换元积分法与分部积分法

《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院

§8.2 换元积分法与分部积分法

教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．

基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学建议：

(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法． 教学过程：

一、第一类换元法 ——凑微分法：

有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分?，如果凑上一个常数因子2，使成为 11cos2xdx?cosx?2xdx?cos2xd?2x????22

cos2xdx令2x?u则上述右端积分

111cos2xd2x?cosudu?sinu?C??2?2?2

然后再代回原来的积分变量x，就求得原不定积分

?cos2xdx?更一般的，若函数并且复合运算

F????x???1sin2x?C2

F?x?是函数

f?x?的一个原函数，

????x?是可微函数，

有意义，根据复合函数求导法则

?F??x?F????x?????x??f???x?????x???????????? 及不定积分的定义，有

由于 ?从

1

f???x?????x?dx?F??????x????C ?

f?u?du?F?u??C

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而 （1）

f???x?????x?dx???f?u?du????

u???x?

综上所述，可得如下结论 定理8.4：（第一换元积分法） 设

f?u?是连续函数，

F?u?是

f?u?的一个原函数。又若

u???x?f???x???有意义，则 连续可微，并且复合运算?u???x????x??????x?dx???f?u?du??f??F????x????C （

2）

第一换元积分公式（2）说明如果一个不定积分?g?x?dx的被积表达式

g?x?dx能够写成

f????x??????x?dx的形式，可通过变量代换u???x?把被积表达式等同于f?u?du，若不定积分

?f?u?du?F?u??C

u???x?代入

，便求出原不定积分

容易求得，那么再将

F?u????x????C ?g?x?dx?F?由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式

g?x?dx变为

f????x??????x?dx?f????x???d??x?的形式。也就是把被积函数g?x?分解成两个因子的乘积，其

中一个因子与dx凑成某一函数的微分变形后被积表达式

??x?的微分，而另一因子是

??x?f???x???，且经过这样的函数?f????x???d??x?变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积

分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练习，不断总结经验，才能运用自如。

凑微分法1： f(ax?b)dx?dx?1d?ax?b?a1311f(ax?b)d(ax?b)?f(u)du. aa例１、利用

?a,b?R,a?0?，求下列积分

?1??33x?4dx???3x?4?1d?3x?4?3，令u?3x?4有

?344111331333x?4dx??udu??u?C?u?C3344

再将u?3x?4代入，有

2

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?2313x?4dx??423x??443?C

?2??dxa?x??dxxa1?()2a??xd()ax1?()2a1?a?0?

令

u?xa，有

?再将

x?dxa?x22??du1?u2?arcsinu?C

xa代入，

有

?dxa2?x2?arcsinx?Ca

xd()dxdx1a???3??22??xxa?xa2[(1?()2)]a1?()2aa 令

u?xa

dx1du1??arctanu?C222??a?xa1?ua

再将

u?xa代入，有

dx1?arctanx?C22?a a?x

如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换就可以了。

凑微分法2、 xk?1f(xk)dx? f(x2)xdx?例２、利用

u???x?可以不写出来，只需默记在头脑中

11f(xk)d(xk)?f(u)du . 特别地, 有 kk11f(x)f(x2)d(x2)?f(u)du 和 dx?2f22x?x?dx.

x?dx?求下列积分

1d?ax??1?b?a???1??a,b,??R,a?0,???1?，

3

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?1???5x2?7?xdx???5x2?7?15x2?7??d??10

5x??21d?5x2?7??5?2 1127??5x?102?2212?7?C?5X?7??C＝20

11111?2??2exdx??ex??1?d()??ex?Cxx

?3???4??dxdxdx?2??2?1?xx?1?x?1?xdxx2??2?2arctanx?C

1?x2?x?0?

解：（4）

?xdx21?x2???1?1?d?????x1?x2?x?11?1?1??2??x?d1?x

1??2??1?2?1d??????222?2???x??111?????????1???1????d?1????1????2???x???x?????x??? 122?1????C??1????C?x??? 121??1????2?1???2???x????x?d??x???x??fxdx??d?x?f?x???,????x???x?，有如下公式??x?利用

例３、若被积函数

????x?d??x?f?x?dx???dx?????ln??x??C??x???x?

