初中数学知识点框架图

第一部分《数与式》知识点

??定义：有理数和无理数统称实数.????分类?有理数：整数与分数????无理数：常见类型(开方开不尽的数、与?有关的数、无限不循环小数）???实数??实数运算?法则：加、减、乘、除、乘方、开方????运算定律：交换律、结合律、分配律??????数轴（比较大小）、相反数、倒数（负倒数）科学记数法??相关概念:??有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子（a2，a,a)????????单项式：系数与次数?分类????多项式：次数与项数???加减法则：?加减法、去括号（添括号）法则、合并同类项??????mnm?nmnm?nmnmnam01?mmmam?a?a?a;a?a?a;(a)?a,(ab)?ab;()?m;a?1;a?p???幂的运算:??bbap??????整式??单项式?单项式；单项式?多项式；多项式?多项式???乘法运算:????单项式?单项式；多项式?单项式??????混合运算：先乘方开方，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算；括号优先???平方差公式：?(a?b)(a?b)?a2?b2???乘法公式?完全平方公式：(a?b)2?a2?2ab?b2??????分式的定义：分母中含可变字母?????分式?分式有意义的条件：分母不为零??分式值为零的条件：分子为零，分母不为零???数与式?????aa?maa?m?分式;?(通分与约分的根据）?分式的性质：????bb?mbb?m???????通分、约分，加、减、乘、除????分式的运算??先化简再求值（整式与分式的通分、符号变化）?化简求值?????整体代换求值?????定义：式子a(a≥0)叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于.0.?????a(a?0)??22?二次根式的性质：(a)?a;a??????a(a?0)????????最简二次根式（分解质因数法化简）???二次根式?二次根式的相关概念??同类二次根式及合并同类二次根式???分母有理化（“单项式与多项式”型）??????加减法：先化最简，再合并同类二次根式?????二次根式的运算?aa?乘除法：a?b?ab;?；（结果化简）???bb????定义：（与整式乘法过程相反，分解要彻底）????提取公因式法：（注意系数与相同字母，要提彻底）??????平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b)???分解因式??公式法?222方法???完全平方公式：a?2ab?b?(a?b)???2?十字相乘法：x?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)????? ??分组分解法：（对称分组与不对称分组）??第二部分《方程与不等式》知识点

???定义与解：???一元一次方程?解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.???应用：确定类型、找出关键量、数量关系????????定义与解：????解法：代入消元法、加减消元法??二元一次方程（组）??方程???简单的三元一次方程组：???简单的二元二次方程组：??????定义与判别式(△=b2-4ac)??一元二次方程????解法：直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法.????定义与根（增根）：??分式方程????解法：去分母化为整式方程，解整式方程，验根.????1.行程问题：??????2.工程（效）问题：???3.增长率问题：（增长率与负增长率）?????4.数字问题：（数位变化）??类型???5.图形问题：（周长与面积（等积变换））???方程与不等式???6.销售问题：（利润与利率）方程的应用?????7.储蓄问题：（利息、本息和、利息税）????8.分配与方案问题：??????1.线段图示法：???常用方法???2.列表法：???3.直观模型法：???????一般不等式解法?一元一次不等式????条件不等式解法?????解法：（借助数轴）?????1.不等式与不等式???不等式（组）????2.不等式与方程?????一元一次不等式组?应用???3.不等式与函数????4.最佳方案问题???????? ??5.最后一个分配问题????????第三部分《函数与图象》知识点

