中考初中数学知识点

代数部分

1 整式

整式 单项式：数与字母的积或单独一个数或字母 如：2，3a

多项式：几个单项式的和 如：a+b，3x-4y

同类项：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项 合并同类项：合并同类项时，同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，

字母和字母的指数不变

去括号 括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里面不变号 括号前面是“-”号，去掉“-”号和括号，括号里面都变号 添括号 所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号 所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号

①同底数幂相乘，底数不变，指数相加 a?a?amnmnm?n

②同底数幂相除，底数不变，指数相减 a?a?am?n幂的运算 ③任何不等于零的数的零次幂都等于1 a0?1(a?0) ④幂的乘方，底数不变，指数相乘 (am)n?amn

⑤积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 (ab)n?anbn

⑥负指数幂：a?n111?11?n (a≠0) 例：3?2?2?;92?1? a933921 ①单项式相乘时，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，对于在一个单项式

里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

单项式的运算 ②单项式相除时，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，

则连同它的指数作为商的一个因式

①单项式与多项式相乘，是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得 单项式与多项式的运算 的积相加 m（a+b+c）=ma+mb+mc

②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加

多项式的乘法：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项 ，然后把所得的积

相加 (a+m)(b+n)=ab+an+bm+mn (x+a)(x+b)=x?(a?b)x?ab

乘法公式 ①平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

②完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2

其中：（a+b）2+（a-b）2=2a2+2b2； （a+b）2 -（a-b2）=4ab

22 实数（有理数和无理数的统称）

正整数 自然数 整数 零

有理数 负整数

实数 分数

无理数-----------无限不循环小数叫做无理数 (如?，5，0.1010010001…)

1

a（a、b是整数，且b≠0）的形式 ba无理数不能写成分数 （a、b是整数，且b≠0）的形式

b有理数都可以写成

①同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加

②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，把较大的绝对值

减去较小的绝对值

有理数的加减法 ③一个数与零相加，仍得这个数

④加法交换律：a+b=b+a ⑤加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） ⑥减去一个数，等于加上这个数的相反数 ①两数相乘（除），同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（除） ②除以一个数等于乘以这个数的倒数 ③任何数与零相乘，都得零

有理数的乘除法 ④零除以任何一个不等于零的数，都得零

⑤乘法交换律：ab=ba ⑥乘法结合律：（ab）c=a（bc） ⑦乘法分配律：a（b+c）=ab+ac

有理数的乘方：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 有理数的混合运算：先乘方、开方，再乘、除，后加、减。有括号时，要先算括号里面的。 有效数字：从左边第一个不是零的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数

的有效数字 科学计数法：N＝a?10n（1?a?10，n为整数）例：3540000＝3.54?10;-0.000128=-1.28?10

①实数和数轴上的点是一一对应的。即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数

②一个实数的绝对值就是表示这个实数的点离开原点的距离

a a＞0

实数 ｜a｜= 0 a=0

-a a＜0（-a表示实数a的相反数）

③正数都大于零；负数都小于零；正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小

④进行实数运算时，有理数的运算法则、运算律、运算性质以及运算顺序等同样适用

6?4三 因式分解（把多项式化成几个整式的积的形式）

①提公因式法：提取的的公因式是各项系数的最大公约数（系数都是整数数时）与各项都含有的相同字母的最

低次幂的积

②运用公式法：⑴平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

⑵完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2

③十字相乘法：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

④分组分解法：利用分组来分解因式（一般对于四项而言，一项三项分或二项二项分，分组须合理）

⑤公式法：把二次三项式ax2+bx+c因式分解时，可以先用求根公式求出二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2，

然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）

2

四 分式

意义：一般地，两个整式A、B相除时，可以表示为

AA的形式。如果分母B中含有字母，那么（B≠0）叫BB做分式

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 ①如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最大公约数，相同因式的 约分 最低次幂

②如果分式的分子和分母是多项式，先分解因式，再约分 ③约分时，一般要约到最简分式或整式

通分：通分先要确定几个分式的最简公分母。如果各分母的系数都是整数，通常可取所有分母系数的最小公倍

数与字母因式的最高次幂的积作最简公分母

①同分母分式相加减，把分子相加减，分母不变

②异分母分式相加减，先通分，然后按照同分母分式加减的法则进行计算

分式的运算 ③分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母

④分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 ⑤分式的乘方，把分子、分母分别乘方

五 数的开方

①正数的两个平方根互为相反数（正数a的两个平方根记为?a）

平方根 ②零的平方根是零 ③负数没有平方根

平方根的大小：如果a、b是正数，且a＜b，则ab 平方根的规律：①被开方数扩大100倍，它的平方根扩大10倍 ②被开方数缩小为原来的

11，它的平方根缩小为原来的 10010③被开方数的小数点向右（向左）移动两位，它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一

