大学解析几何

空间解析几何

基本知识 一、向量

1、已知空间中任意两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，则向量

M1M2?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)

2、已知向量a?(a1,a2,a3)、b?(b1,b2,b3)，则 （1）向量a的模为|a|???????a1?a2?a3

222（2）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3) （3）?a?(?a1,?a2,?a3) 3、向量的内积a?b

（1）a?b?|a|?|b|?cos?a,b? （2）a?b?a1b1?a2b2?a3b3

其中?a,b?为向量a,b的夹角，且0??a,b???

注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积a?b（遵循右手原则，且a?b?a、a?b?b）

??????????????????????????ia?b?a1??ja2b2??ka3 b3??b1??5、（1）a//b?a??b?????a1a2a3 ??b1b2b3（2）a?b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0 二、平面

100

1、平面的点法式方程

已知平面过点P(x0,y0,z0)，且法向量为n?(A,B,C)，则平面方程为

?A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0

注意：法向量为n?(A,B,C)垂直于平面

2、平面的一般方程Ax?By?Cz?D?0，其中法向量为n?(A,B,C) 3、（1）平面过原点(0,0,0)? Ax?By?Cz?0

（2）平面与x轴平行（与yoz面垂直）?法向量n垂直于x轴?By?Cz?D?0

（如果D?0，则平面过x轴）

平面与y轴平行（与xoz面垂直）?法向量n垂直于y轴?Ax?Cz?D?0

（如果D?0，则平面过y轴）

平面与z轴平行（与xoy面垂直）?法向量n垂直于z轴?Ax?By?D?0

（如果D?0，则平面过z轴）

（3）平面与xoy面平行?法向量n垂直于xoy面?Cz?D?0

平面与xoz面平行?法向量n垂直于xoz面?By?D?0 平面与yoz面平行?法向量n垂直于yoz面?Ax?D?0 注意：法向量的表示 三、直线

1、直线的对称式方程

过点P(x0,y0,z0)且方向向量为v?(v1,v2,v3)直线方程

??????????x?x0y?y0z?z0 ??v1v2v3注意：方向向量v?(v1,v2,v3)和直线平行 2、直线的一般方程?

?A1x?B1y?C1z?D1?0，注意该直线为平面

Ax?By?Cz?D?0222?2101

A1x?B1y?C1z?D1?0和A2x?B2y?C2z?D2?0的交线

?x?x0?v1t?3、直线的参数方程?y?y0?v2t

?z?z?vt03?4、（1）方向向量v?(0,v2,v3)，直线垂直于x轴 （2）方向向量v?(v1,0,v3)，直线垂直于y轴 （3）方向向量v?(v1,v2,0)，直线垂直于z轴 5、（1）方向向量v?(0,0,v3)，直线垂直于xoy面 （2）方向向量v?(0,v2,0)，直线垂直于xoz面 （3）方向向量v?(v1,0,0)，直线垂直于yoz面 应用 一、柱面

??f1(x,y,z)?01、设柱面的准线方程为?，母线的方向向量v?(v1,v2,v3)，求柱面方程

?f2(x,y,z)?0??????方法：在准线上任取一点M(x1,y1,z1)，则过点M(x1,y1,z1)的母线为

x?x1y?y1z?z1 ??v1v2v3又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故

f1(x1,y1,z1)?0 （1） f2(x1,y1,z1)?0 （2）

令

x?x1y?y1z?z1???t （3） v1v2v3由（1）、（2）、（3）消去x1,y1,z1求出t，再把t代入求出关于x,y,z的方程F(x,y,z)?0，则该方程为所求柱面方程

?x2?y2?z2?1?例1：柱面的准线为?，而母线的方向为v???1,0,1?，求这柱面方

222?2x?2y?z?2程。 解：在柱面的准线上任取一点M(x1,y1,z1)，则过点M(x1,y1,z1)的母线为

102

x?x1y?y1z?z1?? ?101即x1?x?t,y1?y,z1?z?t（1）

又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故x1?y1?z1?1（2），2x1?2y1?z1?2（3） 由（1）（2）（3）得x2?y2?z2?2xz?1?0

