中考数学二轮专题复习六：中点问题

二轮专题复习6：中点型问题教学案

中点是几何题中的一个重要条件，在多边形、圆以及抛物线等相关问题中都有重要的地位，在求角、线段长、面积等问题时有重要应用。

例题：

1、在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是 _______ （只要写出一种即可）

2、如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，E是DC的中点，BF＝BC，则四边形DBFE42的面积为 cm

y E D C A D A

DO CG F

xBOC A B B

第1题 第2题 第4题 第3题

3、如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =_______________

4、两块完全一样的含30°角三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块

的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图6，∠A=30°，AC=10，则此时两直角顶点C、C’间的距离是 _______

1k(k?0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边ABx相交于点C．若点A的坐标为（?6，4），则△AOC的面积为 _______ 6、如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2； P是线段 FCD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和 G等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D E时，则点G移动路径的长是________．

5、如图，已知双曲线y?

A CP7、如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE （1）求∠CAE的度数；

（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形

A

F E B C D DB8、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F． （1）求证：BC与⊙O相切；

（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数． C

D

E G

A B F O

9、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边

上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O. （1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；

（2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，

四边形ABPE是什么四边形？①当k= 1时，是 ；②当k= 2时，是 ；③当k= 3时，是 . 并证明．．．k= 2时的

结论.

A

E O

B P

C D

10、如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？

（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．

F F D D C C

P

W P W

M Q

A A B B N N Q M

图（1） 图（2）

二轮专题复习6：中点型问题达标作业

1、 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则

cos∠OMN的值为______________

2、如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E、F分别是AB、AC的中点，量得EF＝5m，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是________

A AD

E F MON C CB B

第1题 第2题 第4题 第3题

3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE?BE，点F是CD的中点，且 AF?AB，若AD?2.7，AF?4，AB?6，则CE的长为______________ 4、如图，在△ABC中，AB?AC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D， 若AE?CF，D为BF的中点，AE?AF的值为___________

5、如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D’重合，若BC=8，CD=6，则CF=____________

A E F

B P C

第6题 第5题

6、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边

PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论：①BE＝CF，②S△PEF的最小值为13

，③tan∠PEF＝，④S四边形AEPF＝1．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不 2 3

与A、B重合)，上述结论始终正确的是 (填正确结论的序号)

7、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点

（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；

（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由

8、已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是弧AD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P,Q． （1）求证：P是△ACQ的外心； （2）若tan?ABC?3,CF?8,求CQ的长； 4 （3）求证：．(FP?PQ)2?FP?FG

9、如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP． （1）点B的坐标为 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ；(3分) （2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分)

（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的不存在，请说明理由．(3分) y NBC

P

OMAx

1？若存在，求出点T的坐标；若3yCBO（备用图） Ax10.已知抛物线y??12x?bx?4上有不同的两点E(k?3,?k2?1)和F(?k?1,?k2?1)． 2（1）求抛物线的解析式． （2）如图，抛物线y??12x?bx?4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB2的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式． （3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．

y

B M C A P O D x Q

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