求下列积分

dxdlnx???lnlnx?Cxlnxlnx

sinxdcosxdx?????lncosx?C?2??tanxdx??cosxcosx cosxdsinxdx???lnsinx?C?3??cotxdx??sinxsinx

以上３例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分

?1??的运算性质结合起来，就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。

例４、将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分

4

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?1??dx1?11?????dx?22?a?x2a?a?xa?x?

d?x?a??11?d?x?a?x?a??ln?C?????2a?x?ax?a?2ax?adxx2

?2???1?e???1?ex?ex?1?e?x2d?1?ex?dxdx?????2xx1?e?1?e?

d?1?ex?1?ex?ex11dx??dx???xxx?1?ex??1?e1?e1?e

xx?ln?eC?1?1??1e2?

sin2x111??3dx?1?dx?dx?dx?????222???11?sinxsinx1??1?sinx?sin2x＝

cotxdcotx12x???x???cotx?1?cotx?2?cot2x2x?arctan1??????C222??＝??

d凑微分法3： f(sinx)cosxdx?f(sinx)dsinx?f(u)du; f(cosx)sinxdx??f(cosx)dcosx??f(u)du; f(tgx)sec2xdx?f(tgx)dtgx?f(u)du.

例５、对于

nsin?xdx与

ncos?xdx?n?N?

来降低三角函数的幂，当n是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分。

sin2x?1?1?cos2x?2形式的积分，当n是偶数时，可利用三角恒等式 1cos2x??1?cos2x?2

1?1?21sinxdx?1?cos2xdx?1?2cos2x?cos2x?dx??????????4?2?＝

421?1?dx?2cos2xdx?1?cos4xdx????????42? ?1?x1?x?sin2x??sin4x???C428? ?＝ 1?31x?sinx?2?48 ?2

?s?ix?n4C?

5

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?2??cos3xdx???1?sin2x?cosxdx?

132cosxdx?sinxdsinx?sinx?sinx?C??3

例６、 对于?sin?xsin?xdx,?cos?xsin?xdx和?cos?xcos?xdx形式的积分，可利用三角函

数的积化和差公式

?1??cosxcos2xdx?12???cos?1?2?x?cos?1?2x???dx ?1?????sin?x?2?sin?1x??12

?1?2?2?12??C?

?2??cos2xsin3xdx?12???sin?2?3?x?sin?3?2?x??dx＝

12??sin5xdx??sinxdx??1?1?5??cosx?5cos5x???C

例７、根据

sixn?2x2sinxx2x2?cos22tancosx1?coxs 2 ta2n?sixn?xc?scx

cot?1??cscxdx??12tanxxdx??1xd???tanx?2???2cos22tan2

lntxa?nClxn?csxc?Ccot

2?

d???x????2??secxdx???2??lncsc??x?????cot??x????Csin???x????2??2??2??＝lnsecx?tanx?C例８、

?arcsinxx?1?x?dx?2?arcsinx1?xdx?2?arcsinx1??x?2dx ＝

2?arcsinxdarcsinx??arcsinx?2?C

凑微分法4： f(ex)exdx?f(ex)dex?f(u)du..

6

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例9、 ?dt. 2?e?tdx?f(lnx)dlnx?f(u)du. x凑微分法5 ： f(lnx)例10、 ?dx.

x(1?2lnx)凑微分法6：

f(arcsinx)1?x2dx?f(arcsinx)darcsinx?f(u)du;

f(arctgx)dx?f(arctgx)darctgx?f(u)du. 21?x例11、 ?arctgxt?xarctgxarctgtdx?2?dx?????2?dt? 21?x1?tx(1?x) ?2?arctgtdarctgt?(arctgt)2?c?(arctgx)2?c. 其他凑法举例:

ex?e?xd(ex?e?x)x?xdx??ln(e?e)?c. 例12、 ?x?xx?x?e?ee?e例13、 ?lnx?1d(xlnx)dx??(xlnx)2?? (xlnx)2secx(secx?tgx)sec2x?secxtgx例14 ?secxdx??dx??dx?

secx?tgxsecx?tgx ??例15、 ?5例16、 ?d(secx?tgx)?ln|secx?tgx|?c.

secx?tgxdx.

cosx?sinxsinx?cosxcosx?5sinxdx.

sinx?cosx1??1dx???1?2x2?1x???? xdx?例17、 ?4dx????1?21x?12x?2?x???2xx??例18、 ?

