解析几何

篇一：解析几何知识点总结

抛物线的标准方程、图象及几何性质：p?0

1、定义：

2、几个概念：

① p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，故p为正数；1

② ；

4

③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径：2p

3、如：AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN?l，N为垂足，BD?l，AH?l，D，H为垂足，求证：

（1）HF?DF； （2）AN?BN； （3）FN?AB；

（4）设MN交抛物线于Q，则Q平分MN；

2

（5）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2??p，x1x2?

12

p； 4

（6）1?1

|FA|

|FB|

?

2； p

（7）A,O,D三点在一条直线上

2

（8）过M作ME?AB，ME交x轴于E，求证：|EF|?1|AB|，|ME|?|FA|?|FB|；

2

1、 双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|e(e注意： |

F1F2|）的点的轨迹。

?1)的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。

PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a（2a?|F1F2|）表示双曲线的一支。 2a?|F1F2|表示两条射线；2a?|F1F2|没有轨迹；

2、 双曲线的标准方程

x2y2y2x2

①焦点在x轴上的方程：2?2?1（a>0，b>0）；②焦点在y轴上的方程：2?2?1 （a>0，b>0）；

abab

③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx-ny=1(m·n<0)；④双曲线的渐近线：改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程. 3、双曲线的渐近线：

2

2

x22

①求双曲线x?y?1的渐近线，可令其右边的1为0，即得x?y?0，因式分解得到。②与双曲线2

aa2b2a2b2

2

2

2

22y2xy?2?1共渐近线的双曲线系方程是2?2??；

bab

4、等轴双曲线： 为x2?y2?t2，其离心率为2 5、共轭双曲线： 6、几个概念：

xyb2b?222

; ; ③等轴双曲线x-y=? (?∈R,?≠0)：渐近线是y=±x,2 ；④2?2?1焦点三角形的面积：bcot (其中∠F1PF2=?)；

ca2ab

2

2

222222

⑤弦长公式：

c=a-b,而在双曲线中:c=a+b,

22

8、双曲线中的定点、定值及参数的取值范围问题：

①定点、定值问题：通常有两种处理方法：第一种方法?是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；第二种方法?是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。

②关于最值问题：常见解法有两种：代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决，这就是几何法；若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、函数的单调性法等。 ③参数的取值范围问题：此类问题的讨论常用的方法有两种：第一种是不等式（组）求解法?根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式再得出参数的变化范围；第二种是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。

关于椭圆知识点的补充： 1、椭圆的标准方程：

x2y2y2x2

① 焦点在x轴上的方程：2?2?1 （a>b>0）； ②焦点在y轴上的方程：2?2?1 （a>b>0）；

abab

③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx+ny=1(m>0,n>0)； ④、参数方程：?2、椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。

|PF1|

e(0?e?1) =e (椭圆的焦半径公式：|PF1|=a+ex0, |PF2|=a-ex0)

d其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。 常数叫做离心率。 注意： 2a?|F1F2|表示椭圆；2a?|F1F2|表示线段F1F2；2a?|F1F2|没有轨迹；

2

2

?x?acos?

y?bsin??

xyb2b?2

3、 ;4、通径：、点与椭圆的位置关系； 6、2?2?1焦点三角形的面积：btan其中∠F1PF2=?)；

ca2ab

2

2

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7、弦长公式：

； 8、 椭圆在点P（x0，y0)处的切线方程：

x0xy0y

?2?1; a2b

9、直线与椭圆的位置关系：

凡涉及直线与椭圆的问题，通常设出直线与椭圆的方程，将二者联立，消去x或y，得到关于y或x的一元二次方程，再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决，需要有较强的综合应用知识解题的能力。 10、椭圆中的定点、定值及参数的取值范围问题：

①定点、定值问题：通常有两种处理方法：第一种方法?是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；第二种方法?是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。

②关于最值问题：常见解法有两种：代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决，这就是几何法；若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、函数的单调性法等。 ③参数的取值范围问题：此类问题的讨论常用的方法有两种：第一种是不等式（组）求解法?根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围；第二种?是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围

篇二：解析几何基础知识汇总

解析几何基础知识

2

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8．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程y2?2px

