湖南邵阳市2011年中考数学试题(含解析)

邵阳市2011年初中毕业水平考试试题卷

数 学

一、选择题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．－(－2)＝ A．－2

B．2

C．±2

D．4

【解题思路】：运用相反数定义 【答案】：B

【点评】：这里考察了相反数的定义，首先要明确是求哪个数的相反数，一个数前面有负号表示什么意思。难度较小

2．如果□×3ab＝3a2b，则□内应填的代数式是 A．ab

B．3ab

C．a

D．3a

3a2b

【解题思路】：运用因数因数积之间的关系变形约分即可。

3ab

【答案】：C

【点评】：本题考察了约分（同底数幂的性质）；思路2：把四个选项分别代入运用同底数幂的乘法运算验证。难度较小 3．下列图形不是轴对称图形的是

．．．

A B C D

【解题思路】：轴对称图形是把图形沿某直线折叠，易于中心对称图形相混淆，只注重了对

称。

【答案】：C

【点评】：本题考察了轴对称图形和中心对称图形的区别。难度较小

4．图（一）是某农户2010年收入情况的扇形统计图，已知他2010年的总收入为5万元，则他的打工收入是

A．0.75万元 元

B．1.25万元 C．1.75万元 D．2万

粮食作物收入

40％ 经济作 物收入 35％

打工收入 25％

图（一）

【解题思路】：总收入 所占的百分比 该项收入 【答案】：B

【点评】：总收入 所占的百分比 该项收入，难度较小

k

5．已知点(1，1)在反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象上，则这个反比例函数的大致图

x象是

A B C D

kk

【解题思路】：点(1，1)在反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象上，把点(1，1)代入y＝

xx

可以求出k=1，所以双曲线在一、三象限。

【答案】：C

【点评】：本题考察了点在图像上，点的坐标与解析式之间的关系；以及反比例函数的性质。难度较小

6．地球上水的总储量为1.39×1018m3，但目前能被人们生产、生活利用的水只占总储量的0.77％，即约为0.0107×1018m3，因此我们要节约用水．请将0.0107×0.0107 10A．1.07×1016m3 C．10.7×1015m3

18

1.07 1018 10 2 1.07 10161018m3用科学记数法表示是

B．0.107×1017m3 D．1.07×1017m3

【解题思路】：解题时注意是哪个数据，0.0107 10【答案】：A．

18

1.07 1018 10 2 1.07 1016

m

【点评】：用a 10表示的数称为科学计数法，这里0 a 10.如果所给的数据小于1,10

的指数是负数，如果所给的数据大于10,10的指数是正数；然后结合幂的性质计算即可。难度较小

7．如图（二）所示，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是 ．．．A．AC⊥BD

B．AB＝CD

C．BO＝OD

D．∠BAD＝∠BCD

图（二）

【解题思路】：运用平行四边形的性质对号入座。 【答案】：A

【点评】：本题考察了平行四边形的性质，难度较小

8．如图（三）所示，已知O是直线AB上一点，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是 A．20°

B．25°

C．30°

D

D．70°

O

图（三）

B

【解题思路】：∵∠1+∠COB=180 ∠2=∠COD ∴∠2=【答案】：D

1

(1800 400) 2

【点评】：本题考察了角的和差，以及角的平分线定义。难度较小

二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 9．在平面直角坐标系中，点(1,3)位于第象限． 【解题思路】：做出平面直角坐标系，找的点（1,3） 【答案】：一

【点评】：本题考察了平面直角坐标系内点的坐标特点。难度较小 10．因式分解a2－b2＝ ． 【解题思路】：直接使用公式。 【答案】：a2－b2＝(a b)(a b)

【点评】：本题考察了平方差公式。难度较小

11．如图（四）所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝

B

图（四）

C

【解题思路】：利用等腰三角形底角相等，以及三角形内角和定理∠A=180 2 50 【答案】：80

【点评】：本题考察了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理。难度较小 12．函数y＝x－1中，自变量x的取值范围是

