解析几何解答题

2015年12月07日博强教育的高中数学组卷

一．解答题（共30小题）

1．（2014秋?安徽月考）已知椭圆C：

+

=1（{a＞b＞0}）的离心率e=

，且由椭圆

上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知P（0，2），过点Q（﹣1，﹣2）作直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．

2．（2014?河北）已知点A（0，﹣2），椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，F是

椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

3．（2015?浙江）已知椭圆

上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．

（1）求实数m的取值范围；

（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

4．（2015?山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，

左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

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（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E

于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q． （i）求|

|的值；

（ii）求△ABQ面积的最大值．

5．（2015?福建模拟）已知椭圆

的离心率为

，其左、右焦点

分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且标原点）．

（1）求椭圆C的方程； （2）过点

（O为坐

且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定

点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

6．（2014?山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，

直线y=x被椭圆C截得的线段长为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．

（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值．

7．（2014?陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：

2

+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线

C2：y=﹣x+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为（Ⅰ）求a，b的值；

．

（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．

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8．（2014?天津二模）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）过点（1，），且长轴长等于4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若

9．（2014?四川）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴

?

=﹣，求k的值．

的一个端点构成正三角形． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．

①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； ②当

10．（2010?河北）设F1，F2分别是椭圆E：x+

2

最小时，求点T的坐标．

=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直

线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． （Ⅰ）求|AB|；

（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．

11．（2015?南充二模）已知椭圆T：

+

=1（a＞b＞0）经过点P（2，

），一个焦点F

的坐标是（2，0）．

（1）求椭圆T的方程；

（2）设直线l：y=kx+m与椭圆T交于A、B两点，O为坐标原点，椭圆T的离心率为e，

2

若kOA?kOB=e﹣1，求证：△AOB的面积为定值．

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12．（2014?辽宁）圆x+y=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）． （Ⅰ）求点P的坐标；

（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．

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13．（2015?安徽）设椭圆E的方程为

=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标

为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为

．

（1）求E的离心率e；

（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．

14．（2011?陕西）设椭圆C：（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

15．（2015?天津）已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为

2

2

过点（0，4），离心率为

，

点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=（Ⅰ）求直线FM的斜率； （Ⅱ）求椭圆的方程；

（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于值范围．

截得的线段的长为c，|FM|=．

，求直线OP（O为原点）的斜率的取

16．（2015?上海模拟）已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x+y=a相交于A、B两个不同

的点，记l与y轴的交点为C．

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（Ⅰ）若k=1，且|AB|=（Ⅱ）若

=2

，求实数a的值；

，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．

17．（2015?陕西模拟）已知F1，F2是椭圆

+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆

上位于第一象限内的一点，，若椭圆的离心率等于．

（1）求直线AO的方程（O为坐标原点）；

（2）直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF2的面积等于4

18．（2015?四川）如图，椭圆E：

，求椭圆的方程．

=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短

轴CD上，且?=﹣1

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得?

+λ

?

为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

19．（2015?安徽）设椭圆E的方程为

+

=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标

为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为

（Ⅰ）求E的离心率e；

（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．

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