2013年中考数学复习专题讲座：数学思想方法（二） 通用（精品教

年中考数学复习专题讲座：数学思想方法（二）

一、中考专题诠释

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 二、解题策略和解法精讲

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲

考点四：方程思想

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。

用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

例 （?广东）据媒体报道，我国年公民出境旅游总人数约万人次，年公民出境旅游总人数约万人次，若年、年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： （）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

（）如果年仍保持相同的年平均增长率，请你预测年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？ 考点： 一元二次方程的应用。 专题： 增长率问题。

分析： （）设年平均增长率为．根据题意年公民出境旅游总人数为 （）万人次，年公民出境旅游总人数 （）万人次．根据题意得方程求解； （）年我国公民出境旅游总人数约（）万人次．

解答： 解：（）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为．根据题意得 （）．

解得 ，﹣ （不合题意，舍去）．

答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为． （）如果年仍保持相同的年平均增长率， 则年我国公民出境旅游总人数为 （）×万人次． 答：预测年我国公民出境旅游总人数约万人次．

点评： 方程是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程或方程组的知识来解决。具有方程思想就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。

例 （?桂林）李明到离家千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少分钟，且骑自行车的速度是步行速度的倍．

（）李明步行的速度（单位：米分）是多少？ （）李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 考点： 分式方程的应用。 专题： 应用题。

分析： （）设步行速度为米分，则自行车的速度为米分，根据等量关系：骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少分钟可得出方程，解出即可；

（）计算出步行、骑车及在家拿道具的时间和，然后与比较即可作出判断． 解答： 解：（）设步行速度为米分，则自行车的速度为米分， 根据题意得：解得：，

经检验是原方程的解，

，

即李明步行的速度是米分． （）根据题意得，李明总共需要：即李明能在联欢会开始前赶到．

答：李明步行的速度为米分，能在联欢会开始前赶到学校．

点评： 此题考查了分式方程的应用，设出步行的速度，根据等量关系得出方程是解答本题的关键，注意分式方程一定要检验．

考点五：函数思想

函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。

例 （?十堰）某工厂计划生产、两种产品共件，需购买甲、乙两种材料．生产一件产品需甲种材料千克、乙种材料千克；生产一件产品需甲、乙两种材料各千克．经测算，购买甲、乙两种材料各千克共需资金元，购买甲种材料千克和乙种材料千克共需资金元． （）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？

（）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过元，且生产产品不少于件，问符合条件的生产方案有哪几种？

（）在（）的条件下，若生产一件产品需加工费元，生产一件产品需加工费元，应选择哪种生产方案，使生产这件产品的成本最低？（成本材料费加工费）

考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用。 专题： 应用题。

分析： （）设甲材料每千克元，乙材料每千克元，根据购买甲、乙两种材料各千克共需资金元，购买甲种材料千克和乙种材料千克共需资金元，可列出方程组组即可得到甲材料每千克元，乙材料每千克元；

（）设生产产品件，生产产品（﹣）件，先表示出生产这件产品的材料费为×30m×10m×（﹣）×（﹣）﹣100m，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过元得到﹣100m≤，根据生产产品不少

，解方程

．

于件得到﹣≥，然后解两个不等式求出其公共部分得到≤≤，而为整数，则的值为，，，易得符合条件的生产方案；

（）设总生产成本为元，加工费为：200m（﹣），根据成本材料费加工费得到﹣100m200m（﹣）﹣200m，根据一次函数的性质得到 随的增大而减小，然后把代入计算，即可得到最低成本． 解答： 解：（）设甲材料每千克元，乙材料每千克元，则所以甲材料每千克元，乙材料每千克元；

（）设生产产品件，生产产品（﹣）件，则生产这件产品的材料费为×30m×10m×（﹣）×（﹣）﹣100m，

由题意：﹣100m≤，解得≥， 又∵﹣≥，解得≤， ∴≤≤， ∴的值为，，，

共有三种方案，如下表： （件） （件）

，解得

，

（）设总生产成本为元，加工费为：200m（﹣）， 则﹣100m200m（﹣）﹣200m， ∵ 随的增大而减小，而，，， ∴当时，总成本最低，此时﹣×元．

点评：函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是一种策略性的指导方法。运用函数思想通常是这样进行的：将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。

