中考初中数学知识点

祝同学们中考取得好成绩，为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量）代数部分

祝同学们中考取得好成绩，为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量）

1 整式

祝同学们中考取得好成绩，为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量）

祝同学们中考取得好成绩，为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量）整式 单项式：数与字母的积或单独一个数或字母 如：2，3a

多项式：几个单项式的和 如：a+b，3x-4y

同类项：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项 合并同类项：合并同类项时，同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，

字母和字母的指数不变

去括号 括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里面不变号 括号前面是“-”号，去掉“-”号和括号，括号里面都变号 添括号 所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号 所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号

祝同学们中考取得好成绩，为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量）祝同学们中考取得好成绩，为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量）①同底数幂相乘，底数不变，指数相加 a?a?amnmnm?n

②同底数幂相除，底数不变，指数相减 a?a?am?n幂的运算 ③任何不等于零的数的零次幂都等于1 a0?1(a?0) ④幂的乘方，底数不变，指数相乘 (am)n?amn祝同学们中考取得好成绩，为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量）

⑤积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 (ab)n?anbn

⑥负指数幂：a?n111?11?n (a≠0) 例：3?2?2?;92?1? a933921 ①单项式相乘时，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，对于在一个单项式

里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

单项式的运算 ②单项式相除时，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，

则连同它的指数作为商的一个因式

①单项式与多项式相乘，是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得 单项式与多项式的运算 的积相加 m（a+b+c）=ma+mb+mc

②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加

多项式的乘法：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项 ，然后把所得的积

相加 (a+m)(b+n)=ab+an+bm+mn

祝同学们中考取得好成绩，为中华民族的伟大复兴奉献自己的力量） (x+a)(x+b)=x?(a?b)x?ab

乘法公式 ①平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

②完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2

其中：（a+b）2+（a-b）2=2a2+2b2； （a+b）2 -（a-b2）=4ab

22 实数（有理数和无理数的统称）

正整数 自然数 整数 零

有理数 负整数

实数 分数

无理数-----------无限不循环小数叫做无理数 (如?，5，0.1010010001?)

1

a（a、b是整数，且b≠0）的形式 ba无理数不能写成分数 （a、b是整数，且b≠0）的形式

b有理数都可以写成

①同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加

②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，把较大的绝对值

减去较小的绝对值

有理数的加减法 ③一个数与零相加，仍得这个数

④加法交换律：a+b=b+a ⑤加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） ⑥减去一个数，等于加上这个数的相反数 ①两数相乘（除），同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（除） ②除以一个数等于乘以这个数的倒数 ③任何数与零相乘，都得零

有理数的乘除法 ④零除以任何一个不等于零的数，都得零

⑤乘法交换律：ab=ba ⑥乘法结合律：（ab）c=a（bc） ⑦乘法分配律：a（b+c）=ab+ac

有理数的乘方：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 有理数的混合运算：先乘方、开方，再乘、除，后加、减。有括号时，要先算括号里面的。 有效数字：从左边第一个不是零的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数

的有效数字 科学计数法：N＝a?10n（1?a?10，n为整数）例：3540000＝3.54?10;-0.000128=-1.28?10

①实数和数轴上的点是一一对应的。即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数

②一个实数的绝对值就是表示这个实数的点离开原点的距离

a a＞0

实数 ｜a｜= 0 a=0

-a a＜0（-a表示实数a的相反数）

③正数都大于零；负数都小于零；正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小

④进行实数运算时，有理数的运算法则、运算律、运算性质以及运算顺序等同样适用

6?4三 因式分解（把多项式化成几个整式的积的形式）

①提公因式法：提取的的公因式是各项系数的最大公约数（系数都是整数数时）与各项都含有的相同字母的最

低次幂的积

②运用公式法：⑴平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

⑵完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2

③十字相乘法：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

④分组分解法：利用分组来分解因式（一般对于四项而言，一项三项分或二项二项分，分组须合理）

⑤公式法：把二次三项式ax2+bx+c因式分解时，可以先用求根公式求出二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2，

