2016初中数学中考指导二轮复习锦囊:专题五 数学思想方法(一)

更新时间:2023-03-08 04:47:49 阅读量: 初中教育 文档下载

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专题五 数学思想方法(一)

(整体思想、转化思想、分类讨论思想)

一、中考专题诠释

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质,是沟通基础知识与能力的桥梁,是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。2-1-c-n-j-y

抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,更是提高解题能力根本之所在.因此,在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法,培养用数学思想方法解决问题的意识. 二、解题策略和解法精讲

数学思想方法是数学的精髓,是读书由厚到薄的升华,在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯,中考常用到的数学思想方法有:整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等.在中考复习备考阶段,教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法,掌握了它的实质,就可以把所学的知识融会贯通,解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲 考点一:整体思想

整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部的联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的,按常规不容易求某一个(或多个)未知量时,可打破常规,根据题目的结构特征,把一组数或一个代数式看作一个整体,从而使问题得到解决。

例1 (2015?湖北十堰,第7题3分).当x=1时,ax+b+1的值为﹣2,则(a+b

﹣1)(1﹣a﹣b)的值为( ) A.﹣16

B. ﹣8

C. 8

D.16

考点: 整式的混合运算—化简求值.

分析: 由x=1时,代数式ax+b+1的值是﹣2,求出a+b的值,将所得的值代入所求的代数式中进行计算即可得解.

解答: 解:∵当x=1时,ax+b+1的值为﹣2, ∴a+b+1=﹣2,

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∴a+b=﹣3,

∴(a+b﹣1)(1﹣a﹣b)=(﹣3﹣1)×(1+3)=﹣16. 故选:A.

点评: 此题考查整式的化简求值,运用整体代入法是解决问题的关键.

对应训练

1.(2015福建龙岩13,3分)若4a﹣2b=2π,则2a﹣b+π= . 考点: 代数式求值.

分析: 根据整体代入法解答即可. 解答: 解:因为4a﹣2b=2π, 所以可得2a﹣b=π,

把2a﹣b=π代入2a﹣b+π=2π.

点评: 此题考查代数式求值,关键是根据整体代入法计算.

考点二:转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富,已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。 21·cn·jy·com

例2 (2015?山西,第5题3分)我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时,可以运用

因式分解法,将此方程化为3x(x﹣2)=0,从而得到两个一元一次方程:3x=0或x﹣2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体现的数学思想是( ) A.转化思想

B.函数思想

C.数形结合思想

D.

公理化思想

考点: 解一元二次方程-因式分解法. 专题: 计算题.

分析: 上述解题过程利用了转化的数学思想.

解答: 解:我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x﹣2)=0,【来源:21·世纪·教育·网】

从而得到两个一元一次方程:3x=0或x﹣2=0, 进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.

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这种解法体现的数学思想是转化思想, 故选A.

点评: 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

对应训练

2.(2015?四川资阳,第9题3分)如图5,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 A.13cm

B.261cm

C.61cm

D.234cm 考点:平面展开-最短路径问题..

分析:将容器侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求. 解答:解:如图:

∵高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒, 此时蚂蚁正好在容器外壁,离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处, ∴A′D=5cm,BD=12﹣3+AE=12cm,

∴将容器侧面展开,作A关于EF的对称点A′, 连接A′B,则A′B即为最短距离, A′B==

=13(Cm). 故选:A.

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点评:本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

考点三:分类讨论思想

在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.

例3 (2015湖北荆州第9题3分)如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达A点停止运动;另一动点Q同时从B点出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象是( )www-2-1-cnjy-com

A. B. C.D.

考点: 动点问题的函数图象.

分析: 首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上,而动点P可以在BC边、CD边、AD边上,再分三种情况进行讨论:①0≤x≤1;②1<x≤2;③2<x≤3;分别求出y关于x的函数解析式,然后根据函数的图象与性质即可求解. 解答: 解:由题意可得BQ=x. ①0≤x≤1时,P点在BC边上,BP=3x,

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则△BPQ的面积=BP?BQ, 解y=?3x?x=x2;故A选项错误; ②1<x≤2时,P点在CD边上, 则△BPQ的面积=BQ?BC, 解y=?x?3=x;故B选项错误;

③2<x≤3时,P点在AD边上,AP=9﹣3x, 则△BPQ的面积=AP?BQ,

解y=?(9﹣3x)?x=x﹣x2;故D选项错误. 故选C.

点评: 本题考查了动点问题的函数图象,正方形的性质,三角形的面积,利用数形结合、分类讨论是解题的关键.21教育网

对应训练

3.(2015?黑龙江省大庆,第9题3分)已知二次函数y=a(x﹣2)2+c,当x=x1时,函数值为y1;当x=x2时,函数值为y2,若|x1﹣2|>|x2﹣2|,则下列表达式正确的是( ) A. y1+y2>0 B. y1﹣y2>0 C. a(y1﹣y2)>0 D. a(y1+y2)>0

考点: 二次函数图象上点的坐标特征.

分析: 分a>0和a<0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系,然后对各选项分析判断即可得解.【版权所有:21教育】 解答: 解:①a>0时,二次函数图象开口向上, ∵|x1﹣2|>|x2﹣2|, ∴y1>y2,

无法确定y1+y2的正负情况, a(y1﹣y2)>0,

②a<0时,二次函数图象开口向下, ∵|x1﹣2|>|x2﹣2|, ∴y1<y2,

无法确定y1+y2的正负情况, a(y1﹣y2)>0,

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综上所述,表达式正确的是a(y1﹣y2)>0. 故选C.

点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,主要利用了二次函数的对称性,难点在于根据二次项系数a的正负情况分情况讨论.21教育名师原创作品

四、中考真题演练

1. (2015?黄冈,第10题3分)若方程x2-2x-1=0 的两根分别为x1,x2,则x1+x2-x1x2的 值为_________.

2. (2015?黑龙江省大庆,第21题5分)已知实数a,b是方程x2﹣x﹣1=0的两

根,求

3. (2015·黑龙江绥化,第21题 分)在矩形ABCD中 ,AB=4 , BC=3 , 点P在AB上。若将△DAP沿DP折叠 ,使点A落在矩形对角线上的A?处 ,则AP的长为__________.

4. (2015?山东日照 ,第22题14分)如图,抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A,B两点,交x轴与D,C两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0). (Ⅰ)求抛物线的解析式和tan∠BAC的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)条件下:

(1)P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.21*cnjy*com

(2)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE

ba?的值.【出处:21教育名师】 ab新世纪教育网 最新、最全、最精的教育资源网 www.xsjjyw.com

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以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?

个单位的速度运动到A后停止,

五、中考真题演练参考答案

1. (2015?黄冈,第10题3分)若方程x2-2x-1=0 的两根分别为x1,x2,则x1+x2-x1x2的 值为_________.

考点:根与系数的关系. 专题:计算题.

分析:先根据根与系数的关系得到x1 +x2 =2 ,x1 x2 = ﹣1,然后利用整体代入的方法计算. 解答:解:根据题意得x1 +x2 =2 ,x1 x2 = ﹣1, 所以x1+x2-x1x2 =2 ﹣(﹣1)=3 . 故答案为3 .

点评:本题考查了根与系数的关系:若x1 ,x2 是一元二次方程ax2 + bx + c=0 (a≠0 )的两根时, 21*cnjy*com x1 +x2 =?

2.(2015?黑龙江省大庆,第21题5分)已知实数a,b是方程x2﹣x﹣1=0的两

根,求

bc ,x1 x2 = aaba?的值. ab考点: 根与系数的关系.

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