2016初中数学中考指导二轮复习锦囊：专题五 数学思想方法(一)

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专题五 数学思想方法（一）

（整体思想、转化思想、分类讨论思想）

一、中考专题诠释

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。2-1-c-n-j-y

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 二、解题策略和解法精讲

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲 考点一：整体思想

整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 （2015?湖北十堰，第7题3分）.当x=1时，ax+b+1的值为﹣2，则（a+b

﹣1）（1﹣a﹣b）的值为（ ） A．﹣16

B． ﹣8

C． 8

D．16

考点： 整式的混合运算—化简求值．

分析： 由x=1时，代数式ax+b+1的值是﹣2，求出a+b的值，将所得的值代入所求的代数式中进行计算即可得解．

解答： 解：∵当x=1时，ax+b+1的值为﹣2， ∴a+b+1=﹣2，

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∴a+b=﹣3，

∴（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）=（﹣3﹣1）×（1+3）=﹣16． 故选：A．

点评： 此题考查整式的化简求值，运用整体代入法是解决问题的关键．

对应训练

1．（2015福建龙岩13，3分）若4a﹣2b=2π，则2a﹣b+π= ． 考点： 代数式求值．

分析： 根据整体代入法解答即可． 解答： 解：因为4a﹣2b=2π， 所以可得2a﹣b=π，

把2a﹣b=π代入2a﹣b+π=2π．

点评： 此题考查代数式求值，关键是根据整体代入法计算．

考点二：转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。 21·cn·jy·com

例2 （2015?山西,第5题3分）我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用

因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（ ） A．转化思想

B．函数思想

C．数形结合思想

D．

公理化思想

考点： 解一元二次方程-因式分解法． 专题： 计算题．

分析： 上述解题过程利用了转化的数学思想．

解答： 解：我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，【来源：21·世纪·教育·网】

从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0， 进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．

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这种解法体现的数学思想是转化思想， 故选A．

点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

对应训练

2．（2015?四川资阳,第9题3分）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 A．13cm

B．261cm

C．61cm

D．234cm 考点：平面展开-最短路径问题．.

分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 解答：解：如图：

∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，

∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B==

=13（Cm）． 故选：A．

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点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．

考点三：分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

例3 （2015湖北荆州第9题3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）www-2-1-cnjy-com

A． B． C．D．

考点： 动点问题的函数图象．

分析： 首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解． 解答： 解：由题意可得BQ=x． ①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，

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则△BPQ的面积=BP?BQ， 解y=?3x?x=x2；故A选项错误； ②1＜x≤2时，P点在CD边上， 则△BPQ的面积=BQ?BC， 解y=?x?3=x；故B选项错误；

③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x， 则△BPQ的面积=AP?BQ，

解y=?（9﹣3x）?x=x﹣x2；故D选项错误． 故选C．

点评： 本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．21教育网

对应训练

3．（2015?黑龙江省大庆,第9题3分）已知二次函数y=a（x﹣2）2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（ ） A． y1+y2＞0 B． y1﹣y2＞0 C． a（y1﹣y2）＞0 D． a（y1+y2）＞0

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．

分析： 分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．【版权所有：21教育】 解答： 解：①a＞0时，二次函数图象开口向上， ∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|， ∴y1＞y2，

无法确定y1+y2的正负情况， a（y1﹣y2）＞0，

②a＜0时，二次函数图象开口向下， ∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|， ∴y1＜y2，

无法确定y1+y2的正负情况， a（y1﹣y2）＞0，

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综上所述，表达式正确的是a（y1﹣y2）＞0． 故选C．

点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数a的正负情况分情况讨论．21教育名师原创作品

四、中考真题演练

1. （2015?黄冈,第10题3分）若方程x2-2x-1=0 的两根分别为x1，x2，则x1+x2-x1x2的 值为_________.

2. （2015?黑龙江省大庆,第21题5分）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两

根，求

3. (2015·黑龙江绥化，第21题 分)在矩形ABCD中 ，AB=4 , BC=3 , 点P在AB上。若将△DAP沿DP折叠 ，使点A落在矩形对角线上的A?处 ，则AP的长为__________．

4. （2015?山东日照 ，第22题14分）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）． （Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：

（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．21*cnjy*com

（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE

ba?的值．【出处：21教育名师】 ab新世纪教育网 最新、最全、最精的教育资源网 www.xsjjyw.com

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以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

个单位的速度运动到A后停止，

五、中考真题演练参考答案

1. （2015?黄冈,第10题3分）若方程x2-2x-1=0 的两根分别为x1，x2，则x1+x2-x1x2的 值为_________.

考点：根与系数的关系． 专题：计算题．

分析：先根据根与系数的关系得到x1 +x2 =2 ，x1 x2 = ﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 解答：解：根据题意得x1 +x2 =2 ，x1 x2 = ﹣1， 所以x1+x2-x1x2 =2 ﹣（﹣1）=3 ． 故答案为3 ．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x1 ，x2 是一元二次方程ax2 + bx + c=0 （a≠0 ）的两根时， 21*cnjy*com x1 +x2 =?

2.（2015?黑龙江省大庆,第21题5分）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两

根，求

bc ，x1 x2 = aaba?的值． ab考点： 根与系数的关系．

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