?p?0?叫做抛物线的标准方程。

pp

,0），它的准线方程是x?? ；

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注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2??2px，x2?2py，x2??2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：[一次项的字母定轴（对称轴），一次项的符号定方向（开口方向）]

说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。

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篇三：解析几何的发展简史

绪论

“解析几何”又名“坐标几何”,是几何学的一个分支。 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题，基本方法是坐标法。就是通过坐标把几何问题表示成代数形式，然后通过代数方程来表示和研究曲线。它包括“平面解析几何”和“空间解析几何”两部分。前一部分除研究直线的有关性质外，主要研究圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。后一部分除研究平面、直线的有关性质外，主要研究二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面等）的有关性质。

1.解析几何产生的实际背景和数学条件

解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。解析几何产生数学自身的条件：几何学已出现解决问题的乏力状态；代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度.解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。从16世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代。生产实践积累了大量的新经验，并提出了大量的新问题。可是，对于机械、建筑、水利、航海、造船、显微镜和火器制造等领域的许多数学问题，已有的常量数学已无能为力，人们迫切地寻求解决变量问题的新数学方法。

解析几何产生前的几何学

平面几何，立体几何（欧几里得的《几何原本》），圆锥曲线论（阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》），特点：静态的几何, 既不把曲线看成是一种动点的轨迹，更没有给它以一般的表示方法.

几何学出现解决问题的乏力状态

16世纪以后,哥白尼提出日心说，伽利略得出惯性定律和自由落体定律，这些都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题．几何学必须从观点到方法来一个变革，创立起一种建立在运动观点上的几何学．

16世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件． 1591年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地使用了字母，他不仅用字母表示未知数,而且用以表示已知数，包括方程中的系数和常数．这样，代数就从一门以分别解决各种特殊问题的侧重于计算的数学分支，成为一门以研究一般类型的形式和方程的学问．这就为几何曲线建立代数方程铺平了道路．代数的符号化，使坐标概念的引进成为可能，从而可建立一般的曲线方程，发挥其具有普遍性的方法的作用．

2.解析几何的创立

17世纪前半叶，解析几何创立，其中法国数学家笛卡尔（Descartes，1596-1650)和费尔玛（fermat，1601-1665）作出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。1637年，笛卡尔发表哲学著作《更好地指导和寻求真理的方法论》（简称《方法论》），《几何学》作为其附录之一发表.笛卡尔的《几何》虽然不像现在的解析几何那样，给读者展现出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程，但是他通过具体的实例，确定表达了他的新思想和新方法．这种思想和方法尽管在形式上没有现在的解析几何那样完整，但是在本质上它却是地道的解析几何．

笛卡尔的解析几何有两个基本思想：（１）用有序数对表示点的坐标；（２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一条曲线。

费尔玛是一位业余数学家，但他的数学成就在17世纪数学史上非常突出，为微积分、概率论和数论的创立和发展都作出了最重要的贡献。早在笛卡尔的《几何学》发表以前，费尔玛已经用解析几何的方法对阿波罗尼斯某些失传的关于轨迹的证明作出补充．他通过引进坐标，以一种统一的方式把几何问题翻译为代数的语言——方程，从而通过对方程的研究来揭示图形的几何性质．费尔玛所用的坐标系与现在常用的直角坐标系不同，它是斜坐标，而

且也没有y 轴．

3．解析几何创立的意义

笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”

4．解析几何的发展和完善

牛顿对二次和三次曲线理论进行了系统的研究，特别是，得到了关于“直径”的一般理论。欧拉讨论了坐标轴的平移和旋转，对平面曲线作了分类。拉格朗日把力、速度、加速度“算术化”，发展成“向量”的概念，成为解析几何的重要工具。18世纪的前半期，克雷洛和拉盖尔将平面解析几何推广到空间，建立了空间解析几何。

5．解析几何的进一步发展

解析几何已经发展得相当完备，但这并不意味着解析几何的活力已结束。经典的解析几何在向近代数学的多个方向延伸。例如：n 维空间的解析几何学，无穷维空间的解析几何（希尔伯特空间几何学）；20世纪以来迅速发展起来的两个新的宽广的数学分支——泛函分析和代数几何，也都是古典解析几何的直接延续。微分几何的内容在很大程度上吸收了解析几何的成果。

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