变，当q??q?时，交换后两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。

组合（i）（ii）可知，当(q?,q?,q?)?(p?,p?,p?)时EX达到最小，即优先派完成任务概率大的人，可减少所需派出人员的数目的均值，这一结论也合乎常理。 【高考冲策演练】 一、选择题：

1．（2011年高考辽宁卷文科1)已知集合A={xx＞1}，B={x-1＜x＜2}}，则A?B=（ ） （A） {x-1＜x＜2}} （B）{xx＞-1} （C）{x-1＜x＜1}} （D）{x1＜x＜2} 【答案】D

【解析】利用数轴可以得到A?B={x1＜x＜2}. 2.如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么

12333222yx的最大值是( )

A. B. C. D. 3

【答案】D

【解析】转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题.

3．（2010年高考山东卷理科11）函数y=2x -x2的图像大致是( )

【答案】A

【解析】因为当x=2或4时，2x -x=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x -x=

2214?4<0，故排除D，所以选

A。

?x2+2x-3,x?04．（2010年高考福建卷理科4）函数（的零点个数为 ( ) fx)=?-2+lnx,x>0?A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】C

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新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

【解析】当x?0时，令x2?2x?3?0解得x??3；

当x?0时，令?2?lnx?0解得x?100，所以已知函数有两个零点，选C。 5.(2010年高考天津卷理科2)函数f(x)?2x?3x的零点所在的一个区间是( ) （A）（-2，-1） （B）（-1，0） （C）（0，1） （D）（1，2） 【答案】B

【解析】因为f(?1)?2?1?3?0，f(0)?20?0?1?0，所以选B。

?log2xx?0,?6．(2010年高考天津卷理科8)设函数f（x）=?log?x

?x?0 若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是1???2( )

（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】C

【解析】当a?0时，由f(a)>f(-a)得：log2a?log1a，即log2a?log221a，即a?1a，

解得a?1；当a?0时，由f(a)>f(-a)得：log1(?a)?log2(?a)，即log2(?21a)?log2(?a)，

即?1a??a，解得?1?a?0，故选C。

7．（ 2010年高考全国卷I理科2）记cos(?80?)?k,那么tan100??( )

1?kk2A.

B. -

1?kk2 C.

k1?k2D. -k1?k2

【答案】B

【解析】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想

的

应

用

sc.i??sin80??1?cos80?22?1?cos(?80)?2?1?k2,所以

ta?n??1???nso?k80?. ?k8018. (2010年高考湖北卷理科5)已知VABC和点M满足uuuruuuruuurAB?AC?mAM成立，则m=( )

uuuruuuruuurMA?MB?MC?r.若存在实数m使得

A． 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B

uuuruuuruuurr【解析】由MA?MB?MC?0知，点M为VABC的重心，设点D为底边BC的中点，则

13

新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

ruuuruuuruuuruuurruuur?????2????21uuu1uuuAM=AD=?(AB?AC)=(AB?AC)，所以有AB?AC?3AM，故m=3，选B.

33239．（ 2010年高考全国卷I理科7）正方体

ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦

值为( ) A

23 B

33 C D

3263

【答案】D

【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

【解析】因为BB1//DD1,所以BB1与平面

ACD1所成角和DD1与平面ACD1所成角相等,设DO⊥平面

1332ACD1，由等体积法得VD?ACD则S?ACD?11?VD1?ACD,即

2S?ACD1?DO?32213S?ACD?DD1.设DD1=a, 121212AC?AD1sin60??12?(2a)??a,S?ACD?AD?CD?a.

2所以DO?S?ACD?DD1S?ACD1?a323a?33a,记DD1

与平面ACD1所成角为?,则sin??DODD1?33,所以

cos??63.

10．(2010年高考数学湖北卷理科9）若直线y?x?b与曲线y?3?围是( )

4x?x有公共点，则b的取值范

2 A． ??1,1?22? B. ?1?22,1?22?

???? C. ?1?22,3? D. ?1????2,3?

?【答案】C

【解析】曲线方程可化简为(x?2)2?(y?3)2?4(1?y?3)，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y?x?b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得

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新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯 b?1?22或b?1?22，因为是下半圆故可得b?1?22（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故

1?22?b?3,所以C正确.