以上例子大都采用了初等数学（代数或三角函数）中的运算技巧将被积函数进行适当的变

7

x?5dx. 2x?2x?2《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院

形，然后再进行变量带换。因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用。

习题：P188—189 1（1）～(24)； 二、第二类换元法

从积分?cos2tdt 出发，从两个方向用凑微法计算，即

2x?sint ?1?xdx?????1?sin2tdsint = ?cos2tdt =

在式（１）中，如果

111(1?cos2t)dt?t?sin2t?c, 2?24??x?连续可微且???x?定号，式?2.1?中左端的不定积分

???x??????x?dx?F?x??C ?f?容易求得，并且

x???1?uu???的反函数x?是?，则式（2）右端的不定积分

???uf?1d?u??F??????xC。利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法。

第二换元积分法可以确切的叙述如下。 定理8.5（第二换元积分法）:设复合运算即

f?x?是连续函数，

??x?是连续可微函数，且

???x?定号，

f????t???有意义。设F?t?是f????t??????t?的一个原函数，

???t??????t?dt?F?t??C ?f?则 其中

f?x?dx???f????t??????t?dt??

t???1?x?=

?1F????x????C （3）

??1?x?是??t?的反函数证明：有定理假设

。

定号，，故函数

???x???t?存在反函数

??1?u?，又

dF?t??f???t?????t???dt

?dF?t?dt?d?1?F??x??????dx?dtdx??t???1?x?于是

?1????f?t?t?????????t????????t???1?x?

f?????t????=

t???1?x??f?x?

可见

?1F????x???是式（3）左端不定积分的被积函数的一个原函数，所以式（3）成立。

第二换元积分法指出，求式（3）左端不定积分，作变量代换

f?x??f????t???,dx???t?dt，于是

x???t?，从而

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???t??????t?dt ?f?x?dx??f?若上式右端的不定积

分 ?f????t??????t?dt?F?t??C （4）

容易求出，那么再代回原来的变量

t???1?x?，便求出原不定积分

??1f?x?dx?F????x????C

由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理8.5条件的变换积分容易求出。那么如何选择变换

x???t?，从而使式（4）的不定

x???t?呢？这往往与被积函数的形式有关。例如，若被积来去掉根式，从而使被积函数得到简化，不定积

函数中有根式，一般选择适当的变换分容易求出。

x???t?常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler代换等.

以下我们着重介绍三角代换和无理代换. 1、三角代换

（1）正弦代换：正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令x?asint, (a?0), 则 a2?x2?acost, dx?acostdt, t?arcsin例19、计算?a2?x2dxx. aa2?x2(a?0)的根式施

?a?0?

?x,则t?arcsin,?a?x?a2a，且

解：令

x?asint,??2?t?a2?x2?acost?acost,dx?acostdt,从而

2

?a2a2?x2dx?acost.acostdt?a?costdt?2=

2??1?cos2t?dt

a2?1a2a2??t?sin2t??C?t?sintcost?C22? =2?2

由图2.1知

xsint?a

a2?x2cost?a

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所以?a2xa2xa2?x2?Ca2?x2dx2arcsina?2?aa==

a2xx2arcsin?a?x2?C2a2

（2）正割代换：正割代换简称为“割换”. 是针对型如 x2?a2 (a?0)的根式施 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式sec2t?1?tg2t, 令x?asect, 有x2?a2?atgt, dx?xsect?tgtdt. 变量还愿时, 常用辅助三角形法.