．（?广元）某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走．

（）假如每天能运，所需时间为天，写出与之间的函数关系式；

（）若每辆拖拉机一天能运12m3，则辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？

（）在（）的情况下，运了天后，剩下的任务要在不超过天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？

考点： 分析： 反比例函数的应用。 （）根据每天能运，所需时间为天的积就是1200m3，即可写出函数关系式； （）把×代入，即可求得天数； （）首先算出天以后剩余的数量，然后计算出天运完所需的拖拉机数，即可求解． 解答： 解：（） ； （）×，代入函数解析式得； （天）； （）运了天后剩余的垃圾是﹣×720m3． 务要在不超过天的时间完成则每天至少运÷120m3， 则需要的拖拉机数是：÷（辆）， 则至少需要增加﹣辆这样的拖拉机才能按时完成任务． 点评： 本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义求解．

考点六：数形结合思想

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。 例 （?襄阳）如图，直线与双曲线（）求直线和双曲线的解析式；

（）若（，），（，），（，）为双曲线上的三点，且＜＜＜，请直接写出，，的大小关系式； （）观察图象，请直接写出不等式＞

的解集．

相交于（，）、（，﹣）两点．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。

专题： 计算题。

分析： （）将点（，）代入双曲线

，求出的值，将（，﹣）代入所得解析式求出的值，再

用待定系数法求出和的值，可得两函数解析式； （）根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究； （）求不等式＞这是“以形助数”．

根据、点的横坐标结合图象进行解答． 解答： 解：（）∵双曲线∴，

∴双曲线的解析式为：． ∵点（，﹣）在双曲线上， ∴﹣，则 （﹣，﹣）．

由点（，），（﹣，）在直线上， 得

，

经过点（，），

的解集，就是求＞

时自变量的的范围，从图象上看：直线在双曲线上方，

解得，

∴直线的解析式为：．

（）∵在第三象限内随的增大而减小，故＜＜， 又∵是正数，故＞， ∴＜＜．

（）由图可知，＞或﹣＜＜．

点评：数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与几何图形的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。

例 （?济南）如图，抛物线与轴相交于点（﹣，），（﹣，），与轴相交于点，⊙为△的外接圆，交抛物线于另一点． （）求抛物线的解析式； （）求∠的值和⊙的半径；

（）如图，抛物线的顶点为，连接，，，为弦中点，若点在坐标平面内，满足△∽△，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

考点： 二次函数综合题。

分析： （）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（）如答图所示，由△为等腰直角三角形，确定∠°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；

（）如答图所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点坐标，进而求出点的坐标和线段的长度；点、、的坐标已知，求出线段、、的长度；然后利用△∽△相似三角形比例线段关系，求出线段和的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点的坐标． 解答： 解：（）∵抛物线与轴相交于点（﹣，），（﹣，）， ∴解得，，

∴抛物线的解析式为：．

（）由（）知，抛物线解析式为：， ∵令，得，

，

∴（，），

∴，则△为等腰直角三角形， ∴∠°， ∴∠

．

．

在△中，由勾股定理得：如答图所示，连接、， 由圆周角定理得：∠1C∠°， ∴△1C为等腰直角三角形， ∴⊙的半径

．

（）抛物线（）﹣，

∴顶点坐标为（﹣，﹣），对称轴为﹣． 又∵（﹣，），（﹣，），可知点、关于对称轴对称．

如答图所示，由圆及抛物线的对称性可知：点、点（，）关于对称轴对称， ∴（﹣，）．

又∵点为中点，（﹣，）， ∴（

，），

∴

在△中，（﹣，），（﹣，﹣），（，）， 由两点间的距离公式得：∵△∽△，

，

，

；

．

∴解得：

，即，

．

，

设（，），由两点间的距离公式可得：

，

解之得，，，

∴点的坐标为（，

）或（，）．

点评： 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点的坐标． 四、中考真题训练 一、选择题

．（?贵港）如图，已知直线与﹣相交于点（﹣，），则关于的不等式＞﹣的解集在数轴上表示正确的是（ ）

．

．

． ．

考点： 一次函数与一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集。

分析： 根据图象和交点坐标得出关于的不等式＞﹣的解集是＞﹣，即可得出答案． 解答： 解：∵直线与﹣相交于点（﹣，）， ∴根据图象可知：关于的不等式＞﹣的解集是＞﹣， 在数轴上表示为：故选．