11x11．（2010年高考上海市理科17）若x0是方程()?x3的解，则x0属于区间（ ）

2(A)(

23,1) (B)(

12,

23) (C)(

13,

12) (D)(0,

13)

【答案】C

12. (2010年高考天津卷理科9)设集合A＝{x则实数a,b必满足（ ）

（A）a?b?3 （B）a?b?3 （C）a?b?3 （D）a?b?3 【答案】D

【解析】由题意可得：A??x|a?1?x?a?1?，对集合B有 x?b?2或x?b?2，因为A?B，所以有b?2?a?1或b?2?a?1，解得a?b?3或a?b??3，即a?b?3，选D。

【命题意图】本小题考查绝对值不等式的解法、集合之间的关系等基础知识，考查同学们数形结合的数学

思想。 二．填空题：

x?a?1,x?R}，B＝{xx?b?2,x?R}。若A?B,

13．设全集U={x|0

是________．

【答案】A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}.【解析】由题意,画出图如下:

由图可知: A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}． 14．（2010年高考福建卷理科14）已知函数f(x)=3sin(?x-称轴完全相同。若x?[0,【答案】[-32,3]

?6)(?>0)和g(x)=2cos(2x+?)+1的图象的对

?2]，则f(x)的取值范围是 。

15

新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

【解析】由题意知，??2，因为x?[0,f(x)的最小值为3sin(-?2]，所以2x-?6?[-?5?6,6]，由三角函数图象知：

32,3]。

?6)=-32，最大值为3sin?2=3，所以f(x)的取值范围是[-15. (2011年高考湖北卷理科15)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

n=1 n=2 n=3 n=4

由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）

【答案】21，43

【解析】根据着色方案可知，n=6时，若有3个黑色正方形则有3种，有2个黑色正方形有4+3+2+1+1=11种，有1个黑色正方形有6种；有0个黑色正方形有1种，所以共有3+11+6+1=21种. n=6时，当至少有2个黑色正方形相邻时，画出图形可分为： ①有2个黑色正方形相邻时，共23种， ②有3个黑色正方形相邻时，共12种， ③有4个黑色正方形相邻时，共5种， ④有5个黑色正方形相邻时，共2种， ⑤有6个黑色正方形相邻时，共1种. 故共有23+12+5+2+1=43种.

????16. (2010年高考天津卷理科15)如图，在?ABC中，AD?AB，BC?????????3BD,|AD|?1，则

????????AC?AD= 。

16

新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

【答案】3 ????????【解析】本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识,考查化归与转化的数学思想.AC?AD= ????????????????|AC|?|AD|cos?DAC?|AC|cos?DAC?|AC|sin?BAC?

????|BC|sinB?????3|BD|sinB=3.

三．解答题：

17. （ 2010年高考全国卷I理科17）已知VABC的内角A，B及其对边a，b满

，求内角C． a?b?acotA?bcotB【解析】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用.

18．集合A={x|x＋5x－6≤0},B={x|x＋3x>0}，求A∪B和A∩B．

2

2

【解析】本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．∵ A={x|x－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，

2

B={x|x＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}． 如图所示， ∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．

A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0

ak,bk(k?1,2,3?n)2

f(x)?lnx?x?1,x?(0,??)，求函数f(x)12的最大值；(Ⅱ)设

n均为正数，证明：（1）若a1b1?1n?b11b22?bnn?b1b2?bnkkk222a2b2??ab?b?b???nb，则a1ka2k?ank?1nn12；（2）若

b1?b2???bn?1，则

【解析】本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证

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新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

的能力，以及化归与转化的思想.

（Ⅰ）f(x)的定义域为?0,???，令f'(x)?1x?1?0，解得x?1，

当0?x?1时，f'(x)?0，f(x)在（0，1）内是增函数； 当x?1时，f(x)?0，f(x)在(1,??)内是减函数； 故函数f(x)在x?1处取得最大值f(1)?0

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当x??0,???时，有f(x)?f(1)?0，即lnx?x?1， ?ak?bk?0，从而有lnak?ak?1，得bklnak?akbk?bk(k?1,2???,n)，

nnbknk求和得?lnakk?1nnk??ak?1nbk??bk?1k,

??ak?1bk??bk?12kk,??lnak?0,即ln(a1a2???an)?0,?a1a2???ank?1k1k2k1k2kn?1.

（2）①先证b1kb2k???bn?11n.

nn令ak?1nbk(k?1,2,?,n)，则?akbk?k?1?k?11nn?1??bk?1k,于是

?1??1??1?由（1）得???????nbnbnb?1??2??n??b11b2kk2k1k2kn?1，即

1b1b2?bnk1k2kn?nk1?k2???kn?n

???bnk1kn?1n.

kn②再证?b1b2???bnnk2?b1b2???bn.

222记S??bk?12k，令ak?k1bkSn(k?1,2?,n)，则?akbk?k?11Snn2k?bk?1?1??bk?1k，

?b??b??b?于是由（1）得?1??2???n??S??S??S?k2kn?1.

即b1b2???bnk1k2kn?Sk1?k2??kn?S，?b11b2kk2???bnkn?b1?b2??bn

22n综合①②，（2）得证.