位

立方根：①任何一个数都有立方根，而且只有一个立方根

②求一个负数的立方根，只要先求出这个负数绝对值的立方根，然后取它的相反数

奇次方根： ①一个数a的奇次方根只有一个。正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个

负数；零的奇次方根是零 n次方根 ②当n是奇数，a的n次方根可以用符号“na”表示 偶次方根： ①正数的偶次方根有两个，它们互为相反数

②当n是偶数时，正数a的n次方根表示为±na（当n=2时，根指数2 略去不写） 分数指数幂：a?a(a?0)

nmmn1nam?a?mn(a （其中m、n为正整数，n ＞1） 0)六 二次根式

分母有理化：把分母中的根号化去（乘以分母的有理化因式或因式分解约分化简）

最简二次根式 ①被开方数的因数是整数，因式是整式

②被开方数中，不含能开得尽方的因数或因式

3

注意 ：（1）二次根式的化简，就是把二次根式化为最简二次根式。在化简时，往往要把被开方数分解因数或分

解因式

(2)当一个式子的分母中含有二次根式时，应把它分母有理化

二次根式的计算 ①二次根式相加减，先把各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（不是同类

的二次根式不能合并）

②实数的运算法则都适用于二次根式的计算 ③几个二次根式的和相乘时，可用乘法公式计算

七 一次方程

关于x的方程ax?b：(1)当a?0时，有唯一解：x?

(2)当a?0,b?0时，无解 (3)当a?0,b?0时，有无数解

例：当m?2,n??3，方程(m?2)x?3?n有无数解。

一元一次方程的解法和依据： 去分母 去括号 移项 合并同类项，化成ax=b（a≠0）的形式 等式性质二 分配律 等式性质一 分配律 等式性质二

b a

b系数化成1，得x= a

一元一次方程的应用 解题步骤：审题——设元——列方程——解方程——写答案 顺水速度=静水速度+水速 某些等量关系 逆水速度=静水速度-水速

工作总量=工作时间×工作效率 二元一次方程的解：任何一个二元一次方程都有无数个解 二元一次方程组的解法：⑴代入法 ⑵加减法

八 二次方程

（一）一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0） ① 解法 因式分解法：（x+a）（x+b）=0，x1= -a，x2= -b

开平方法： 解形如ax2+c=0（a≠0）一元二次方程，则x=?2

c a当a、c异号时，方程有两个实数根x=??c a当a、c同号时，方程无实数根

当c=0，方程有两个相等的实数根，x1=x2=0（重根）

配方法 ：先把方程的一边配成一个含有一个未知数的完全平方的形式，

右边是一个常数，然后用开平方法来解

?b?b2?4ac公式法：x= （a≠0，b2-4ac≥0）

2a

4

② 根的判别式：△= b2-4ac

如果方程有两个不相等的实数根?b2-4ac＞0 如果方程有两个相等的实数根?b2-4ac=0 如果方程没有实数根?b2-4ac＜0

注意：方程有两个实数根?b2-4ac≥0，

④ 根与系数的关系：若方程ax2+bx+c=0（a≠0）两根为x1、x2则x1+x2=?bc x1·x2= aa（二）分式方程（要检验）

① 解法 ⑴在分式方程的两边同乘以各分母的最简公分母，把原方程中分母约去， 转化成整式方程

⑵解这个整式方程

⑶把整式方程的根代入方程两边同乘的整式（最简公分母）中，看所得的值是不是零，使所乘整式的值为零的根是增根，必须舍去

② 解分式方程组的方法：换元法 （三）无理方程（要检验）

① 解法：把无理方程两边同时平方，转化为有理方程

② 注意：检验时，若左右两边不相等，是增根，必须舍去；

若被开放数是负数，也是增根，必须舍去

（四）二元二次方程（组）

形式：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c不同时为零） ① 二元二次方程组的解法： ⑴代入法 ⑵因式分解法 （五）黄金分割

① 定义：把一条线段分为不相等的两部分，使较长部分是原线段和较短部分的比例中项 ② 黄金分割数：较短的线段的长︰较长的线段的长=较长的线段的长︰全线段的长=一个无理数，近似值是0.618