点评： 本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，主要培养学生的观察图象的能力和理解能力． ．（?柳州）小兰画了一个函数

的图象如图，那么关于的分式方程

的解是（ ）

，

．

． ．

．

考点： 反比例函数的图象。 分析： 关于的分式方程解．

解答： 解：关于的分式方程象可以得到：当时，． 故选．

点评： 本题考查了函数的图象，正确理解：关于的分式方程纵坐标时的横坐标的值是关键．

的解，就是函数

中，

的解就是函数

中，纵坐标时的横坐标的值．根据图

的解就是函数

中，纵坐标时的横坐标的值，据此即可求

．（?广州）如图，正比例函数和反比例函数取值范围是（ ）

的图象交于（﹣，）、（，﹣）两点，若＜，则的

．＜﹣或＞

． ＜﹣或＜＜

．﹣＜＜或＜＜ ．﹣＜＜或＞

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。 专题： 数形结合。

分析： 根据图象找出直线在双曲线下方的的取值范围即可． 解答： 解：由图象可得，﹣＜＜或＞时，＜． 故选．

点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．

．（?南平）如图，正方形纸片的边长为，点、分别在边、上，将、分别和、折叠，点、恰好都将在点处，已知，则的长为（ ）

．

．

．

．

考点： 翻折变换（折叠问题）。

分析： 由正方形纸片的边长为，可得∠°，，由根据折叠的性质得：，，然后设，在△中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 解答： 解：∵正方形纸片的边长为， ∴∠°，，

根据折叠的性质得：，，

设，

则，﹣﹣，﹣﹣， 在△中，， 即（）（﹣）， 解得：， ∴，故选．

点评： 此题考查了折叠的性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

．（?荆门）如图，已知正方形的对角线长为长为（ ）

，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周

．

．

． 4

．

．

考点： 翻折变换（折叠问题）。 分析： 首先由正方形的对角线长为

，即可求得其边长为，然后由折叠的性质，可得′，′，′′，

则可得图中阴影部分的周长为：′′′′，继而求得答案． 解答： 解：∵正方形的对角线长为即

，∠°，，∠°，

×

，

，

∴?∠?°∴，

由折叠的性质：′，′，′′， ∴图中阴影部分的周长为：′′′′． 故选．

点评： 此题考查了折叠的性质与正方形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想与整体思想的应用．

．（?河北）如图，在平行四边形中，∠°，将平行四边形折叠，使点、分别落在点、处（点、都在所在的直线上），折痕为，则∠等于（ ）

．°

． °

． °

． °

考点： 翻折变换（折叠问题）。

分析： 由平行四边形与折叠的性质，易得∥∥，然后根据平行线的性质，即可求得∠∠∠°，又由平角的定义，即可求得∠的度数． 解答： 解：∵四边形是平行四边形， ∴∥，

根据折叠的性质可得：∥，∠∠， ∴∥∥， ∵∠°， ∴∠∠∠°，

∴∠°﹣∠﹣∠°﹣°﹣°°． 故选．

点评： 此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．

．（?佛山）如图，把一个斜边长为且含有°角的直角三角板绕直角顶点顺时针旋转°到△1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是（ ）

．π

．

．

．

考点： 旋转的性质；扇形面积的计算。

分析： 根据直角三角形的性质求出、的长度，设点扫过的路线与的交点为，连接，可以证明△是等边三角形，然后求出点是的中点，所以△的面积等于△的面积的一半，然后根据△扫过的面积扇形扇形△，然后根据扇形的面积公式与三角形的面积公式列式计算即可得解． 解答： 解：在△中，∠°，∠°，， ∴，∠°﹣∠°， ∴∴△××

，

，

设点扫过的路线与的交点为，连接， ∵，

∴△是等边三角形， ∴，

∴点是的中点， ∴△

△

×，

∴△扫过的面积扇形扇形△，

×π×（πππ

， ．

）

×π×

，

故选．

点评： 此题考查了旋转的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系，利用数形结合思想把扫过的面积分成两个扇形的面积与一个三角形面积是解题的关键，也是本题的难点．