然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）

2

四 分式

意义：一般地，两个整式A、B相除时，可以表示为

AA的形式。如果分母B中含有字母，那么（B≠0）叫BB做分式

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 ①如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最大公约数，相同因式的 约分 最低次幂

②如果分式的分子和分母是多项式，先分解因式，再约分 ③约分时，一般要约到最简分式或整式

通分：通分先要确定几个分式的最简公分母。如果各分母的系数都是整数，通常可取所有分母系数的最小公倍

数与字母因式的最高次幂的积作最简公分母

①同分母分式相加减，把分子相加减，分母不变

②异分母分式相加减，先通分，然后按照同分母分式加减的法则进行计算

分式的运算 ③分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母

④分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 ⑤分式的乘方，把分子、分母分别乘方

五 数的开方

①正数的两个平方根互为相反数（正数a的两个平方根记为?a）

平方根 ②零的平方根是零 ③负数没有平方根

平方根的大小：如果a、b是正数，且a＜b，则a?b 平方根的规律：①被开方数扩大100倍，它的平方根扩大10倍 ②被开方数缩小为原来的

11，它的平方根缩小为原来的 10010③被开方数的小数点向右（向左）移动两位，它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一

位

立方根：①任何一个数都有立方根，而且只有一个立方根

②求一个负数的立方根，只要先求出这个负数绝对值的立方根，然后取它的相反数

奇次方根： ①一个数a的奇次方根只有一个。正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个

负数；零的奇次方根是零 n次方根 ②当n是奇数，a的n次方根可以用符号“na”表示 偶次方根： ①正数的偶次方根有两个，它们互为相反数

②当n是偶数时，正数a的n次方根表示为±na（当n=2时，根指数2 略去不写） 分数指数幂：a?a(a?0)

nmmn1nam?a?mn （其中m、n为正整数，n ＞1） (a?0)六 二次根式

分母有理化：把分母中的根号化去（乘以分母的有理化因式或因式分解约分化简）

最简二次根式 ①被开方数的因数是整数，因式是整式

②被开方数中，不含能开得尽方的因数或因式

3

注意 ：（1）二次根式的化简，就是把二次根式化为最简二次根式。在化简时，往往要把被开方数分解因数或分

解因式

(2)当一个式子的分母中含有二次根式时，应把它分母有理化

二次根式的计算 ①二次根式相加减，先把各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（不是同类

的二次根式不能合并）

②实数的运算法则都适用于二次根式的计算 ③几个二次根式的和相乘时，可用乘法公式计算

七 一次方程

关于x的方程ax?b：(1)当a?0时，有唯一解：x?

(2)当a?0,b?0时，无解 (3)当a?0,b?0时，有无数解

例：当m?2,n??3，方程(m?2)x?3?n有无数解。

一元一次方程的解法和依据： 去分母 去括号 移项 合并同类项，化成ax=b（a≠0）的形式 等式性质二 分配律 等式性质一 分配律 等式性质二

b a

b系数化成1，得x= a

一元一次方程的应用 解题步骤：审题——设元——列方程——解方程——写答案 顺水速度=静水速度+水速 某些等量关系 逆水速度=静水速度-水速

工作总量=工作时间3工作效率 二元一次方程的解：任何一个二元一次方程都有无数个解 二元一次方程组的解法：⑴代入法 ⑵加减法

八 二次方程

（一）一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0） ① 解法 因式分解法：（x+a）（x+b）=0，x1= -a，x2= -b