5?1 这个比值是2九 一元一次不等式（组）

① 不等式的性质 ⑴不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 不变

⑵不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变 ⑶不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向要改变 ② 不等式的解集在数轴上的表示：小圆圈“○”表示不包括

小黑点“●”表示包括

③ 一元一次不等式组的解法： ⑴先求出不等式组里每一个不等式的解集

⑵再求出各个不等式的解集的公共部分（画数轴），就可得到

不等组的解集

十 比例

① 定义：表示两个比相等的式子

② 性质：两个外项的积等于两个内项的积a：b=c：d?ac=bd

③ 比例中项：如果a︰b=b︰c，则b叫做a、c的比例中线，这时b2=ac

5

十一 函数

（一）函数 ① 意义：一般地，设在某个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某个允许取值范围内的每一个确定值，

按照某一个对应法则，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数 ② 函数关系式：y=f（x）f是对应法则

③ 函数定义域：当函数的解析式是整式时，函数的定义域为一切实数

当函数的解析式是分式时，函数的定义域为使分母不为零的实数

当函数的解析式是偶次根式时，函数的定义域为使被开方数≥0的实数 当函数的解析式是奇次根式时，函数的定义域为一切实数 ④点P(x,y)关于x轴的对称点是P2(?x,y)； 1(x,?y)，关于y轴的对称点是P关于原点的对称点是P3(?x,?y)

⑤两点A(x1,y1),B(x2,y2)的距离：AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2

在x轴上两点：AB?x1?x2 在y轴上两点：AB?y1?y2

（二）正比例函数（一次函数的特殊情况） ① 解析式：y=kx（k≠0）

② 图象：正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线 ③ 性质：当k＞0，图象（除原点外）在第一、三象限内，y随x的增大而增大 当k＜0，图象（除原点外）在第二、四象限内，y随x的增大而减小 （三）反比例函数 ①解析式：y=

k（k≠0） x②图象：双曲线，有两个分支

③性质：当k＞0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象内，在每个象限内，

自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小

当k＜0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象内，在每个象限内，

自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐增大

图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交 函数 解析式 图象 性 质 正比例函数 y?kx(k?0) 反比例函数 y?k(k?0) x 过原点的直线 k＞０ 位置 增减性 第一、三象限 y随x增大而增大。 第二、四象限 y随x增大而减小。 双曲线 k＞０ 位置 增减性 第一、三象限 y随x增大而减小。 第二、四象限 y随x增大而增大。 k＜０ 位置 增减性 k＜０ 位置 增减性

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（四）一次函数

① 解析式y=kx+b（k≠0，k、b是常数）。当b=0时，一次函数y=kx+b成为正比例函数y=kx ② 定义域：一切实数

③ 图象：经过（0，b）且平行于直线y=kx的一条直线 ④ 两直线的位置关系：l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，

若k1=k2，b1≠b2，则l1∥l2； 若l1∥l2，则k1=k2，b1≠b2

相交时，k1≠k2，此时交点坐标通过解 k1x+b1 方程组得到 y=k2x+b2 ⑤ 截距：直线y=kx+b与y轴交于（0，b），b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距 ⑥ 一次函数y=kx+b与x轴的交点的横坐标是方程kx+b=0（k≠0）的根

⑦性质 当k＞0时，y随x的增大而增大 当b＞0时，经过第一、二、三象限 当b=0时， 经过第一、三象限 当b＜0时，经过第一、三、四象限 当k＜0时，y随x的增大而减小 当b＞0时，经过第一、二、四象限 当b=0时， 经过第二、四象限 当b＜0时，经过第二、三、四象限 （五）：二次函数

①形式：一般式：y=ax2+bx+c（a≠0） 两根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0） 顶点式：y=a（x+m）2+k（a≠0） ②定义域：一切实数 ③图象：抛物线 ④ 性质：

⑤二次函数y=ax+bx+c（a≠0）和一元二次方程ax+bx+c=0的关系：

当方程ax2+bx+c=0的△＞0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有2个交点 当方程ax2+bx+c=0的△=0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有1个交点 当方程ax2+bx+c=0的△＜0时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴无交点 ⑥二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点：

7

22

交点的横坐标x的值就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根 ⑦二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 中a、b、c的符号判别：

