中考数学专题39 数学思想方法问题 - 图文

学科教师辅导讲义

年 级： 辅导科目：数学 课时数：3 课 题 教学目的 教学内容 数学思想方法问题 一、【中考要求】 1． 利用建模思想准确选择方程、不等式、函数解决问题； 2． 利用分类讨论思想解决数学问题，确保结论不重复、不遗漏。 3． 利用转化思想准确在实际问题、数学问题间相互转化； 4． 利用数形结合思想解决数学问题。 二、【考点知识梳理】 数学思想方法是学习数学知识的精髓，是培养数学分析问题、解决问题能力提升的有效途径，在数学学习过程中，如果经常反思总结一些数学思想方法，能达到触类旁通的解题目的，而且能节省审题时间，因此，在中考冲刺阶段一定要多进行题后反思的环节，力争通过反思数学思想方法达到“做一题，会一类”的目的． 初中数学思想主要有：①转化思想；②数形结合思想；③整体思想；④分类讨论思想；⑤函数与方程的思想；⑥统计思想；⑦特殊到一般的思想等． 现就常用数学思想方法举例说明如下： 1．转化思想 数学中考题是千变万化的，而其中蕴含的数学思想方法是不变的，如新知识问题转化为旧知识问题，较复杂问题转化为简单问题等，都要用到转化的思想方法． 2．数形结合思想 数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决途径，或用数量关系研究几何图形的性质去解决几何图形的问题，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决的一种数学思想． 在初中阶段涉及数形结合思想的内容有：数轴、函数、三角形、四边形、圆、列方程(组)解应用题等．数形结合思想方法的应用，可帮助我们理解题意，分清已知量未知量，理顺题中的逻辑关系． 3．分类讨论思想 分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类的原则是：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类必须是同一个标准；(3)分类讨论应逐级进行．分类思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题． 一般把握一个原则：遇到模棱两可的情况时往往采用分类讨论的思想．比如，遇到“等腰三角形、圆”等相关知识时常用分类讨论的思想． 三、【中考典例精析】 类型一 转化思想 x2x(1)解方程：＝＋1. x＋13x＋3【点拨】解分式方程时，应去分母“转化”为整式方程再求解，最后注意验根．

【解答】去分母，得3x＝2x＋3x＋3，整理，得－2x＝3， 3解得x＝－. 23经检验，x＝－是原方程的根． 2(2)已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，求∠B的度数及AC的长． 【点拨】解决梯形问题时，往往通过作辅助线“转化”为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形去解决，常见辅助线有平移一腰、作高、平移对角线等． 【解答】如图，分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足． ∴∠AFB＝∠DGC＝90°. ∵AD//BC，∴四边形AFGD是矩形，∴AF＝DG. ∵AB＝DC，∴Rt△AFB≌Rt△DGC，∴BF＝CG. ∵AD＝2，BC＝4，∴BF＝1. BF1在Rt△AFB中，∴cosB＝＝，∴∠B＝60°. AB2∵BF＝1，∴AF＝3. ∵FC＝3，由勾股定理，得AC＝23. ∴∠B＝60°，AC＝23. 类型二 数形结合思想 求满足不等式组??2x＋5>1， ①???3x－8≤10 ② 的整数解． 【点拨】解不等式(组)或求其特殊解时，要借助数轴求解，以防出现错解或漏解． 【解答】解不等式①，得x>－2. 解不等式②，得x≤6.∴－2

1．方程组?A.??x＝1???y＝2?2x－y＝3???x＋y＝3 的解是( ) B.??x＝2???y＝1 C.??x＝1???y＝1 D.??x＝2???y＝3 ??x＝2解析：两式左右分别相加，得3x＝6(转化为一元一次方程)，解得x＝2，把x＝2代入②得y＝1，∴?是原?y＝1? 方程组的解，故选B. 答案：B 32．若点A(x1，y1)、B(x2，y2)在反比例函数y＝－的图象上，且x1<0y2>0 B．y10>y2 D．y1<0