例20、计算

?dxx?a22?a?0?

解“令

0?t?x?asect,当0?t??2或?2?t??时，x?asect存在反函数

t?arcsinxa。这里仅讨论

??2的情况，同法可讨论20?t??t??的情况。

?由于

?22x?a?atant?atant,dx?atantsectdt20

??1atant?sectdt?atant?sectdt?lnsect?tant?C

?dxa2?x2由图2.2知，

xsect?atant?x2?a2a，所以

?xx2?a2?ln??C?22aaa?xdx

?lnx?x2?a2?C这里C?C??lna

（3）正切代换： 正切代换简称为“切换”. 是针对型如a2?x2(a?0)的根式施行 的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式sec2t?tg2t?1,即1?tg2t?sec2t, 令 x?atgt, dx?asec2tdt. 此时有 a2?x2?asect, t?arctg谓辅助三角形法.

x. 变量还原时, 常用所a 10

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例21、计算

?dxa2?x2（a?0）x2?a2?asect?asect,

解：令

x?atant,???2?t?2,则x?atant存在反函数。且

x2?a2?asect?asect,dx?asec2tdt，从而

?dx1a2?x2=?asect?asect2dt??sectdt?lnsect?tant?C?

由图2.3知

x2?a2sect=a

tant?xa 2lnx?a2a?xa?C??lnx?x2?a2?C所以

?dxa2?x2=

这里C?C??lna。

总结例2.19～2.21，有如下规律：

（1）若被积函数含有a2?x2，一般令x?asint或x?acost （2）若被积函数含有x2?a2，一般令x?asect或x?acsct （3）若被积函数含有x2?a2，一般令x?atant或??x?acott

2、无理代换

若被积函数是n1x , n2x , ? , nkx的有理式时, 设n为ni(1?i?k)的最小公倍数, 作代换t?nx, 有x?tn, dx?ntn?1dt. 可化被积函数为 t 的有理函数.

例22、计算

?x1?2xdx

解：为了去掉被积函数的根式，令t?1?2x，即作变量代换x?12?t2?1?,t?0

则dx?tdt，从而

15?x1?2xdx2=?2?t?1?t?tdt?12??t4dt??t2dt?1??t?t3???C=2?53?

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1 =10?531?2x?2?16?1?2x?2?C

例23、?dx?????t?6xx?3x26?t2dt1?t??6?(1?t)dt?6?dt1?t??? ??6??6?x?132x?ln1?6x????c.

若被积函数中只有一种根式nax?b或nax?bcx?e,可试作代换t?nax?b或 t?n.ax?bcx?e. 从中解出x来. 2 例24、 ?x3x2?1dx?12t?x?112?xx2?1 d(x2)??????2?(t2?1)t?2tdt?

??(t4?t2)dt?t55?t3533?c?115(x2?1)2?3(x2?1)2?c.

本题还可用割换计算, 但较繁.

3、双曲代换

利用双曲函数恒等式 ch2x?sh2x?1, 令 x?asht, 可去掉

型如 a2?x2的根式. dx?achtdt. 化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 如: ch2t?12(ch2t?1), sh2t?12(ch2t?1), sh2t?2shtcht. sh?1x?ln(x?x2?1). （参阅复旦大学 (陈传璋等)编, 数学分析, 上册P24.）

例25、 ?a2?x2dx?????x?asht?acht?achtdt?a2?ch2tdt?

?a2a2a22?(ch2t?1)dt?4sh2t?2t?c?? ?xa22a2?x2?2ln(x?a2?x2)?c.

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本题可用切换计算,但归结为积分?sec3tdt, 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例3. 例26、 ?dx. 现用曲换计算 ).

2?x2. (可用切换计算过该题解： I??????x?2sht?2chtx22chtdt??dt?t?c?? ln??x???22?1????c? ? ? ln(x?x2?2)?c. c?c??ln2. 例27、 ?dxx2?a2. (曾用割换计算过该题. 现用曲换计算 ).

