2013-2014中考数学专题复习 - - 专题五25：数学思想方法（一）

考点一：整体思想

整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 例1 （2013?吉林）若a-2b=3，则2a-4b-5= ．

思路分析：把所求代数式转化为含有（a-2b）形式的代数式，然后将a-2b=3整体代入并求值即可．

解：2a-4b-5=2（a-2b）-5=2×3-5=1． 故答案是：1． 点评：本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a-2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 对应训练 1．（2013?福州）已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3?（a-b）3的值是 ． 1．1000

考点二：转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2 （2013?东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）．

思路分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 解：如图：

- 1 -

∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处， ∴A′D=0.5m，BD=1.2m， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B=． AD?2?BD2?0.52?1.22=1.3（m）故答案为：1.3． 点评：本题利用转化思想把立体问题转化为平面问题，从而使问题简单化、直观化。将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．

对应训练 2．（2013?宁德质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为 ． 2．4.8 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10， 如图，连接CP， ∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E， ∴四边形DPEC是矩形， ∴DE=CP， 当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小， ∴DE=CP=6?8 =4.8， 10故答案为4.8．

考点三：分类讨论思想

- 2 -

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

例3 （2013?山西）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示： （1）填空：甲种收费的函数关系式是 ． 乙种收费的函数关系式是 ．

（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？

思路分析：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；

（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式． 解：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，由题意，得

?6?b，12=100k1， ??16?100k?b解得：??k?0.1，k1=0.12，

b?6?∴y1=0.1x+6，y2=0.12x；

（2）由题意，得

当y1＞y2时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300； 当y1=y2时，0.1x+6=0.12x，得x=300； 当y1＜y2时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300； ∴当100≤x＜300时，选择乙种方式合算； 当x=100时，甲乙两种方式一样合算； 当300＜x≤4500时，选择甲种方式合算． 故答案为：y1=0.1x+6，y2=0.12x． 点评：本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计方案是难点．

- 3 -

对应训练 3．（2013?牡丹江）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）． （1）请你设计出进货方案； （2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？ （3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案． 3．解：（1）设A型电脑购进x台，则B型电脑购进（40-x）台，由题意，得 ?2500x?2800(40-x)?105700， ?3000x?3200(40-x)?123200?解得：21≤x≤24， ∵x为整数， ∴x=21，22，23，24 ∴有4种购买方案： 方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台； 方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台； 方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台； 方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台； （2）由题意，得 y=（3000-2500）x+（3200-2800）（40-x）， =500x+16000-400x， =100x+16000． ∵k=100＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴x=24时，y最大=18400元． （3）设再次购买A型电脑a台，B型电脑b台，帐篷c顶，由题意，得 2500a+2800b+500c=18400， c=184?25a?28b． 5∵a≥2，b≥2，c≥1，且a、b、c为整数， ∴184-25a-28b＞0，且是5的倍数．且c随a、b的增大而减小． 当a=2，b=2时，184-25a-28b=78，舍去； 当a=2，b=3时，184-25a-28b=50，故c=10； 当a=3，b=2时，184-25a-28b=53，舍去； 当a=3，b=3时，184-25a-28b=25，故c=5； 当a=3，b=4时，184-25a-28b=-2，舍去， 当a=4，b=3时，184-25a-28b=0，舍去． - 4 -

∴有2种购买方案：

方案1：购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶， 方案2：购A型电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶．

四、中考真题演练 一、选择题 1．（2013?杭州）若a+b=3，a-b=7，则ab=（ ） A．-10 B．-40 C．10 D．40 1．A 2．（2013?黄冈） 已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（ ）

A．π B．4π C．π或4π D．2π或4π 2．C 3．（2013?达州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?ADCE中，DE最小的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

3．B 4．（2013?齐齐哈尔）CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（ ） A．8 B．2 C．2或8 D．3或7 4．C 5．（2013?泸州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ） A．25 cm 43cm 5．C 6．（2013?钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20° 6．B 7．（2013?新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．12 B．15 C．12或15 D．18

- 5 -

B．45cm C．25 cm或45cm D．2cm或

7．B 8．（2013?荆州）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（ ） A．

? 2B．

? 3C．

? 4D．π

8．A

二、填空题

9．（2013?枣庄）若a2?b2＝9．11，a?b＝ ，则a+b的值为 ． 631 210．（2013?雅安）若（a-1）2+|b-2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ． 10．5 11．（2013?宿迁）已知⊙O1与⊙O2相切，两圆半径分别为3和5，则圆心距O1O2的值是 ． 11．8或2 12．（2013?咸宁）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 ．

12．22 13．（2013?宿迁）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ． 13．0或1 14．（2013?黄石）若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ． 14．0或-1 15．（2013?雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（-5，0），B（5，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标 ． - 6 -

15．（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0） 16．（2013?绥化）直角三角形两直角边长是3cm和4cm，以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是 cm2．（结果保留π） 16．24π，36π，84π 517．（2013?绍兴）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=3上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标x是 ． 17．2或-2 18．（2013?广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 （结果保留π）． 18．3? 8 19．（2013?盘锦）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点M在x轴上，⊙M半径为2，⊙M与直线l相交于A，B两点，若△ABM为等腰直角三角形，则点M的坐标为 ．