2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径

方法：在圆柱面上任取一点M0(x0,y0,z0)，过M0(x0,y0,z0)点做一平面垂直于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点M1(x1,y1,z1)，则|M0M1|为圆柱的半径 例2：已知圆柱面的轴为柱面的方程。

解：设圆柱面上任取一点M0(x0,y0,z0)，过点M0(x0,y0,z0)且垂直于轴的平面为

222222xy?1z?1，点M1（1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆??1?2?2(x?x0)?2(y?y0)?2(z?z0)?0

轴方程的参数式为x?t,y?1?2t,z??1?2t代入平面方程得

x0?2y0?2z0

9x?2y0?2z09?2x0?4y0?4z0?9?2x0?4y0?4z0,,) 故该平面和轴的交点为(0999115过点M1（1，-2，1）和轴垂直的平面和轴的交点为(,,?)

333 t?因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得

8x2?5y2?5z2?4xy?4xz?8yz?18y?18z?99?0

注意：也可找圆柱面的准线圆处理

例3：求以直线x=y=z为对称轴，半径R=1的圆柱面方程

解：在圆柱面上任取一点M0(x0,y0,z0)，过点M0(x0,y0,z0)且垂直于轴的平面为

(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?0

轴方程的参数式为x?t,y?t,z?t代入平面方程得

x0?y0?z0

3x?y0?z0x0?y0?z0x0?y0?z0,,) 故该平面和轴的交点为M1(0333 t?

103

则M0M1的长等于半径R=1 故利用距离公式得

(x0?x0?y0?z02x?y0?z02x?y0?z02)?(y0?0)?(z0?0)?1

333即所求方程为(2x0?y0?z0)2?(?x0?2y0?z0)2?(?x0?y0?2z0)2?9 二、锥面

锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。 1、设锥面的准线为??f1(x,y,z)?0，顶点为M0(x0,y0,z0)，求锥面方程

f(x,y,z)?0?2方法：在准线上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过点M1(x1,y1,z1)的母线为

x?x0y?y0z?z0 （1） ??x1?x0y1?y0z1?z0又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故

f1(x1,y1,z1)?0 （2） f2(x1,y1,z1)?0 （2）

由（1）、（2）、（3）消去x1,y1,z1求出关于x,y,z的方程F(x,y,z)?0，则该方程为所求锥面方程

?x2y2?例1锥面的顶点在原点，且准线为?a2?b2?1，求这锥面方程。 ??z?c解：在准线上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过点M1(x1,y1,z1)的母线为

xyz?? x1y1z1xy又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故12?12?1且z1?c

abx2y2z2上面三个方程消去x1,y1,z1得2?2?2?0

abc2、圆锥面

已知圆锥面的顶点M0(x0,y0,z0)，对称轴（或轴）的方向向量为v?(v1,v2,v3)，求圆

104

?22

锥面方程

方法：在母线上任取一点M(x,y,z)，则过该点的母线的方向向量为

?n?(x?x0,y?y0,z?z0)

利用v和n的夹角不变建立关于x,y,z的方程，该方程为所求

例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。（(x?y?z)2?x2?y2?z2） 解：在坐标轴上取三点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，则过三点的平面为

??x?y?z?1

故对称轴的方向向量为(1,1,1)，一条母线的方向向量为(1,0,0)， 则母线和对称轴的夹角为1?1?1?0?1?0?3?1?cos?，即cos???3 3在母线上任取一点M(x,y,z)，则过该点的母线的方向向量为n?(x,y,z)

x?y?z?x2?y2?z2?3cos?