解 I????x?acht?ashtasht?dt?t?c??ln xx2dt?a ? a2?1 ?c?? ? ln |x?x2?a2|?c. c?c??ln|a|.

4、倒代换

当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用

倒代换x?11t, dx??t2dt.

例28、 ?dx1d(x2)u?x21duu?1t?0xx4?x2?2?x2x4?x2????2?uu2?u?????

?1 1t2dt2?111??12?dt111?t??(1?t)2?c????1?1?2x2?1x2??c??|x|?c. tt2???t

5、万能代换

万能代换常用于三角函数有理式的积分(参[1]P261). 令t?tgx2， 2tgx 就有 sinx?2sinxx22cos2??2tsec2x1?t2， 2 cosx?1?t21?t2, tgx?2t1?t2 ，

dx?2dt1?t2, x?2arctgt.

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例29、 ?dx1?cosx.

t?tgx2解法一： ( 用万能代换 ) I?????2?1?t21?t2dt?x1??dt?t?c?tg2?c. 1?t2解法二： ( 用初等化简 ) I?12?dx?cos2x?sec2x2d(xx2)?tg2?c. 2解法三： ( 用初等化简, 并凑微 )

I??1?cosx1?cos2xdx??csc2xdx??dsinxsin2x? ??ctgx?1sinx?c?cscx?ctgx?c?tgx2?c. 例30、 ?d?1?sin??cos?. t?tgx解： I?????2?1?21?2t1?t21?t2dt??dtt?1?ln|t?1|?c= 1?t2?1?t2 ?ln|tgx2?1|?c. 代换法是一种很灵活的方法.

习题：[1]P189 1(25)(27)(28)～(30)

三、分部积分法

设u(x)与v(x)均为x的连续可微函数。于是，由函数乘积的求导公式，有 [u(x)v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x) 或 u(x)v?(x)?[u(x)v(x)]??u?(x)v(x) 再由不定积分的定义及线性性质，有 ?u(x)v?(x)dx??{[u(x)v(x)]??u?(x)v(x)}dx?

?[u(x)v(x)]?dx??u?(x)v(x)dx?u(x)v(x)??u?(x)v(x)dx

即 ?u(x)v?(x)dx?u(x)v(x)??u?(x)v(x)dx

（5）

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或 （6）

?u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x)

公式（5）或公式（6）称为不定积分的分部积分公式。一般地说，利用分部积分公式求不定积分就是追求被积函数形式的转变，把比较难求甚至无法求出的不定积分?u?(x)v(x)dx?容易求的不定积分，起到化繁为简的作用。

u(x)v?(x)dx转变成

对于给定的不定积分?f(x)dx作分部积分运算，通常要把被积函数f(x)分解为两个因子的

乘积，这会有多种选择，对两个因子中哪一个选作u(x)也会有多种选择。选择不同，效果不一样的。例如，在积分?xsinxdx中，若选择u(x)?sinx，v?(x)?x，则

?x2?x2x2??sinx??cosxdx?xsinxdx??sinxd?22??2 并没有达到简化积分计算的目的。若选择u(x)?x，v?(x)?sinx，则 ?xsinxdx??xd??cosx??x??cosx?????cosx?dx??xcosx??cosxdx??xcosx?sinx?C

由此可见，u(x)与积分技巧。

v?x?的选择对于初学者来讲，只有认真总结规律，才能熟练地运用分部

nx一般来说，在使用分部积分法求不定积分时，若被积函数是幂函数与指数函数或三角函

nnu(x)?x数的乘积时，应选择；若被积函数是幂函数x与对数函数或反三角函数的乘积时，应n?v(x)?x选择。

1、 幂 ? X 型函数的积分

分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一

因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂?X” 型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“X”求导以使其成为代数函数.