．（?威海）已知二次函数（≠）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）

． ＞

． （）≤﹣（为任意实数） 考点： 二次函数图象与系数的关系。

分析： 根据函数图象可得各系数的关系：＜，＞，根据对称轴﹣

﹣＜，则＜，再利用图

． 3a＞ ． 4a﹣＜

象与轴交点左侧小于，则得出图象与坐标轴右侧交点一定小于﹣，可知， 4a﹣＞，再结合图象判断各选项．

解答： 解：．由函数图象可得各系数的关系：＜，＞，对称轴﹣故＞，故此选项正确，但不符合题意； ．∵﹣∴2a， ∴4a， ∵＜，＜，

∴3a＞，故此选项正确，但不符合题意； ．∵2a，代入（）﹣（﹣）得：

﹣，

﹣＜，则＜，

∴（2a）﹣（﹣2a）（）， ∵＜， ∴（）≤， ∴（）﹣（﹣）≤，

即（）≤﹣，故此选项正确，但不符合题意； ．当﹣代入，得出4a﹣，

利用图象与轴交点左侧小于，则得出图象与坐标轴右侧交点一定小于﹣， 故4a﹣＞，故此选项错误，符合题意； 故选：．

点评： 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，同学们应注意，二次函数（≠）的图象，当＜时，抛物线向下开口，当与同号时（即＞），对称轴在轴左； 当与异号时（即＜），对称轴在轴右，以及利用对称轴得出，的关系是解题关键．

．（?衡阳）如图为二次函数（≠）的图象，则下列说法： ①＞ ②2a③＞ ④当﹣＜＜时，＞ 其中正确的个数为（ ）

．

． ．

．

考点： 二次函数图象与系数的关系。

分析： 由抛物线的开口方向判断与的关系，由时的函数值判断＞，然后根据对称轴推出2a与的关系，根据图象判断﹣＜＜时，的符号． 解答： 解：①图象开口向下，能得到＜； ②对称轴在轴右侧，③当时，＞，则＞；

，则有﹣

，即2a；

④由图可知，当﹣＜＜时，＞． 故选．

点评： 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

二、填空题

．（?南宁）如图，已知函数﹣和﹣的图象交于点，根据图象可得方程组

的解是．

考点： 一次函数与二元一次方程（组）。 专题： 推理填空题。

分析： 先由图象得出两函数的交点坐标，根据交点坐标即可得出方程组的解． 解答： 解：∵由图象可知：函数﹣和﹣的图象的交点的坐标是（，﹣）， 又∵由﹣，移项后得出﹣， 由﹣，移项后得出， ∴方程组

的解是

，

故答案为：．

点评： 本题考查了一次函数与二元一次方程组的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好但又比较容易出错的题目． ．（?连云港）如图，直线与双曲线是．

交于、两点，其横坐标分别为和，则不等式＜

的解集

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。 专题： 数形结合。

分析： 根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，相当于把直线向下平移个单位，然后根据函数的对称性可得交点坐标与原直线的交点坐标关于原点对称，再找出直线在双曲线下方的自变量的取值范围即可． 解答： 解：由＜

，得，﹣＜

，

所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移个单位得到，

直线向下平移个单位的图象如图所示，交点′的横坐标为﹣，交点′的横坐标为﹣， 当﹣＜＜﹣或＞时，双曲线图象在直线图象上方， 所有，不等式＜

的解集是﹣＜＜﹣或＞．

故答案为：﹣＜＜﹣或＞．

点评： 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据不等式与函数解析式得出不等式的解集与双曲线和向下平移个单位的直线的交点有关是解题的关键．

．（?淮安）如图，射线、分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中、分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差．

考点： 一次函数的应用。

分析： 根据图中信息找出甲，乙两人行驶的路程和时间，进而求出速度即可． 解答： 解：根据图象可得：

∵甲行驶距离为千米时，行驶时间为小时，乙行驶距离为千米时，行驶时间为小时， ∴甲的速度是：÷（千米时）；乙的速度是：÷（千米时）； 故这两人骑自行车的速度相差：﹣（千米时）； 故答案为：．