【解题思路】：自变量的取值范围就是使代数式有意义的未知数的值。所以x-1≥0 【答案】：x≥1

【点评】：本题考察了二次根式有意义，被开方数是非负数。难度较小 13．请写出一个解为x＝2的一元一次方程：【解题思路】：答案不唯一：x＝2，x-2=0 ,2x-3=1 【答案】：x＝2，x-2=0 ,2x-3=1

【点评】：本题考察了什么是方程的根。难度较小

14．已知粉笔盒内共有4支粉笔，其中有3支白色粉笔和1支红色粉笔，每支粉笔除颜色外，其余均相同，先从中任取一支粉笔是红色粉笔的概率是 ．

【解题思路】：盒内共有粉笔4支，任取一只有4种可能，红色仅有一只，所以 【答案】：

1 4

【点评】：本题考察了概率的知识，画出树状图即可。难度较小

15．如图（五）所示，AB∥CD，MN分别交AB、CD于点F、E．已知∠1＝35°，∠2＝．

M

F

图（五）

【解题思路】：两直线平行，同位角相等。 【答案】：35°

【点评】：本题考察了平行线的性质，难度较小

16．如图（六）所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2cm，则上底DC的长是 cm．

B

D

A

【解题思路】：∵

图（六）

B

AB∥DC ∴∠DCA=∠CAB ∵AC⊥BC，∠B＝60° ∴∠DAC=∠

CAB=30∴∠DCA=30 ∴AD=CD ∵AD＝BC =2 ∴CD=2

【答案】：CD=2

【点评】：本题考察了等腰梯形的性质、三角形内角和的推论、平行线的性质。难度中等 三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分） 17．计算：20110－4＋︱－3︱． 【解题思路】：原式=1-2+3=2

【点评】：本题考察了幂的性质、开平方、绝对值的意义。难度较小

12

18．已知＝1，求＋x－1的值．

x－1x－1

12

【解题思路】：∵＝1 ∴x-1=1 ∴＋x－1=2-1=1

x－1x－1【点评】：本题考察了求代数式的值，难度较小

19．在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．

（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；

（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．(写出你添加的条件，不要求证明)

H

F

H

F

A

E

图（七）

B

A

E

图（七）

B

【解题思路】：连接A 、C ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点 ∴HG∥AC

EF∥AC , ∴HG∥EF 又HG= EF=

【答案】：AC=BD

【点评】：本题考察了三角形的中位线、平行四边形的判定、菱形的判定。难度中等 四、应用题（本大题有3小题，第20、21题每小题8分，第22题10分，共26分） 20．崀山成功列入世界自然遗产名录后，景区管理部门决定在八角寨架设旅游索道．设计人员为了计算索道AB（索道起点为山脚B处，终点为山顶A处）的长度，采取了如图（八）所示的测量方法．在B处测得山顶A的仰角为16°，查阅相关资料得山高AC＝325米，求索道AB的长度．（结果精确到1米）

1

AC ∴四边形EFGH是平行四边形。 2

【解题思路】：如图：Rt△ABC中，AC=325 ∠B =16 ∴sin16

AC0

sin16 0.28 AB

∴0.28=

325

AB≈1161米 AB

【点评】：本题考察了锐角三角函数，已知量与待求边集中制直角三角形的斜边、直角边所以用弦，由于AC是直角三角形中已知角的对边，所以用正弦。难度较小

21．某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计表及如图（九）所示的统计图． 零花钱数额（元） 学生人数（个）