例31、计算下列不定积分 （1）

2x2x2xxxedx?xde?xe?e????2xdx?

x2ex?2?xdx?x2ex?2(xex??exdx)?

x2 e(x?2x?2)?C

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2?xsinxdx??x（2）

111?1?cos2x?dx??xdx??xcos2xdx?222

121111?1?1x??xd?sin2x??x2?xsin2x??sin2xdx?42422?2?4

12x1x?sin2x?cos2x?C48 4

lnx11?1?dx?lnxd???lnx?dlnx????x2??xx?x?（3）

1dx1?lnx??2??(lnx?1)?Cxx x

（4）?arcsinxdx?xarcsinx??xdarcsinx?

121d?1?x?xarcsinx??xdx?xarcsinx???2221?x1?x

1122xarcsinx??2(1?x)?C?xarcsinx?1?x2?C2

23(1?6x)arctanxdx?arctanxd(x?2x)???（5）

3x?2x3?x?2x?arctanx??1?x2dx?

x2x??x?2x?arctanx????1?x?3?dx?2??

132x?2xarctanx?x?ln?1?x2??C??2

2、建立所求积分的方程求积分

分部积分追求的另一个目标是: 对被积函数两因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来.

例32、 ?exsinxdx.

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( a?0 ). 例33、 求I1??eaxcosbxdx 和I2??eaxsinbxdx, ?I?1eaxcosbx?bI2,I1?bsinbx?acosbxax解： ??12e?c,?aa 解得 a?b2???I2?1basinbx?bcosbx

axaeaxsinbx?aI1.I2?a2?b2e?c.例34、 ?a2?x2dx, ( a?0 ). 解： I?xa2?x2??x?xa2?x2dx=

2 ?xa2?x2??a2?x2a2?x2dx??aa2?x2dx=

?xa2?x2?I?a2ln(x?a2?x2)?c1, （参阅例41）

解得 I?x2a2?x2?a22ln(x?a2?x2)?c. 例35、 ?cos2xdx??cosxdsinx?cosxsinx??sin2xdx= ?cosxsinx?x??cos2xdx， 解得 ?cos2xdx?x12?4sin2x?c. 例36、 ?sec3xdx??secx?sec2xdx??secxdtgx?secxtgx??tgxsecxtgxdx =secxtgx??(sec2x?1)secxdx?secxtgx??sec3xdx??secxdx? =secxtgx?ln|secx?tgx|??sec3xdx, 解得 ?sec3xdx?12secxtgx?12ln|secx?tgx|?c. 分部积分法也常用来产生循环现象，然后经过代数运算求出不定积分。 例37、计算下列不定积分 （1） ?x2?a2dx。

设

I??x2?a2dx，则

I??x2?a2dx?xx2?a2??xdx2?a2?

2?a2??xxdx?x22?2xx22a?x2?a2x?a???x?a??x2?a2?dx?

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?xx2?a2?I?a2dx ?x2?a2

再由例21，有?x2?a2dx2=lnx?x?a2?C?

故原积分 I?x2x2?a2?a22lnx?x2?a2?C

这里

C?C?2

?x（2）计算

?esin?xdx和

?e?xcos?xdx

?xsin?xd?解：?esin?xdx=??1??e?x??1?=??e?xsin?x??e?x??cos?xdx?

?1?e?xsin?x???1???cos?xd???ex??? ?1?e?xsin?x???2??e?xcos?x??e?x????sin?x?dx??

1e?x=?sin?x??x?2?x??2ecos?x??2?esin?xdx

移项，整理，有

e?x?sin?x?? ?e?xsin?xdx=?2??2?cos?x??C

?e?xx?sin同理可得 ?ecos?xdx=?2??2??x??cos?x??C

在含有自然数n的不定积分中，常用分部积分法来建立求不定积分的递推公式。

?1?In例38、

n???lnx?dx(n?N）

I???lnx?ndx?x?lnx?n??xd?lnx?n解：

n?

x?lnx?n??x?n?lnx?n?11n?1

xdx?x?lnx?n?n??lnx?dx

=x?lnx?n?nIn?1

n即

In?x?lnx??nIn?1

这就是递推公式。例如n?3时有

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??lnx?3dx?x?lnx?3?3Ix?lnx?3?3?22??x?lnx??2I1??=

x?lnx?3?3x?lnx?2?6??1??xlnx??x?xdx??? x?lnx?3?3x?lnx?2?6xlnx?6x?C

dx?2???x2?a2?n （n?N，a?0)