点评： 此题主要考查了一次函数的应用，根据已知得出甲乙行驶的路程与时间是解题关键．

．（?朝阳）如图所示中的折线为甲地向乙地打长途电话需付的电话费（元）与通话时间（分钟）之间的函数关系，则通话分钟应付电话费元．

考点： 一次函数的应用。

分析： 根据图形写出点、的坐标，然后利用待定系数法求出射线的解析式，再把代入解析式进行计算即可得解．

解答： 解：由图象可得，点（，），（，）， 设射线的解析式为（≥）， 则

，

解得，

所以，射线的解析式为﹣（≥）， 当时，﹣元． 故答案为：．

点评： 本题考查了一次函数的应用，根据图象写出点、的坐标，利用待定系数法求出射线的解析式是解题的关键．

．（?北海）如图，点的坐标为（﹣，），点在直线﹣上运动，当线段最短时，点的坐标是．

考点： 一次函数的性质；垂线段最短。 专题： 计算题。

分析： 作′⊥′，′即为当线段最短时点坐标，求出′的解析式，与′组成方程组，求出其交点坐标即可．

解答： 解：设′解析式为， ∵′⊥′，′解析式为﹣， ∴﹣，

﹣，于是函数解析式为﹣， 将（﹣，）代入﹣得，，﹣， 则函数解析式为﹣﹣， 将两函数解析式组成方程组得，

，

解得，故点坐标为（，﹣）．

故答案为（，﹣）．

点评： 本题考查了一次函数的性质和垂线段最短，找到′点是解题的关键，同时要熟悉待定系数法求函数解析式．

．（?宜宾）如图，一次函数（≠）与反比例函数则的取值范围是．

的图象交于（，）、（，）两点，若使＞，

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。 专题： 数形结合。

分析： 根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围即可． 解答： 解：根据图形，当＜或＜＜时，一次函数图象在反比例函数图象上方，＞． 故答案为：＜或＜＜．

点评： 本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．

三、解答题

．（?南通）甲．乙两地距离300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离（）与时间（）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离（）与时间（）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题： （）线段表示轿车在途中停留了； （）求线段对应的函数解析式；

（）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．

考点： 一次函数的应用。

分析： （）利用图象得出这段时间为﹣，得出答案即可； （）利用点坐标为：（，），点坐标为：（，），求出函数解析式即可； （）利用的解析式得出，当﹣时，即可求出轿车追上货车的时间． 解答： 解：（）利用图象可得：线段表示轿车在途中停留了：﹣小时； （）根据点坐标为：（，），点坐标为：（，）， 代入，得：

，

解得：

，

故线段对应的函数解析式为：﹣； （）∵点坐标为：（，）， 代入解析式得， 5a，

解得：， 故，当﹣，

解得：小时，故﹣（小时），

答：轿车从甲地出发后经过小时追上货车．

点评： 此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，根据已知得出函数解析式利用图象分析得出是解题关键． ．（?新疆）如图，一次函数﹣的图象与反比例函数（）求，的值；

（）根据图象，请写出当取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．

的图象交于（，）．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。

分析： （）分别把（，）代入一次函数和反比例函数解析式，易求、； （）在交点左边，一次函数的值小于反比例函数的值，易得＜＜． 解答： 解：（）把（，）代入﹣，得 ，

把（，）代入，得；

（）观察可知当＜＜时，一次函数的值小于反比例函数的值．

点评： 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题，解题的关键是理解点与函数解析式的关系．

．（?咸宁）如图，一次函数的图象与反比例函数（）求一次函数与反比例函数的解析式； （）直接写出≥时的取值范围．

的图象交于（，），（，）两点．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。 专题： 探究型。

分析： （）先把（，）代入反比例函数的解析式求出的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把（，）代入反比例函数的解析式即可求出的值，把点（，），（，）代入函数即可求出、的值，进而得出一次函数的解析式；

（）根据函数图象可知，当在、点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再由、两点的横坐标即可求出的取值范围． 解答： 解：（）∵点（，），（，）在的图象上， ∴，．