所以(x?y?z)2?x2?y2?z2

例3圆锥面的顶点为(1,2,3)，轴垂直于平面2x?2y?z?1?0，母线和轴成30，求圆锥面方程

解：在母线上任取一点M(x,y,z)，轴的方向向量为(2,2,?1)，母线的方向向量为

?0n?(x?1,y?2,z?3)

(x?1)2?(y?2)2?(z?3)2?9cos300

则2(x?1)?2(y?2)?(z?3)?即 4(2x?2y?z?3)2?27(x?1)2?27(y?2)2?27(z?3)2 三、旋转曲面

x?x0y?y0z?z0?f1(x,y,z)?0??设旋转曲面的母线方程为?，旋转轴为，求旋转XYZf(x,y,z)?0?2曲面方程

方法：在母线上任取一点M1(x1,y1,z1)，所以过M1(x1,y1,z1)的纬圆方程

?X(x?x1)?Y(y?y1)?Z(z?z1)?0 ?222222?(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?(x1?x0)?(y1?y0)?(z1?z0)又因为M1(x1,y1,z1)在母线上，有

?f1(x1,y1,z1)?0 ?f(x,y,z)?0?2111

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由上述四个方程消去x1,y1,z1的方程F(x,y,z)?0为旋转曲面

xyz?1绕直线l：x?y?z旋转一周所得的旋转曲面的方程。 ??210解：在母线上任取一点M1(x1,y1,z1)，则过M1(x1,y1,z1)的纬圆方程

例4求直线

?(x?x1)?(y?y1)?(z?z1)?0 ?222222?x?y?z?x1?y1?z1又因为M1(x1,y1,z1)在母线上，有

x1y1z1?1?? 210由上述方程消去x1,y1,z1的方程得9x2?9y2?9z2?5(x?y?z?1)2?9 四、几种特殊的曲面方程 1、母线平行于坐标轴的柱面方程 设柱面的准线是xoy平面上的曲线??f(x,y)?0，则柱面方程为f(x,y)?0

z?0??g(x,z)?0设柱面的准线是xoz平面上的曲线?，则柱面方程为g(x,z)?0

y?0?设柱面的准线是yoz平面上的曲线??h(y,z)?0，则柱面方程为h(y,z)?0

?x?0注意：（1）母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母

（2）准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、双曲线柱面、

抛物线柱面

例求柱面方程

?y2?2z（1）准线是?，母线平行于x轴

?x?0解：柱面方程为y?2z

2?x2y2?z2?1??（2）准线是?4，母线平行于y轴 9?y?3?解：柱面方程为x?4z

22?x2y2z2??1??（3）准线是?4，母线平行于z轴 99?x?2?解：x?2

2、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面

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?f(x,y)?022设母线是?，旋转轴是x轴的旋转曲面为f(x,?y?z)?0；旋转轴是y轴

z?0?的旋转曲面为f(?x2?z2,y)?0 （同理可写出其它形式的旋转曲面方程）

注意：此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。

y2z2??x?0是什么曲面，它是由xoy面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的 例方程22y2?x?0绕x轴旋转而成的 解：xoy面上的23、平行于坐标面的平面和曲面f(x,y,z)?0的交线方程

平行于xoy面的平面z?h和曲面f(x,y,z)?0的交线为??f(x,y,h)?0

z?h??f(x,h,z)?0平行于xoz面的平面y?h和曲面f(x,y,z)?0的交线为?

y?h?平行于yoz面的平面x?h和曲面f(x,y,z)?0的交线为?例求曲面和三个坐标面的交线 （1）x?y?16z?64

222?f(h,y,z)?0

?x?h?x2?y2?64?x2?16z2?64?y2?16z2?64解：?、?、?