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解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想． 42(2)请利用以上知识解方程x－x－6＝0. 解：(1)换元 (2)设x2＝y，那么原方程可化为y2－y－6＝0. 解得y1＝3，y2＝－2. 当y＝3时，x2＝3，∴x＝±3， 2当y＝－2时，x＝－2不符合题意，舍去 ∴原方程的解为x1＝3，x2＝－3. 五、【课后强化作业】 一、选择题： 1．（09青海）方程x2?9x?18?0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定 2．已知圆A和圆B相切，两圆圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（ ） A．5cm B．11cm C．3cm D．5cm或11cm 3．（10嘉兴）根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是 （ ） A．0.8元/支，2.6元/本 B．0.8元/支，3.6元/本 C．1.2元/支，2.6元/本 D．1.2元/支，3.6元/本 4．已知直角三角形的两直角边长分别为4cm、3cm，以其中一条直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的底面积一定是 ( ) A．9πcm2 B．16πcm2 C．9πcm2或25πcm2 D．9πcm2或16πcm2 225.根据下列表格中二次函数y?ax?bx?c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax?bx?c?0小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？ 哦，?，我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱。 （a?0，a，b，c为常数）的一个解x的范围 （ ） Ａ．6?x?6.17 Ｂ．6.17?x?6.18 Ｃ．6.18?x?6.19 Ｄ．6.19?x?6.20 6．已知函数y?ax?bx?c的图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ） 22 y?ax?bx?c 6.17 ?0.03 6.18 ?0.01 6.19 0.02 6.20 0.04

A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＞0，c＜0 7．（10益阳）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是 ( ) Ａ． B． C． D． oxoxoxoxyy火车隧道yy 8．(10绍兴)一辆汽车和一辆摩托车分别从A,B两地去同一城市,它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示.则下列结论错误的是 ( ) ．．A.摩托车比汽车晚到1 h B. A,B间20 km C.摩托车速45 km/h D.汽车速60 km/h 二、填空题： 9. 直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝x2－x－6与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于2点C.如果点M在y轴右侧的抛物线上， S△AMO＝S△COB，那么点M的坐标是 3 AOBxy C (第5题图) （第6题图） （第7题图） (第8题图) 10．如图，两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，则阴影部分面积为 11．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上 的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y?kx (x＞0)的图像经过点A，若S△BEC=8，则k等__ __． 2x12．如图，在反比例函数y?（x?0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1?S2?S3? ． 2213．对于二次函数y=ax2+bx+c下列命题：① a?b?c?0时b?4ac?0；②b?a?c时方程ax?bx?c?0有22两个不相等的实数根；③b?2a?3c时方程ax?bx?c?0有两个不相等的实数根；④若b?4ac?0，则二次

函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确序号的是 14．（10日照）一次函数y=43x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点，使△ABC为等腰三角形，则这样的的点C最多有 个． ．．15．若︱a︱=3，︱b︱=2，且a＞b，则a+b= ． 16．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为________. 17. 已知关于x的方程k2x2－2(k＋1)x＋1＝0有实数根，求k的取值范围是 18．五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是4，唯一众数是5，则这五个正整数的和为 . 19.（10上海）已知正方形ABCD中，点 E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如 图所示） 把线段AE绕点A旋转，使 点E落在直线BC上的点F处，则F、 ADEB（第9题图） CC两点的距离为__________. 420. (10聊城)函数y1＝x(x≥0)，y2＝ (x＞0)的图象如图所示，下列结论： x① 两函数图象的交点坐标为A（2，2）； ② 当x＞2时，y2＞y1； ③ 直线x＝1分别与两函数图象交于B、C两点，则线段BC的长为3； ④ 当x逐渐增大时，y1的值随着x的增大而增大，y2的值随着x的增大而减小． 则其中正确的有 （只填序号）。 三、解答题： 21．（10台州）A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象． （1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度． 600 y/千米 C E F （第10题图） O 6 D 14 x/小时

BC?OC，22．（07丽水）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO的边OC落在x轴的正半轴上，且AB∥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO面积．将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S． （1）分析与计算： 求正方形ODEF的边长； （2）操作与求解： ①正方形ODEF平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S（S＞0）的变化情况是 ； A．逐渐增大 B．逐渐减少 C．先增大后减少 D．先减少后增大 ②当正方形ODEF顶点O移动到点C时，求S的值； （3）探究与归纳： 设正方形ODEF的顶点O向右移动的距离为x，求重叠部分面积S与x的函数关系式．

y E F A B D O C x

23． （10泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）． ⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？ 24．（09益阳）、阅读材料： 如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S?ABC?12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B. 铅垂高 h B C （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S?CAB； 水平宽 a 图1 y C B

（3）是否存在一点P，使S△PAB=98S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，

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