??①各象限内点的特点：????②坐标轴上点的特点?x轴：纵坐标y=0；????y轴：横坐标x=0.????③平行于x轴，y轴的线段长度的求法（大坐标减小坐标）直角坐标系???④不共线的几点围成的多边形的面积求法（割补法）????关于x轴对称(x相同，y相反）????⑤对称点的坐标?关于y轴对称(x相反，y相同）????关于原点O对称(x，y都相反）???????一、三象限角平分线：y=x???正比例函数：y=kx(k≠0)（一点求解析式）???二、四象限角平分线:y=-x?函数表达式???一次函数：y=kx+b(k≠0)（两点求解析式）??????增减性：y=kx与y=kx+b增减性一样，k＞0时，x增大y增大；k＜0,x增大y减小.?一次函数???平移性：y=kx+b可由y=kx上下平移而来；若y=k1x+b1与y=k2x+b2平行，则k1?k2,b1≠b2.??垂直性： 若y=kx+b与y=kx+b垂直，则k?k??1.112212????求交点：（联立函数表达式解方程组）???正负性：观察图像y＞0与y＜0时，x的取值范围（图像在x轴上方或下方时，x的取值范围）??k??表达式：y?(k≠0)(一点求解析式）?x????①区域性：k＞0时，图像在一、三象限；k＜0时，图像在二、四象限.??????k＞0在每个象限内，y随x的增大而减小；????②增减性???k＜0在每个象限内，y随x的增大而减小.?反比例函数?性质??????③恒值性：（图形面积与k值有关）???④对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形.????函数??求交点：（联立函数表达式解方程组求交点坐标，还可由图像比较函数的大小）???????①一般式：y=ax2?bx?c,其中(a?0),???2?（k,h)为抛物线顶点坐标；?表达式?②顶点式：y=a(x?k)?h,其中(a?0),??③交点式：y=a(x?x)(x?x),其中(a?0)，x、x是函数图象与x轴交点的横坐标；?1212??????①开口方向与大小：a＞0向上，a＜0向下；a越大，开口越小；a越小，开口越小.??????②对称性：对称轴直线x=-b???2a?????a＞0，在对称轴左侧，x增大y减小；在对称轴右侧，x增大y增大；??③增减性????性质???a＜0，在对称轴左侧，x增大y增大；在对称轴右侧，x增大y减小；???2?b4ac?b?二次函数??④顶点坐标：（-,）???2a4a???4ac?b2b4ac?b2?⑤最值：当a＞0时,x=-b，y??=；a＜0时，x=-，y=.最小值最大值?2a4a2a4a????示意图：画示意图五要素（开口方向、顶点、对称轴、与x、y交点坐标）??????a与c：开口方向确定a的符号，抛物线与y轴交点纵坐标确定c的值；???b的符号：b的符号由a与对称轴位置有关：左同右异.?????符号判断?Δ=b2?4ac：Δ＞0与x轴有两个交点；Δ＝0与x轴有两个交点；Δ＜0与x轴无交点.????a?b?c：当x=1时，y=a+b+c的值.???????a?b?c：当x=-1时，y=a-b+c的值.????①求函数表达式：???函数应用?②求交点坐标：???③求围成的图形的面积(巧设坐标）：????④比较函数的大小.?

第四部分《图形与几何》知识要点

??直线：两点确定一条直线???线?射线：??线段：两点之间线段最短，（点到直线的距离，平行线间的距离）????角的分类:锐角、直角、钝角、平角、周角.??0”’”角的度量与比较：1?60， 1?60；??角???余角与补角的性质：同角的余角（补角）相等，等角的余角（补角）相等，????角的位置关系：同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角??对顶角：对顶角相等.?相交线几何初步???垂线：定义，垂直的判定，垂线段最短.?????????定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线???平行线?性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；???同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行?????判定：平行于同一条直线的两条直线平行????平面内，垂直于同一条直线的两直线平行????