∴反比例函数的解析式为：， ∴，，

∵点（，），（，）在函数的图象上，

∴，

解这个方程组，得

∴一次函数的解析式为﹣，反比例函数的解析式为；

（）由函数图象可知，当在、之间时一次函数的图象在反比例函数图象的上方， ∵点（，），（，）， ∴≤≤．

点评： 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用数形结合求不等式的解集是解答此题的关键．

．（?长沙）以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于年月日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共个，其中境外投资合作项目个数的倍比省内境外投资合作项目多个．

（）求湖南省签订的境外，省外境内的投资合作项目分别有多少个？

（）若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为亿元，亿元，求在这次“中博会”中，东道湖南省共引进资金多少亿元？ 考点： 二元一次方程组的应用。

分析： （）利用境外投资合作项目个数的倍比省内境外投资合作项目多个，得出等式方程求出即可；

（）根据（）中数据以及境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为亿元，亿元，得出即可．

解答： 解：（）设境外投资合作项目个数为个， 根据题意得出：﹣（﹣）， 解得：，

故省外境内投资合作项目为：﹣个．

答：境外投资合作项目为个，省外境内投资合作项目为个．

（）∵境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为亿元，亿元， ∴湖南省共引进资金：××亿元． 答：东道湖南省共引进资金亿元．

点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄清题意，找到等量关系：境外投资合作项目个数的倍比省内境外投资合作项目多个列出方程是解题关键．

．（?六盘水）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过吨时（包括吨），采用基本价收费；当每月用水量超过吨时，超过部分每吨采用市场价收费．小兰家、月份的用水量及收费情况如下表：

月份 用水量（吨） 水费（元） （）求该市每吨水的基本价和市场价．

（）设每月用水量为吨，应缴水费为元，请写出与之间的函数关系式． （）小兰家月份的用水量为吨，则她家要缴水费多少元？ 考点： 一次函数的应用。

分析： （）利用已知得出月份用水吨，水费元，月份用水吨，水费元，求出市场价收费标准为：（﹣）÷（﹣）（元吨），进而得出每吨水的基本价；

（）利用（）中所求不同水价，再利用当≤时，，当＞时，分别求出即可． （）根据（）中所求得出，用水量为吨时要缴水费．

解答： 解：（）根据当每月用水量不超过吨时（包括吨），采用基本价收费；当每月用水量超过吨时，超过部分每吨采用市场价收费， ∵月份用水吨，水费元，月份用水吨，水费元， ∴市场价收费标准为：（﹣）÷（﹣）（元吨）， 设基本价收费为元吨， 根据题意得出：（﹣）×， 解得：，

故该市每吨水的基本价和市场价分别为：元吨，元吨； （）当≤时，， 当＞时，×（﹣）×，

（）∵小兰家月份的用水量为吨， ∴她家要缴水费×（﹣）×元．

点评： 此题主要考查了一次函数的应用关键是分段函数的写法以及求自变量时把函数值正确代入相对应的函数，此题难度不大，是初中阶段考查重点．

．（?攀枝花）据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量（毫克）与燃烧时间（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段和双曲线在点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：

（）写出从药物释放开始，与之间的函数关系式及自变量的取值范围；

（）据测定，当空气中每立方米的含药量低于毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？

考点： 反比例函数的应用。 专题： 计算题。

分析： 首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．

解答： 解：（）设反比例函数解析式为， 将（，）代入解析式得，×， 则函数解析式为将代入解析式得，， 故（，），

设正比例函数解析式为， 将（，）代入上式即可求出的值，

（≥）， ，

，

则正比例函数解析式为（≤≤）． （）

，

解之得（分钟），

答：从药物释放开始，师生至少在分钟内不能进入教室．

点评： 本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． ．（?呼和浩特）如图，一次函数与反比例函数（）求一次函数的解析式； （）根据图象直接写出

时的取值范围．

的图象交于（，），（，）两点．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题。

分析： （）先把（，）、（，）代入反比例函数，可求、的值，即可得、的坐标，然后把两点坐标代入一次函数，可得关于、的二元一次方程组，解可得、的值，进而可得一次函数的解析式；