开平方法： 解形如ax2+c=0（a≠0）一元二次方程，则x=?2

c a当a、c异号时，方程有两个实数根x=??c a当a、c同号时，方程无实数根

当c=0，方程有两个相等的实数根，x1=x2=0（重根）

配方法 ：先把方程的一边配成一个含有一个未知数的完全平方的形式，

右边是一个常数，然后用开平方法来解

?b?b2?4ac公式法：x= （a≠0，b2-4ac≥0）

2a

4

② 根的判别式：△= b2-4ac

如果方程有两个不相等的实数根?b2-4ac＞0 如果方程有两个相等的实数根?b2-4ac=0 如果方程没有实数根?b2-4ac＜0

注意：方程有两个实数根?b2-4ac≥0，

④ 根与系数的关系：若方程ax2+bx+c=0（a≠0）两根为x1、x2则x1+x2=?bc x12x2= aa（二）分式方程（要检验）

① 解法 ⑴在分式方程的两边同乘以各分母的最简公分母，把原方程中分母约去， 转化成整式方程

⑵解这个整式方程

⑶把整式方程的根代入方程两边同乘的整式（最简公分母）中，看所得的值是不是零，使所乘整式的值为零的根是增根，必须舍去

② 解分式方程组的方法：换元法 （三）无理方程（要检验）

① 解法：把无理方程两边同时平方，转化为有理方程

② 注意：检验时，若左右两边不相等，是增根，必须舍去；

若被开放数是负数，也是增根，必须舍去

（四）二元二次方程（组）

形式：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c不同时为零） ① 二元二次方程组的解法： ⑴代入法 ⑵因式分解法 （五）黄金分割

① 定义：把一条线段分为不相等的两部分，使较长部分是原线段和较短部分的比例中项 ② 黄金分割数：较短的线段的长︰较长的线段的长=较长的线段的长︰全线段的长=一个无理数，近似值是0.618

5?1 这个比值是2九 一元一次不等式（组）

① 不等式的性质 ⑴不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 不变

⑵不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变 ⑶不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向要改变 ② 不等式的解集在数轴上的表示：小圆圈“○”表示不包括

小黑点“●”表示包括

③ 一元一次不等式组的解法： ⑴先求出不等式组里每一个不等式的解集

⑵再求出各个不等式的解集的公共部分（画数轴），就可得到

不等组的解集

十 比例

① 定义：表示两个比相等的式子

② 性质：两个外项的积等于两个内项的积a：b=c：d?ac=bd

③ 比例中项：如果a︰b=b︰c，则b叫做a、c的比例中线，这时b2=ac

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十一 函数

（一）函数 ① 意义：一般地，设在某个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某个允许取值范围内的每一个确定值，

按照某一个对应法则，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数 ② 函数关系式：y=f（x）f是对应法则

③ 函数定义域：当函数的解析式是整式时，函数的定义域为一切实数

当函数的解析式是分式时，函数的定义域为使分母不为零的实数

当函数的解析式是偶次根式时，函数的定义域为使被开方数≥0的实数 当函数的解析式是奇次根式时，函数的定义域为一切实数 ④点P(x,y)关于x轴的对称点是P2(?x,y)； 1(x,?y)，关于y轴的对称点是P关于原点的对称点是P3(?x,?y)

⑤两点A(x1,y1),B(x2,y2)的距离：AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2

在x轴上两点：AB?x1?x2 在y轴上两点：AB?y1?y2

（二）正比例函数（一次函数的特殊情况） ① 解析式：y=kx（k≠0）

② 图象：正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线 ③ 性质：当k＞0，图象（除原点外）在第一、三象限内，y随x的增大而增大 当k＜0，图象（除原点外）在第二、四象限内，y随x的增大而减小 （三）反比例函数 ①解析式：y=

k（k≠0） x②图象：双曲线，有两个分支

③性质：当k＞0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象内，在每个象限内，

自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小

当k＜0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象内，在每个象限内，

自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐增大

图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交 函数 解析式 图象 性 质 正比例函数 y?kx(k?0) 反比例函数 y?k(k?0) x 过原点的直线 k＞０ 位置 增减性 第一、三象限 y随x增大而增大。 第二、四象限 y随x增大而减小。 双曲线 k＞０ 位置 增减性 第一、三象限 y随x增大而减小。 第二、四象限 y随x增大而增大。 k＜０ 位置 增减性 k＜０ 位置 增减性