?的对边?的邻边?的对边??定义：在RtABC中，sin?=斜边，cos?=斜边，tan?=?的邻边???133000sin30?，cos30?,tan30?；??223????三角函数?22?000特殊三角函数值sin45?，cos45?,tan45?1；?? 22???31?000sin60?，cos60?,tan30?3.??22?????应用：要构造Rt△，才能使用三角函数.???按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形分类????按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形?????三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；?????边?面积与周长：C=a+b=c，S=1底?高.????2?????三角形的内角和等于180度，外角和等于360度；??角?三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和；???????三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.???一般三角形??中线：一条中线平分三角形的面积?????性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；?????角平分线???判定：到角两边的距离相等的点在角的平分线上.????内心：三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等.???????线段?高：高的作法及高的位置（可以在三角形的内部、边上、外部）???中位线：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.???????性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；??????中垂线?判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.????外心：三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等????三角形??????等腰三角形的两腰相等、两底角相等，具有三线合一性质，是轴对称图形.?性质????等边三角形的三边上均有三线合一，三边相等，三角形等都为60度.????有两边相等的三角形是等腰三角形；?等腰三角形?????判定?有两角相等的三角形是等腰三角形；?????有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形；?????有两个角是60度的三角形是等边三角形.?????一个角是直角或两个锐角互余；????直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；?性质???0?直角三角形中，30的锐角所对的直角边等于斜边的一半；?????直角三角形??勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方.????证一个角是直角或两个角互余；?????判定?有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；??0?勾股定理的逆定理：若a2+b2=c2，则∠C?90.????????全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长、面积也相等；性质???全等三角形??全等三角形对应线段（角平分线、中线、高、中位线等）相等.????判定：ASA，SAS，AAS，SSS，HL.?

?多边形：多边形的内角和为（n-2）?1800，外角和为3600.??定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.????直角梯形?????性质：两腰相等、对角线相等，同一底上的两角相等.???梯形????特殊梯形?两腰相等的梯形是等腰梯形；????等腰梯形?????判定?对角线相等的梯形是等腰梯形；?????同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形；???????????两组对边分别平行且相等????性质：平行四边形的?两组对角分别相等???两条对角线互相平分??????两组对边分别平行?平行四边形????一组对边平行且相等?????判定：??两组对边分别相等?的四边形是平行四边形.???两组对角分别相等???????对角线互相平分?????共性：具有平行四边形的所有性质.性质?????个性：对角线相等，四个角都是直角.?四边形??矩形??先证平行四边形，再证有一个直角；???判定?先证平行四边形，再证对角线相等；????三个角是直角的四边形是矩形.????????共性：具有平行四边形的所有性质.性质????个性：对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，四条边相等.???菱形??先证平行四边形，再证对角线互相垂直；???判定?先证平行四边形，再证一组邻边相等；?????四条边都相等的四边形是菱形.??????性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.??正方形??证平行四边形?矩形?正方形?判定????证平行四边形?菱形?正方形???1??梯形：S=（上底?下底）?高=中位线?高??2??平行四边形：S=底?高?面积求法??矩形：S?长?宽????菱形：S=底?高=对角线乘积的一半????正方形：S?边长?边长=对角线乘积的一半?

??点在圆外：d＞r??点与圆的三种位置关系?点在圆上：d＝r??点在圆内：d＜r?????弓形计算：（弦、弦心距、半径、拱高）之间的关系??圆的轴对称性?定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧??垂径定理????推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分线所对的弧?????在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角、两个圆周角、五组量的关系：????两条弦心距中有一组量相等，则其余的各组两也分别相等.?????同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；?????圆的中心对称性?圆周角与圆心角?半圆（或直径）所对的圆周角是900；???900的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆.?????相交线定理：圆中两弦AB、CD相交于P点，则PA?PA?PC?PD.?????圆中两条平行弦所夹的弧相等.???相离：d＞r????直线和圆的三种位置关系?相切：d＝r(距离法）????相交：d＜r?圆??????性质：圆的切线垂直于过切点的直径（或半径）?圆的切线???直线和圆的位置关系??判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.????弦切角：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角A ??切线长定理：如图，PA=PB，PO平分∠APB??2??切割线定理：如图，PA?PC?PD..O P ??外心与内心：C ?D ?B ??相离：外离（d＞R+r），内含（d＜R-r）???圆和圆的位置关系?相切：外切（d=R+r），内切（d=R-r）??相交：R-r＜d＜R+r）???nn??弧长公式：l?2?r??r弧长?360180????扇形面积公式：S?n?r2?1?l?r??弧长3602圆的有关计算???1?圆锥的侧面积：S??2?r?l??rl(r为底面圆的半径，l为母线）?侧?2??2?圆锥的全面积：S??r??rl?全??