（）根据图象可知当＜＜时，一次函数的值大于反比例函数的值． 解答： 解：（）∵点（，）、（，）在函数图象上， ∴，，

∴点坐标是（，），点坐标是（，），

把（，）、（，）代入一次函数中，得

，

解得

，

∴一次函数的解析式为﹣； （）由图象知：＜＜．

点评： 本题考查了一次函数与反比例函数交点的问题，解题的关键是先求出、的值，并注意待定系数法的使用．

．（?湖州）如图，已知菱形的边长为抛物线（≠）经过、两边的中点． （）求这条抛物线的函数解析式；

（）将菱形以每秒个单位长度的速度沿轴正方向匀速平移（如图），过点作⊥于点，交抛物线于点，连接、．设菱形平移的时间为秒（＜＜

）

，点在轴负半轴上，点在坐标原点．点的坐标为（﹣

，），

①是否存在这样的，使△与△相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

②连接，以点为旋转中心，将△按顺时针方向旋转°，得△′′，当△′′落在轴与抛物线在轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求的取值范围．（写出答案即可）

考点： 二次函数综合题。

分析： （）根据已知条件求出和的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式；

（）本问是难点所在，需要认真全面地分析解答： ①如图所示，△与△相似，包括三种情况，需要分类讨论： （）若∠°时，△∽△，求此时的值；

（）若∠°时，△∽△，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的的值； （）∠≠°，此时不存在；

②如图所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出的取值范围．确定限制条件是解题的关键． 解答： 解：（）由题意得的中点坐标为（﹣分别代入得

，

，），的中点坐标为（，），

解得，，

∴﹣． （）①如图所示，在△中，∠°，，∴∴

，

，∴∠°，∠°

又∵∥，∴∠∠° ∴∠°﹣°°

要使△与△相似，则△中必有一个角为直角． （）若∠° ∠°﹣°° 在△中，

，求得，．

又∵（，），（，﹣），∴﹣（﹣）∴，∵＞，∴ 此时∴又∵∠∠

∴△∽△ （）若∠°，

，

，

，

可证得△∽△，则设，则﹣ ∴

，即﹣3m，此方程无实数根．

∴此时不存在； （）由题意得，∠＜∠°

∴∠≠°，此时不存在． 综上所述，存在，使△与△相似；

②如图所示，依题意作出旋转后的三角形△′′，过′作⊥轴，分别交抛物线、轴于点、点． 观察图形可知，欲使△′′落在指定区域内，必须满足：′≤且≥′． ∵（，﹣），∴﹣（﹣），∴′， 由′≤，得≤，解得≤∵′′

．

，

，∴′点的横坐标为﹣

），又′′﹣′﹣，

∴﹣（﹣

由≥′，得﹣（﹣∴的取值范围为：

）≥﹣，解得≥

．

．

点评： 本题是动线型中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换（平移与旋转）、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等重要知识点，难度较大，对考生能力要求很高．本题难点在于第（）问，（）①中，需要结合△与△相似的三种情况，分别进行讨论，避免漏解；（）②中，确定“限制条件”是解题关键．

面对着学习，你就要有毅力。因为你就如身在干旱的沙漠之中，没有水也没有食物，你有的就仅仅是最后的那一点力气和时时蒸发着的那一点微少的汗水，你在这种地境里，不可以倒下，要坚强，要努力走出这个荒芜的沙漠，找回生存的希望，仅此无他。在学习的赛跑线上，你就应该有着这不懈的精神，累了，渴了，你仍要坚持下去，因为终点就在不远的前方…行路人，用足音代替叹息吧！志士不饮盗泉之水，廉者不受嗟来之食你的作业进步很大，继续加油！你会更出色！ 位卑未敢忘忧国，事定犹须待阖棺。 希望你一生平安，幸福，像燕雀般起步，像大雁般云游，早日像鹰一样翱翔,千里之行，始于足下。学习就是如此痛快，它能放松人的心灵，但必须是在热爱的基础上。瞧！学习就能带来如此奇妙的享受！ 学习总是在一点一滴中积累而成的，就像砌砖，总要结结实实。踏踏实实的学吧！加油！成功属于努力的人！聪明出于勤奋，天才在于积累。 人天天都学到一点东西，而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。 生活中处处都有语文，更不缺少语文，而是缺少我们发现语文的眼睛，善于发问的心。让我们在生活中，去寻找更有趣、更广阔、更丰富.

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