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（四）一次函数

① 解析式y=kx+b（k≠0，k、b是常数）。当b=0时，一次函数y=kx+b成为正比例函数y=kx ② 定义域：一切实数

③ 图象：经过（0，b）且平行于直线y=kx的一条直线 ④ 两直线的位置关系：l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，

若k1=k2，b1≠b2，则l1∥l2； 若l1∥l2，则k1=k2，b1≠b2

相交时，k1≠k2，此时交点坐标通过解 k1x+b1 方程组得到 y=k2x+b2 ⑤ 截距：直线y=kx+b与y轴交于（0，b），b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距 ⑥ 一次函数y=kx+b与x轴的交点的横坐标是方程kx+b=0（k≠0）的根

⑦性质 当k＞0时，y随x的增大而增大 当b＞0时，经过第一、二、三象限 当b=0时， 经过第一、三象限 当b＜0时，经过第一、三、四象限 当k＜0时，y随x的增大而减小 当b＞0时，经过第一、二、四象限 当b=0时， 经过第二、四象限 当b＜0时，经过第二、三、四象限 （五）：二次函数

①形式：一般式：y=ax2+bx+c（a≠0） 两根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0） 顶点式：y=a（x+m）2+k（a≠0） ②定义域：一切实数 ③图象：抛物线 ④ 性质：

⑤二次函数y=ax+bx+c（a≠0）和一元二次方程ax+bx+c=0的关系：

当方程ax2+bx+c=0的△＞0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有2个交点 当方程ax2+bx+c=0的△=0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有1个交点 当方程ax2+bx+c=0的△＜0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴无交点 ⑥二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点：

7

22

交点的横坐标x的值就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根 ⑦二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 中a、b、c的符号判别：

(1）a的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a＞0；

当开口向下时，a＜0

（2）b的符号判别由对称轴来确定：对称轴在y轴的左侧时，a、b同号；

对称轴在y轴的右侧时，a、b异号 对称轴是y轴，b=0

（3）c的符号判别由抛物线与Y轴的交点确定：与Y轴的交点在正半轴时，c ＞ 0；

与Y轴的交点在负半轴时，c ＜ 0； 抛物线过原点时（与Y轴交与原点），c =0；

⑧顶点在特殊位置：顶点在x轴，△=0 顶点在y轴，b=0

顶点在原点，b=0且c=0

十二 统计初步

收集数据的方法：①普查； ②抽样调查。 （一般采用“随机抽样”，因为随机样本比较具有代表性，可以用来估计总体。） （一）表示数据平均水平的量：

x?x2?x3????xnx?1n① 平均数： (1)；

???xn?xn?ax?x?ax?x?aa1122(2)估计一个常数。则，，??

????x1?x2?x3????xnx?a?n而。 ② 加权平均数： 若在n个数中，x1出现了f1次，x2出现了f2次，? 则x?x1?f1?x2?f2?x3?f3????xn?fn。

f1?f2?f3????fn(2)当n是奇数时，中位数就是第

③ 中位数： (1)把n个数据从小到大排列；

n?1个数； 2nn当n是偶数时，中位数就是第个数与第(?1)个数的平均数。

222④ 平均数和方差的规律：

已知一组数据：x1,x2,x3,?，xn,它们的平均数为x，方差为s，那么

(1)一组新数据：x1+a，x2+a，x3+a，?，xn+a，它们的平均数为x+a，方差仍为s (2）一组新数据：ax1，ax2，ax3，?，axn，它们的平均数为ax，方差为as