第五部分《图形的变化》知识点

???①轴对称指两个图形之间的关系，它们全等????②对应点的连线段被对称轴垂直平分??轴对称（折叠）?????③对应线段所在的直线相交于对称轴上一点（或平行）?轴对称????④图形折叠后常用勾股定理求线段长????①指一个图形??轴对称图形????②轴对称图形被对称轴分成的两部分全等???①平移前后两个图形全等???②平移前后对应点的连线段相等且平行（或共线）?平 移????③平移前后的对应角相等，对应线段相等且平行（或共线）???④平移的两个要素：平移方向、平移距离???①旋转前后的两个图形全等????②旋转前后对应点与旋转中心的连线段相等，且它们的夹角等于旋转角旋 转???③旋转前后对应角相等，对应线段相等????④旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角???①大小、比例要适中?视图的画法????②实线、虚线要画清??????平行投影：平行光线下的投影，物体平行影子平行或共线视图与投影????投影?中心投影：点光源射出的光线下的投影，影子不平行?????视点、视线、盲区??????投影的计算：画好图形，相似三角形性质的应用???ac??基本性质：??ad?bc???图形的变化?bd???aca?bc?d?比例的性质?合比性质：??????bdbd????acma?b?...?m??等比性质：??...??k??k，（条件b?d?...?n≠0)???bdnb?d?...?n???2??黄金分割：线段AB被点C分成AC、BC两线段（AC＞BC），满足AC=BC?AB，?? 则点C为AB的一个黄金分割点??????性质：相似多边形的对应边成比例、对应角相等?相似多边形?????判定：全部的对应边成比例、对应角相等???????①对应角相等、对应边成比例????????性质?②对应线段（中线、高、角平分线、周长）的比等于相似比??相似形???③面积的比等于相似比的平方????????????①有两个角相等的两个三角形相似?相似图形????????②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似??相似三角形?判定???????③三边对应成比例的两个三角形相似?????④有一条直角边与斜边对应成比例的两个直角三角形相似?????????射影定理：在Rt△ABC中，∠C?900，CD⊥AB，则AC2=AD?AB，?????? BC2=BD?AB，CD2=AD?BD（如图）?????????C ?????①位似图形是一种特殊的相似图形，具有相似图形的一切性质?????位似图形?②位似图形对应点所确定的直线过位似中心?BA ??③通过位似可以将图形放大或缩小D????

第六部分《统计与概率》知识要点

??普查：总体与个体（研究对象?中心词）?两查??抽样调查：样本与容量（无单位的数量）???折线图（发展趋势与波动性?横纵轴坐标单位长度要统一）??三图??条形图（纵坐标起点为零?高度之比等于频数或频率之比）??扇形图（知道各量的百分比?可用加权平均数求平均值）?????算术平均数????平均数?参照平均数???加权平均数?????三数??众数(可能不止一个）????????中位数（排序、定位）?1?2??(x?x1)2?(x?x2)2???(x?xn)2?方差：s????统计与概率?n???(一组数据整体被扩大n倍，平均数扩大n倍，方差扩大n2倍）；????三差（一组数据整体被增加m，平均数增加m，方差不变）???标准差：方差的算术平方根s????极差：最大数与最小数之差??（方差与标准差均衡量数据的波动性，方差越小波动越小）?????必然事件：（概率为1）?确定事件??事件???不可能事件：（概率为0）? ???不确定事件：（概率在0与1之间）??频率：（试验值，多次试验后频率会接近理论概率）????比例法（数量之比、面积之比等）?两率????概率：求法?列表法（返回与不返回的两步实验求概率）???树状图（返回与不返回的两步或两步以上的试验求概率）?????

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