?dx解：设 In??x2?a2?n ，则

????In?x?x2?a2?n??xd?1??x2x?dx??x2?a2?n??=?x2?a2?n??x???n??x2?a2?n?1??x?2??2?2n??1?n?an?1?dx?x?2nIn?2na2In?1=

x?a2?n??x2?a2??x2?a2????x2?a2?n

从

??I?1n?12na2?x?而 ??x2?a2?n??2n?1?In??? （7） 特别当n?1时，有

I1??dxx2?a2?1aarctanxa?C

于是利用递推公式（2.7），有

I2?1?2a2?x?x2?a2?I?1?x1???2a2??x2?a2?1aarctanxa?C???=

1x12a2x2?a2+2a3arctanxa+C?

C这里C?=2a3

分部积分法与换元积分法有时在同一题中配合使用效果更佳。

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arcsinx1?x2?x21?x2dx例39、计算

arcsinx1?x2arcsinxarcsinxdxdx??x21?x2dx?x21?x2?x2解：==

?arcsinxd?arcsinx???ucosudu?作变量代换x?sinu?2

sinucosu12?arcsinx?2??udcotu?122?arcsinx??ucotu??cotudu= 12?arcsinx?2?ucotu?lnsinu?C

由图8.2.4知

cotu?1?x2x

arcsinx1?x2所以?x21?x2dx?12?arcsinx?2 1?x2?xarcsinx?lnx?C

通过本节的讨论，我们还应在基本积分表中再补充如下公式：

基本积分表（补充）

?15??secxdx?lnsecx?tanx?C?16??cscxdx?lncscx?cotx?C?17??tanxdx??lncosx?C?18??cotxdx?lnsinx?C?19??1a2?x2dx?1xaarctana?C

=

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?20???21???22???23??dxa2?x222?arcsinx?Cax2a2x2a?xdx?a?x?arcsin?C22adxlnx?x2?a2?Cx2?a2x2a2222x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C22

综上所述，我们已经对求不定积分的基本方法进行了全面的讨论。由不定积分的定义知，求不定积分的运算是微分法的逆运算。而第一、第二换元积分法对应与复合函数求导的链式法则，分部积分法则是基于乘积函数的求导法则推导出来的。求不定积分的基本思想是：采用各种方法将被积函数化为基本积分表中的被积函数的形式或它们的线性组合。然后利用基本积分表和线性性质求出不定积分。显然，掌握较多的不定积分公式会给求不定积分带来方便，为此人们把一些常用的不定积分公式汇集起来，做成基本积分表。同学们可以利用这个表进行运算。但是无论容量多么大的积分表也不能把所有的不定积分都罗列出来。所以，上面介绍的求不定积分的各种方法都是最基本的，作为初学者必须掌握。另外，把不定积分法与微分法相比较，求积分要比求微分困难的多，复杂的多，甚至于有些被积函数很简单，但他们的不定积分却无法积出。例如：

?e?x2sinxdx?xdx

dx?lnx2sinx??dx?，等等

这说明在初等函数类中，不定积分的运算是不封闭的，即初等函数的原函数不一定是初等函数。今后把被积函数的原函数能用初等函数表示的积分称为积得出的，否则，称为积不出的。

结论：当n是正整数时，如?xnexdx，?xnsinxdx，?xncosxdx，这种类型的积分，都可用分部积法解决，这时，设u?xn，dv分别为exdx，sinxdx，cosxdx；同样?xnlnxdx，

nnnxarctanxdxxarcsinxdxdv?xdx，，，这种类型的积分，也可用分部积分法解决，这时，设??u分别为lnx，arctanx，arcsinx。 ?ekxsin(ax?b)dx，?ekxcos(ax?b)dx （a，b ，k为常数）这种类型的积分如例15那样，也可以用分部积分法来解决。

习题：P189 2（1）～（9）

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