⑤ 平均数和中位数的区别： 平均数和中位数都是一组数据平均水平的代表量， 在一般情况下最常用的是平均数，在一组数据中有极端值时，可以用中位数 （二）表示数据离散程度的量： ①方差：s?22221(x1?x)2?(x2?x)2?(x3?x)2????(xn?x)2 n??②标准差：s?1?(x1?x)2?(x2?x)2?(x3?x)2????(xn?x)2??? n（三）频数分布直方图与频率分布直方图

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①频数分布直方图：每一个小长方形的高=组频数；每一个小长方形的宽=组距 所有小长方形的高的和=数据总数；

②频率分布直方图：每一个小长方形的面积=组频率；每一个小长方形的宽=组距 所有小长方形的面积和=1；小长方形的高由

频率决定 组距

十三 锐角的三角比

① 锐角的三角比的意义

a bb余切：直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个角的余切记作cotA, 此时，cotA?

aa正弦：直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦记作sinA, 此时，sinA?

cb余弦：直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个角的余弦记作cosA, 此时，cosA?

c正切：直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个角的正切记作tanA， 此时，tanA? 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比 注：（1）设A为锐角，那么它的三角比tanA、cotA、sinA、cosA 的值都是正实数，

其中 tanA>0、cotA>0、0

0B斜边c对边a可直接得到

sinA?cosB， cosA?sinB，

tanA?cotB，cotA?tanB ，

1 tanA?

cotA

② 特殊锐角三角比的值 ? sin? 1 30? 2 A邻边bCcos? 3 22 21 2tan? cot? 3 3 1 3 1 45? 60? 2 23 23 3 3③ 解直角三角形 定义：由直角三角形的已知角求已知边角求出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形 常用的关系和公式：

在Rt?ABC中，?C?90?，?A、?B、?C的对边为a、b、c （1）三边的关系：a?b?c； （2）锐角之间的关系：?A??B?90?； （3）边角之间的关系：

222 9

sinA?

abab，cosA?，tanA?，cotA?等 ccba十四、数的整除

①整除：整数a除以b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；

或者说b能整除a

②因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数） ③能被2、5整除的数：个位上是0，2，4，6，8，的整数都能被2整除 个位上是0或5的整数都能被5整除

④奇数：?-7，-5，-3，-1，1，3，5，7? 偶数：?-6，-4，-2，0，-2，4，6，? 素数（也叫质数）：只有1和它本身两个因数的数。例如：2，3，5，7，11，13 ⑤正整数 1：既不是素数也不是合数

合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数.例如：4，6，8，9，10，12

⑥素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，

叫做这个合数的素因数

分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数 互素：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素

⑦公因数与最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；

其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数

公倍数与最小公倍数：几个整数公有的倍数叫做他们的公倍数，

其中最小的一个叫做他们的最小公倍数

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几何部分

一 线段、角

1） 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 2） 两点之间线段最短

二 相交线、平行线

1） 经过直线外或直线上一点，有一条而且只有一条直线与已知直线垂直 2） 经过已知直线外的一点，有一条直线而且只有一条直线与已知直线平行

三 平行四边形

平行四边形两组对边分别平行 平行四边形的对角相等

1）平行四边形的性质 平行四边形的对边相等

平行四边形的对角线互相平分

平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心

两组对边分别平行的四边形平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2）平行四边形的判定 一组对边分别相等的四边形是平行四边形

对角线互相平分的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

四 菱形、矩形、正方形（具有平行四边形所有的性质）

矩形的性质 矩形的四个角都是直角

矩形的对角线相等

矩形的判定 有三个角是直角的四边形是矩形

对角线相等的平行四边形是矩形

菱形的四条边都相等

菱形的性质 菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角

菱形的面积等于它的两条对角线的积的一半

菱形的判定 四条边相等的四边形是菱形

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

正方形四个角是直角

正方形的性质 正方形的对角线相等且互相垂直平分

正方形四条边相等

正方形每一条对角线平分一组对角

正方形的判定 有一个角是直角的菱形是正方形

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有一组邻边相等的矩形是正方形

菱形、矩形、正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点

五 梯形

等腰梯形的同一底边上的两个内角相等

等腰梯形的性质 等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴

等腰梯形的两条对角线相等

等腰梯形的判定：在同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形

对角线相等的梯形是等腰梯形

梯形的中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 梯形的面积： 中位线3高

（上底+下底）3高÷2

六 三角形

①三角形的概念

1） 三角形的三个内角和等于180°

2） 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 3） 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 4） 三角形的任何两边的和大于第三边