19．（22，0）或（-22，0）

20．（2013?凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．

- 7 -

20．（2，4）或（3，4）或（8，4） 21．（2013?呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为 ． 21．（0，12）或（0，-12） 22．（2013?泰州）如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=43cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是 ． 22．d＞5cm或2cm≤d＜3cm 23．（2013?温州）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上．木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据（单位：cm），从点N沿折线NF-FM（NF∥BC，FM∥AB）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗），则CN，AM的长分别是 ． 23．18cm、31cm 24．（2013?乐亭县一模）如图，已知直线y=x+4与两坐???轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为 （2，O），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是 ． - 8 -

24．8-22和8+22 25．（2013?内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．

25．5 26．（2013?天门）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的大小是 ．

26．15°或165°

- 9 -

三、解答题 27．（2013?湖州）某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示． （1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是 元，小张应得的工资总额是 元，此时，小李种植水果 亩，小李应得的报酬是 元； （2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式； （3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式． 27．：（1）由图可知，如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是=140元， 小张应得的工资总额是：140×20=2800元， 此时，小李种植水果：30-20=10亩， 小李应得的报酬是1500元； 故答案为：140；2800；10；1500； （2）当10＜n≤30时，设z=kn+b（k≠0）， ∵函数图象经过点（10，1500），（30，3900）， ∴?1（160+120）2 ?10k?b?1500， 30k?b?3900??k?120， ?b?300解得?所以，z=120n+300（10＜n≤30）； （3）当10＜m≤30时，设y=km+b， ∵函数图象经过点（10，160），（30，120）， ∴??10k?b?160， ?30k?b?120- 10 -

解得??k?-2， ?b?180∴y=-2m+180， ∵m+n=30， ∴n=30-m， ∴①当10＜m≤20时，10＜n≤20， w=m（-2m+180）+120n+300， =m（-2m+180）+120（30-m）+300， =-2m2+60m+3900， ②当20＜m≤30时，0＜n≤10， w=m（-2m+180）+150n， =m（-2m+180）+150（30-m）， =-2m2+30m+4500， 所以，w与m之间的函数关系式为w=??-2m2?60m?3900(10?m?20)． ?-2m2?30m?4500(20?m?30)3x+n的图象上，线段AB长为428．（2013?杭州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2=16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围． 28．解：根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或-8． 分类讨论：①n=8时，易得A（-6，0）如图1， ∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧， ∴抛物线开口向下，则a＜0， ∵AB=16，且A（-6，0）， ∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称， ∴对称轴直线x=?6?10=2， 2要使y1随着x的增大而减小，则a＜0， ∴x＞2； （2）n=-8时，易得A（6，0），如图2， ∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧， ∴抛物线开口向上，则a＞0， - 11 -

∵AB=16，且A（6，0）， ∴B（-10，0），而A、B关于对称轴对称， ∴对称轴直线x=?6?10=-2， 2要使y1随着x的增大而减小，且a＞0， ∴x＜-2． 29．（2013?随州）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度．如图，一艘海监船位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处． （1）在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是多少？（结果用根号表示） （2）在这段时间内，海监船航行了多少海里？（参数数据： 2≈1.414， 3≈1.732， 62.449．结果精确到0.1海里） 29．解：（1）如图，过点P作PC⊥AB于C点，则线段PC的长度即为海监船与灯塔P的最近距离． 由题意，得∠APC=90°-45°=45°，∠B=30°，AP=100海里． 在Rt△APC中，∵∠ACP=90°，∠APC=45°， ∴PC=AC=2AP=502海里； 2- 12 -

（2）在Rt△PCB中，∵∠BCP=90°，∠B=30°，PC=502海里， BC=3PC=506海里， ∴AB=AC+BC=502+506=50（2+6）≈50（1.414+2.449）≈193.2（海里）， 答：轮船航行的距离AB约为193.2海里． 30．（2013?湘潭）如图，C岛位于我南海A港口北偏东60方向，距A港口602海里处，我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？ 30．解：∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°， ∴CD=1×602=302海里， 2∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°， ∴BC=302×2=60海里， 60÷60=1（小时）． 答：从B处到达C岛需要1小时． 31．（2013?三明）如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4． （1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由； （2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求?AP的长； （3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．31．解：（1）AP=PD．理由如下： 如图①，连接OP． - 13 -

∵OA是半圆C的直径， ∴∠APO=90°，即OP⊥AD． 又∵OA=OD， ∴AP=PD； （2）如图①，连接PC、OD． ∵OD是半圆C的切线， ∴∠AOD=90°． 由（1）知，AP=PD． 又∵AC=OC， ∴PC∥OD， ∴∠ACP=∠AOD=90°， ∴?AP的长=90??2=π； 180 （3）分两种情况： ①当点E落在OA上（即0＜x≤22时），如图②，连接OP，则∠APO=∠AED． 又∵∠A=∠A， ∴△APO∽△AED， ∴APAO?． AEAD∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4-y， ∴x4?， 4?y2x12x+4（0＜x≤22）； 2∴y=-②当点E落在线段OB上（即22＜x＜4）时，如图③，连接OP． 同①可得，△APO∽△AED， ∴APAO?． AEAD∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y， ∴x4?， 4?y2x- 14 -

∴y=

12x+4（22＜x＜4）． 2- 15 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kep6.html