5 a

10 15

15 20

20 5

请根据图表中的信息回答以下问题． （1）求a的值；

（2）求这50名学生每人一周内的零花钱数额的众数和平均数．

零花钱数额（元） 图（九）

【解题思路】：（1） 总人数50 所以a=50-15-5-20=10

（2）本周内有20人的零花钱是25元，出现次数最多，所以众数是15；

5 10 10 15 15 20 20 5

=12

50

【点评】：本题考察了平均数、众数，平均数是所有数据之和与数据总数目的商；众数是所给数据中出现次数最多的一个，一组数据可以有多个众数。

22．为庆祝建党90周年，某学校欲按如下规则组建一个学生合唱团参加我市的唱红歌比赛． 规则一：合唱队的总人数不得少于50人，且不得超过55人．

11规则二：合唱队的队员中，，八年级学生占合唱团总人数的，

24

余下的为七年级学生．

请求出该合唱团中七年级学生的人数．

11

【解题思路】：∵九年级学生占合唱团宗人数的，八年级学生占合唱团总人数的，由于人

24

数只能是正整数，∴总人数是4的倍数 ∵总人数不得少于50人，且不得超过55人 ∴人数的可能值是：50、51、52、53、54、55.这里52是4的倍数 ∴总人数是52人 ∵七年级学生占总人数的(1 七年级学生人数=52

五、探究题（本大题10分）

23．数学课堂上，徐老师出示一道试题：

如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P

111

∴244

1

13 4

是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN＝60°，求证：AM＝MN． (1)经过思考，小明展示了一种正确的证明过程．请你将证明过程补充完整．

证明：在AB上截取EA＝MC，连结EM，得△AEM．

∵∠1＝180°－∠AMB－∠AMN，∠2＝180°－∠AMB－∠B，∠AMN＝∠B＝60°，

∴∠1＝∠2．

1

又CN平分∠ACP，∠4＝∠ACP＝60°．∴∠MCN＝∠3＋∠4＝120°…………①

2又∵BA＝BC，EA＝MC，∴BA－EA＝BC－MC，即BE＝BM． ∴△BEM为等边三角形．∴∠6＝60°． ∴∠5＝180°－∠6＝120°．………② ∴由①②得∠MCN＝∠5． 在△AEM和△MCN中，

∵∠1＝∠2． AE=MC ， ∠MCN＝∠5． ∴△AEM≌△MCN (ASA)．∴AM＝MN．

(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”（如图），N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1＝90°时，结论A1M1＝M1N1．是否还成立？（直接写出答案，不需要证明）

【答案】：成立 在A1B1上截取A1H M1C1

(3) 若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn＝ °时，结论AnMn＝MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）

【解题思路】：∠AMN=60°＝ （3－2）/3 ×180°

∠A1M1N1=90°＝（4－2）/4 ×180° ∠AnMnNn= （n－2）/n ×180°

【点评】：本题考察了三角形全等的判定，当全等三角形不明确时构建全等三角形是本题的主旨，如何构建就是个人长期学习练习形成的，难度较大的是第三问，这里如果能快速判定该角度数是180的若干倍，且这个倍数与正多边形的边数有内在联系将容易分析。难度较大

六、综合题（本大题12分）

9

24．如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－，0)，点C(0，3)，点B

4是x轴上一点(位于点A的右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C． ．．．．（1）求∠ACB的度数；

（2）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点，求抛物线的解析式；

（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形．若存在，则求出所有符的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【解题思路】：(1) ∵以AB为直径的圆恰好经过点C ∴∠ACB=90 ．．．．

992

(2) ∵△AOC∽△ABC ∴OC AO OB ∵A(－，0)，点C(0，3)，∴AO

44

9

OB ∴ OB 4 ∴B(4,0) 把 A、B、C三点坐标4127

x 3 代入得 y x

312OC 3 ∴32

(3)

1）OD=OB , D在OB 的中垂线上，过D作DH⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。DH=OC

1

2

OH

13OB ∴D(2,) 22

4433

DG= ∴D(,)

5555

2) BD=BO 过D作DG⊥OB,垂足是G ∴OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5 ∴ OG:4=1:5 DG:3=1:5 ∴OG=

【点评】：本题考察了相似、勾股定理、抛物线的解析式求解等知识，运用平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似构建比例式，求解点到坐标轴的距离，进而得出相应的坐标。难度中等.

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