②等腰三角形的性质： (1)等腰三角形的两腰相等

(2)等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)

(3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(等腰三角形三线合一.) (4)等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线是 它的对称轴 .

③等腰三角形的判定:

(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形.(定义)

(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边)

④等边三角形的性质:

(1)等边三角形的三条边都相等.

(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60° (3)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.

⑤等边三角形的判定:

(1)有三条边相等的三角形是等边三角形.(定义) (2)三个角都相等的三角形是等边三角形.

(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

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⑥直角三角形的性质:

(1)直角三角形的两个锐角互余.

(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

(3)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

(4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30° (5)勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

⑦直角三角形的判定:

(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形.(定义)

(2)较小两边的平方和等于较大边的平方的三角形是直角三角形.(勾股定理的逆定理)

七 相似三角形

①比例线段，若

ac?（或a∶b=c∶d），则四条线段a、b、c、d叫做比例线段. bdac比例基本性质：若?，则ad=bc.

bd在比例中运用设k法. ②相似多边形，对应边成比例，对应角相等.）

③相似三角形的相似比（当k=1时,得特殊的相似三角形，称为全等三角形）. ④相似三角形的判定定理：

(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么两个三角形相似；

(2)如果一个三角形的两边分别与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角对应相等，那么两个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么两个三角形相似； (4)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． ⑤相似三角形的性质定理：

(1)若两个三角形相似，则这两个三角形的对应边成比例，对应角相等.

(2)若两个三角形相似，它们对应中线的比，角平分线的比，高的比都等于相似比. (3)若两个三角形相似，它们周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. ⑥重心：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍

八 圆

1、 圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。 2、 点和圆的位置关系：

设圆的半径为R，点到圆心的距离为d，则 点在圆内?d＜R 点在圆上?d= R 点在圆上?d＞R

3、 直线和圆的位置关系： 设圆的半径为R，圆心到直线的距离为d。

直线和圆的位置关系 直线和圆相离?d＞R 直线和圆相切?d＝R 直线和圆相交?0≤d＜R

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直线和圆的交点个数 0 1 2 直线名称 切线 割线 4、 圆与圆的位置关系： 设两圆半径分别为R、r（Rr），圆心距为d。

两圆位置关系 外离?d＞R+r 外切?d=R+r 相交?R－r＜R+r 内切?d＝R－r 内含?0≤d＜R－r 交点个数 0 1 2 1 0 有关性质 相切两圆的连心线经过切点 相交两圆的连心线垂直平分公共弦 相切两圆的连心线经过切点 5、 不在同一直线上的三点确定一个圆。

6、 圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是圆的对称轴。 7、 垂径定理及其逆定理 （1）过圆心的直线 （2）垂直于弦 （3）平分弦

（4）平分弦所对的弧

在圆中以上四个结论满足其中的两个条件，就能推出其它两个条件。 需强调的是：当平分弦作为条件之一时，必须是非直径的弦。 8、 圆的弦、弧、弦心距、圆心角间的关系定理。在同圆或等圆中 （1）弦相等