?z?0?y?0?x?0（2）x2?4y2?16z2?64 解：注意在yoz面上无交线 （3）x?9y?10z 解：在xoy面上交于一点(0,0)

1、求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关于平面的对称点 方法：（1）过点作直线垂直于平面，该直线的方向向量为平面的法向量

（2）求直线和平面的交点，该交点为点在平面上的投影 例5（1）求点A(3,1,?1)在平面3x?y?z?20?0上的投影

（2）求点A(1,2,?5)到平面x?y?z?10?0的距离，并求该点关于平面的对称点坐标

22五、求投影

?3x?2y?2?0（1）求过直线?且与点M(1,2,1)的距离为1的平面方程

x?2y?z?6?0?

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2、求点在直线上的投影、求点到直线的距离、求关于直线的对称点 方法：（1）过点作平面垂直于直线，该平面的法向量为直线的方向向量

（2）求直线和平面的交点，该交点为点在直线上的投影 例6（1）求点A(1,?1,0)到直线

x?2y?1z?1??的距离，该点在直线上的投影 201?2y?3z?3?0（2）求点M(1,?1,0)到直线?的距离

x?y?0?3、直线在平面上的投影

方法：（1）过直线作平面和已知平面垂直，该平面的法向量为直线的方向向量和已知平面法向量的外积

（2）联立两个平面方程所得直线为该直线在平面上的投影 例7（1）求直线??2x?4y?z?0在平面4x?y?z?1?0上的投影直线的方程

?3x?y?2z?9?0?4x?5z?3?0?4y?7z?5，在xoz面上的投影为?，求

y?0x?0??（2）直线在yoz面上的投影为?直线在xoy面上的投影

?f(x,y,z)?04、曲线?在坐标面上的投影柱面及投影

g(x,y,z)?0??h1(x,y)?0方法：（1）消去z得h1(x,y)?0，则?为曲线在xoy面上的投影

z?0?（2）消去x得h2(y,z)?0，则??h2(y,z)?0为曲线在yoz面上的投影

?x?0?h3(x,z)?0（3）消去y得h3(x,z)?0，则?为曲线在xoz面上的投影

y?0?222例（1）求球面x?y?z?9与平面x?z?1的交线在xoy面上的投影柱面及投影 22??2y?z?4x?4z（2）把曲线?2的方程用母线平行于x轴和z轴的两个投影柱面方程表2??y?3z?8x?12z示

解：消去x得母线平行于x轴的投影柱面方程y?z?4z；消去z得母线平行于z轴的

22??y?z?4z投影柱面方程y?4x?0，因此曲线可表示为?2

??y?4x?0222五、求平面方程

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?A1x?B1y?C1z?D1?01、过直线?的平面方程可设为

Ax?By?Cz?D?0222?2(A1x?B1y?C1z?D1)??(A2x?B2y?C2z?D2)?0

如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理 例（1）在过直线??x?y?z?4?0的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。

?x?2y?z?00（2）平面过OZ轴，且与平面y?z?0的夹角为60，求该平面方程

（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角） （3）求过点M(1,0,?1)和直线

x?2y?1z?1??的平面方程 201（4）过直线??x?2z?4?0?x?y?4?0作平面，使它平行于直线?

?3y?z?8?0?y?z?6?0 (5)过平面2x?y?0和4x?2y?3z?6的交线作切于球面x2?y2?z2?4的平面 （6）求由平面2x?z?12?0,x?3y?17?0所构成的两面角的平分面方程 2、利用点法式求平面方程

注意：（1）任何垂直于平面的向量n均可作为平面的法向量

（2）和平面Ax?By?Cz?D?0平行的平面可设为Ax?By?Cz?D1?0

（3）如存在两个向量a?(a1,a2,a3)、b?(b1,b2,b3)和平面平行（或在平面内），则平

???i面的法向量为n?a?b?a1????ja2b2?ka3 b3?b1例（1）已知两直线为方程

x?1y?1z?1x?3y?1z?2????，，求过两直线的平面11?11?12（2）求过A(8,?3,1)和B(4,7,2)两点，且垂直于平面3x?5y?z?21?0的平面

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