哈尔滨市2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练五：计数原理

哈尔滨2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练：计数原理

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设（5x?( ) A．-150 【答案】B

2．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B

3．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( ) A．20 【答案】D

4．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有( ) A．10 【答案】D

5．25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法为( )

A．60种 【答案】D

6n3

的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N,若M-N＝240, 则展开式中x的系数为x）B．150 C．-500 D．500

B．15 C．12 D．10

B．48 C．60 D．80

B．100种 C．300种 D．600种

2??6．x?1??的展开式中的常数项为( )

x??A．-60 【答案】D

B．-50

C．50

D．60

12n(x?)展开式中的中间项是( ) 7．

xA． C2n 【答案】C

8．某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有( )

A．50种 【答案】A

9．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法共有( )

A．66种 【答案】C

10．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( ) A．24种

B．48种

C．96种

D．120种

B．60种

C．36种

D．24种

B．70种

C．35种

D．55种

[来源:学科网]nB． (?1)n?1n?12nnC2nx C． (?1)C2n

D．(?1)n?1n?1?2C2nx

【答案】B

3

x＋?n的展开式中，各项系数之和为4，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开11．在二项式?x??

式中常数项的值为( ) A．6 B．9 C．12 D．18

【答案】B

6展开式中含x2项的系数为( ) (2x?1)12．

A．60 【答案】A

B．120 C．240

D．15

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若（2x+【答案】1

14．若一个整数是4的倍数或这个整数中含有数字4，我们则称这个数是“含4数”，例如20、34，将[0，50]中所有“含4数”取出组成一个集合，则这个集合中的所有元素之和为 。 【答案】673 15．Cn123n= 。 ?3Cn?32Cn???3n?1Cn3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4, 则（a0+a2+a4）2－（a1+a3）2 的值为______________________

【答案】

1n(4?1) 316．上午4节课，一个教师要上3个班级的课，每个班1节课，都安排在上午，若不能3节连上，这个教师的课有 种不同的排法． 【答案】12

三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知(x?28?)(n?N) 2x32(1）求展开式中各项系数和；（2）二项式系数最大的项. (3）求展开式中含x的项；（4）求展开式中系数最大的项

8【答案】(1)取x?1得各项系数和为(1?2)=1

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

(2) 由n?8知第5项二项式系数最大,此时T5r8?r?1120x?6

8?r?2r2(3)由通项公式Tr?1?C8(x)2r(?2)r?C8(?2)r.xx3

8?r3?2r?,则r?1.故展开式中含x2的项为令22T2??16x32

r?1r?1rr??C82?C82(3)设展开式中第r?1的系数的绝对值最大.则?解得5?r?6

r?1r?1rr??C82?C82且r?N? 所以r?5,r?6

又T6的系数为负,所以系数最大的项为T7?1792x?11

18．已知f(x)?(1?x)m?(1?x)n(m，n?N?)的展开式中x的系数为19，求f(x)的展开式中x2的系数的最小值．

122mm122nn【答案】f(x)?1?Cmx?Cmx???Cmx?1?Cnx?Cnx???Cnx

1122?2?(Cm?Cn)x?(Cm?Cn)x2??．

由题意m?n?19，m，n?N?．

m(m?1)n(n?1)?19?19?17∴x项的系数为C?C????m???．

2224??222m2n∵m，n?N?，根据二次函数知识，当m?9或10时，上式有最小值，也就是当m?9，n?10或m?10，n?9时，x2项的系数取得最小值，最小值为81．

19．给定平面上的点集P={P1，P2，?，P1994}, P中任三点均不共线,将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G)．

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

(1)求m(G)的最小值m0．

(2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案，若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色．证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形．

83

【答案】设G中分成的83个子集的元素个数分别为ni(1≤i≤83)，Σni=1994．且3≤n1≤n2≤?≤n83．

i=1833

则m(G)= ΣCni．即求此式的最小值．

i=1

3

3

3

3

2

2

设nk+1>nk+1．即nk+1－1≥nk+1．则Cni+1+ Cni+1－1－( Cni+ Cni+1)= Cni－Cni+1<0．这就是说，当nk+1与nk的差大于1时，可用nk+1－1及nk+1代替nk+1及nk，而其余的数不变．此时，m(G)的值变小． 于是可知，只有当各ni的值相差不超过1时，m(G)才能取得最小值．

1994=83×24+2．故当81组中有24个点，2组中有25个点时，m(G)达到最小值． m0=81C24+2C25=81×2024+2×2300=168544．

⑵ 取5个点为一小组，按图1染成a、b二色．这样的五个小组，如图2，每个小圆表示一个五点小组．同组间染色如图1，不同组的点间的连线按图2染成c、d两色．这25个点为一组，共得83组．染色法相同．其中81组去掉1个点及与此点相连的所有线．即得一种满足要求的染色．

3

3

abbababbacddacdcddcc图120．已知二项式(x?图2

2n*)（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是56：3 . 2x(1）求n的值；（2）求展开式中的常数项 【答案】（1）n?10 (2）180 21．已知p(x)?x，

fn(x)?(1?x)n．

5(1）若g(x)?p(1)f5(x)?p(2)f6(x)?p(3)f7(x)，求g(x)的展开式中x的系数； (2）证明：Cm?2Cm?1?3Cm?2???nCm?n?1?【答案】（1）由已知得g(x)mmmm(m?1)n?1m?1Cm?n ,(m,n?N?) ．

m?2?(1?x)5?2(1?x)6?3(1?x)7

555=76 g(x)的展开式中x5的系数为C5?2C6?3C7(2）由（1）知Cmmmmm?2Cm?3C???nC?1m?2m?n?1应当为函数

h(x)?(1?x)m?2(1?x)m?1?3(1?x)m?2???n(1?x)m?n?1展开式中xm的系数

又(1?x)h(x)?(1?x)m?1?2(1?x)m?2?3(1?x)m?3???n(1?x)m?n 两式相减得

[来源:学科网]?xh(x)?(1?x)m?(1?x)m?1?(1?x)m?2???(1?x)m?n?1?n(1?x)m?n(1?x)m[1?(1?x)n]??n(1?x)m?n

1?(1?x)所以x2h(x)?(1?x)m?(1?x)m?n?nx(1?x)m?n

m[来源:学科网ZXXK]

所以h(x)展开式中x的系数等于x2h(x)展开式中xm?2的系数

(m?1)n?1m?1Cm?n

m?2(m?1)n?1m?1mmmmCm?n,(m,n?N?) 所以Cm?2Cm?1?3Cm?2???nCm?n?1?m?222222．已知圆的方程(x?a)?(y?b)?r(r?0)，从0， 3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中选出3个

因为此系数为?Cm?n?nCm?n?m?2m?1不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径。问： (1）可以作多少个不同的圆？ (2）经过原点的圆有多少个？

(3）圆心在直线上x?y?10?0的圆有多少个？

【答案】（1）可分两步完成：第一步，先选r有A8中选法，第二步再选a,b有A8中选法 所以由分步计数原理可得有A8.A8=448个不同的圆

1212a2?b2?r2,?满足题意的a,b,r共有3，4，5与6，8，10两组

2 所以符合题意的圆有2A2?4 8分 (3） 圆心在直线x?y?10?0上，所以圆心(a,b)有三组：0，10；3，7；4，6。

(2）圆经过原点满足所以满足题意的圆共有A2.A7

2121?2A2A6?38个4

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