（2）弦所对的弧相等 （3）弦心距相等 （4）圆心角相等

在同圆或等圆中，只要满足其中的一个条件，就能推出其它的三个条件。 9、 圆切线的性质及判定

（1）性质：切线垂直于过切点的半径。 （2）判定

① 过半径的外端，并且垂直于这条半径。 ② 和圆心的距离等于半径。

10、三角形的内切圆的圆心叫三角形的内心，三角形的外接圆的圆心叫三角形的外心。 （1）内切圆的半径为r?2SC（S为三角形的面积，C为三角形的周长）

a?b?c（a、b为直角边，c为斜边） 2c（c为直角三角形的斜边） 2（2）直角三角形的内切圆半径r?（3）直角三角形的外接圆半径R?11、正多边形 ①概念：正多边形与圆有着密切的联系，任何一个正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，它们是同心圆。正n边形都是轴对称图形，有n条对称轴；当n为偶数时，它是中心对称图形，当n为奇数时，它不是中心对称图形。 ②性质：

（1）正多边形的各边都相等，各角都相等； （2）正多边形的内角和为（n－2）2180?，正多边形的外角和为360?

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360? n(n?2)180?（4）正n边形的每个内角=（内角与中心角互补）

n（3）正n边形的外角与中心角都是（n?3）?n（5）正多边形的对角线条数为

2③计算: 设圆的半径为r

（1） 圆的周长C?2?r??d

（2） 弧长l?n?2?r 3602（3） 圆面积S??r （4）扇形面积S?n?r2 360

④圆内接正三角形，正四边形的边长与圆半径的关系：

设圆的半径为r，则圆内接正三角形的边长为3r，圆内接正四边形的边长为2r。 ⑤圆外切正三角形，正四边形的边长与圆半径的关系：

设圆的半径为r，则圆外切正三角形的边长为23r，圆外切正四边形的边长为2r。

九 图形的运动

1．图形的平移：

将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移。 2．图形平移的性质：

图形平移后，对应点之间的距离、对应线段的长度、对应角的大小相等。图形平移后，图形的大小、形状都不变。

3．图形平移的距离：

平移时各对应点移动的距离叫做图形平移的距离。

4．图形的旋转：

在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心。这个一定的角度叫做旋转角。 5．图形旋转的性质：

图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着固定的点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。

6.旋转对称图形的定义：

把一个图形绕一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角0???360）。

7. 中心对称图形的定义：

把一个图形绕一个定点旋转180后，与初始图形重合，这种图形叫做中心对称图形，这个定点叫做旋转中心，

8.轴对称图形的定义：

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ooo把一个图形沿着一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点。

9. 轴对称图形的性质：

两个图形关于一条直线对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变。对称轴是联结对称点的线段的垂直平分线。 10. 平面直角坐标系内的点的对称的性质：

11.结论： 图形 直线 线段 射线 角 等腰三角形 等边三角形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 圆 正n边形（n为奇数） 原来坐标 （x，y） （x，y） （x，y） 双曲线 抛物线

轴对称 是 是 不是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 对称类型 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 是 是 是 对称轴个数 无数 1 1 1 3 2 2 4 1 无数 n 对称后坐标 （x，?y） （?x，y） （?x，?y） 中心对称 是 是 不是 不是 不是 不是 是 是 是 是 不是 是 不是 正n边形（n为偶数） n 2 1 是 是 不是 16

把一个图形沿着一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点。

9. 轴对称图形的性质：

两个图形关于一条直线对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变。对称轴是联结对称点的线段的垂直平分线。 10. 平面直角坐标系内的点的对称的性质：

11.结论： 图形 直线 线段 射线 角 等腰三角形 等边三角形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 圆 正n边形（n为奇数） 原来坐标 （x，y） （x，y） （x，y） 双曲线 抛物线

轴对称 是 是 不是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 对称类型 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 是 是 是 对称轴个数 无数 1 1 1 3 2 2 4 1 无数 n 对称后坐标 （x，?y） （?x，y） （?x，?y） 中心对称 是 是 不是 不是 不是 不是 是 是 是 是 不是 是 不是 正n边形（n为偶数） n 2 1 是 是 不是 16

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