20. (2011年高考广东卷理科20)设b?0,数列?an?满足a1=b,an?(1) 求数列?an?的通项公式；

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nban?1an?1?2n?2(n?2),

新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

(2) 证明：对于一切正整数n,an?b2n?1n?1?1

【解析】（1）由a1?b?0,知an?nan1bnban?1an?1?2n?2?0,nan?1b?2n?1ban?1.

令An?,A1?， 2b?

当n?2时,An?1b1b2b21b2b2b?n?2n?1An?1 2b2n?1n?1 ?????A1

??2b2n?2n?1n?1n????b.

①当b?2时，

?2?(1???)nnb?2b?b?An??n,

2b(b?2)1?b1n

②当b?2时,An?n2.

?nbn(b?2),b?2?an??bn?2n

?2,b?2? （2）当b?2时，（欲证an?b?2b?2n?2nnnb(b?2)b?2n?1nnn?b2n?1n?1?1,只需证nb?(nb2n?1n?1?1)b?2b?2nn）

(2n?1?bn?1)?(2n?1?b)(bn?1?2bn?2???2n?1)

?2n?1bn?1?22bbn?2???22bnn2n?bb2n2n?2b2n?1???2n?1bn?1

?2b(nn2b22?????b2nnn?1n?1????b2n)

?2b(2?2???2)?2n?2b?n?2nb(b?2)b?2nnnnnnn?1b，

?an??b2n?1n?1?1.

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新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

当b?2时,an?2?b2n?1n?1b2n?1n?1?1.

综上所述an??1.

21.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1?1，前n项和为Sn，已知对任意整数k属于M，当n>k时，Sn?k?Sn?k?2(Sn?Sk)都成立 （1）设M=｛1｝，a2?2，求a5的值； （2）设M=｛3，4｝，求数列{an}的通项公式

【解析】考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的能力，其中（1）是容易题，（2）是难题。

（1）?k?1,??n?1,Sn?1?Sn?1?2(Sn?S1),?Sn?2?Sn?2(Sn?1?S1)即：an?2?an?2an?1 所以，n>1时，?an?成等差，而a2?2，S2?3,S3?2(S2?S1)?S1?7,?a3?4,?a5?8; （2）由题意：?n?3,Sn?3?Sn?3?2(Sn?S3),(1);?n?4,Sn?4?Sn?4?2(Sn?S4),(2)， ?n?4,Sn??Sn??2(Sn??S),(3);?n?5,Sn??Sn??2(Sn??S),(4);

当n?5时，由（1）（2）得：an?4?an?3?2a4,(5) 由（3）（4）得： an?5?an?2?2a4,(6) 由（1）（3）得：an?4?an?2?2an?1,(7); 由（2）（4）得：an?5?an?3?2an?1,(8);

由（7）（8）知：an?4,an?1,an?2,成等差，an?5,an?1,an?3,成等差；设公差分别为：d1,d2,

由（5）（6）得：an?5?an?3?2d2?an?4?2a4?2d2,(9);an?4?an?2?2d1?an?5?2a4?2d1,(10); 由（9）（10）得：an?5?an?4?d2?d1,2a4?d1?d2,an?2?an?3?d2?d1;??an?(n?2)成等差，设公差为d,

在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：2a1+6a2?15d?2(2a1?5a2?5d),即4a2?5d??2; 2a1?8a2?28d?2(2a1?7a2?9d),即3a2?5d??1 ?a2?3,d?2,?an?2n?1.

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新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

22. （ 2010年高考全国卷I理科21）已知抛物线C:y2?4x的焦点为F，过点K(?1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

????????8（Ⅱ）设FA?FB?，求?BDK的内切圆M的方程 .

9【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想. 【解析】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x1,?y1)，l的方程为x?my?1(m?0).

（Ⅱ）由①知，

x1?x2?(my1?1)?(my2?1)?4m?2

x1x2?(my1?1)(my2?1)?1.

uuruur 因为 FA?(x1?1,y1),FB?(x2?1,y2)，

uuruur2FA?FB?(x1?1)(x2?1)?y1y2?x1x2?(x1?x2)?1?4?8?4m

2 故 8?4m?解得 m??43289，

所以l的方程为

3x?4y?3?0,3x?4y?3?0 又由①知 y2?y1??(4m)?4?4??

24321

7 新课标高考数学二轮专题复习讲义 作者：中亭侯

故直线BD的斜率

4y2?y1??37，

因而直线BD的方程为3x?7y?3?0,3x?7y?3?0.

因为KF为?BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(?1?t?1)，M(t,0)到l及BD的距离分别为3t?1,3t?154.

由

3t?15?3t?114得t?9，或t?9（舍去），

故 圆M的半径r?3t?125?3. 所以圆M的方程为(x?12249)?y?9.

22

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