(1）a的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a＞0；

当开口向下时，a＜0

（2）b的符号判别由对称轴来确定：对称轴在y轴的左侧时，a、b同号；

对称轴在y轴的右侧时，a、b异号 对称轴是y轴，b=0

（3）c的符号判别由抛物线与Y轴的交点确定：与Y轴的交点在正半轴时，c ＞ 0；

与Y轴的交点在负半轴时，c ＜ 0； 抛物线过原点时（与Y轴交与原点），c =0；

⑧顶点在特殊位置：顶点在x轴，△=0 顶点在y轴，b=0

顶点在原点，b=0且c=0

十二 统计初步

收集数据的方法：①普查； ②抽样调查。 （一般采用“随机抽样”，因为随机样本比较具有代表性，可以用来估计总体。） （一）表示数据平均水平的量：

x?x2?x3????xnx?1n① 平均数： (1)；

???xn?xn?ax?x?ax?x?aa1122(2)估计一个常数。则，，……

????x1?x2?x3????xnx?a?n而。 ② 加权平均数： 若在n个数中，x1出现了f1次，x2出现了f2次，… 则x?x1?f1?x2?f2?x3?f3????xn?fn。

f1?f2?f3????fn(2)当n是奇数时，中位数就是第

③ 中位数： (1)把n个数据从小到大排列；

n?1个数； 2nn当n是偶数时，中位数就是第个数与第(?1)个数的平均数。

222④ 平均数和方差的规律：

已知一组数据：x1,x2,x3,…，xn,它们的平均数为x，方差为s，那么

(1)一组新数据：x1+a，x2+a，x3+a，…，xn+a，它们的平均数为x+a，方差仍为s (2）一组新数据：ax1，ax2，ax3，…，axn，它们的平均数为ax，方差为as

⑤ 平均数和中位数的区别： 平均数和中位数都是一组数据平均水平的代表量， 在一般情况下最常用的是平均数，在一组数据中有极端值时，可以用中位数 （二）表示数据离散程度的量： ①方差：s?22221(x1?x)2?(x2?x)2?(x3?x)2????(xn?x)2 n??②标准差：s?1?(x1?x)2?(x2?x)2?(x3?x)2??n?(xn?x)2?? （三）频数分布直方图与频率分布直方图

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①频数分布直方图：每一个小长方形的高=组频数；每一个小长方形的宽=组距 所有小长方形的高的和=数据总数；

②频率分布直方图：每一个小长方形的面积=组频率；每一个小长方形的宽=组距 所有小长方形的面积和=1；小长方形的高由

频率决定 组距

十三 锐角的三角比

① 锐角的三角比的意义

a bb余切：直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个角的余切记作cotA, 此时，cotA?

aa正弦：直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦记作sinA, 此时，sinA?

cb余弦：直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个角的余弦记作cosA, 此时，cosA?

c正切：直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个角的正切记作tanA， 此时，tanA? 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比 注：（1）设A为锐角，那么它的三角比tanA、cotA、sinA、cosA 的值都是正实数，

其中 tanA>0、cotA>0、0

0B斜边c对边a可直接得到

sinA?cosB， cosA?sinB，

tanA?cotB，cotA?tanB ，

1 tanA?

cotA

② 特殊锐角三角比的值 ? sin? 1 30? 2 A邻边bCcos? 3 22 21 2tan? cot? 3 3 1 3 1 45? 60? 2 23 23 3 3③ 解直角三角形 定义：由直角三角形的已知角求已知边角求出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形 常用的关系和公式：

在Rt?ABC中，?C?90?，?A、?B、?C的对边为a、b、c （1）三边的关系：a?b?c； （2）锐角之间的关系：?A??B?90?； （3）边角之间的关系：

222 9

sinA?

abab，cosA?，tanA?，cotA?等 ccba十四、数的整除

①整除：整数a除以b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；

或者说b能整除a

②因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数） ③能被2、5整除的数：个位上是0，2，4，6，8，的整数都能被2整除 个位上是0或5的整数都能被5整除

④奇数：…-7，-5，-3，-1，1，3，5，7… 偶数：…-6，-4，-2，0，-2，4，6，… 素数（也叫质数）：只有1和它本身两个因数的数。例如：2，3，5，7，11，13 ⑤正整数 1：既不是素数也不是合数

合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数.例如：4，6，8，9，10，12

⑥素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，

叫做这个合数的素因数

分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数 互素：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素

⑦公因数与最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；

其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数

公倍数与最小公倍数：几个整数公有的倍数叫做他们的公倍数，

其中最小的一个叫做他们的最小公倍数

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