解析几何证明问题

解析几何证明问题

x2y261、 已知椭圆T:2?2?1(a?b?0)的一个顶点A?0,1?，离心率e?，圆C:x2?y2?4，从圆C上任意一点

ab3P向椭圆T引两条切线PM,PN.

（1）求椭圆T的方程； （2）求证：PM?PN.

x2c6?y2?1 --------------4分 解：（Ⅰ） 由题意可知：b?1，?椭圆方程为：3a3 （Ⅱ）法1：(1) 当P点横坐标为?(2) 当P点横坐标不为?3时，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM?PN----------5分

223时，设P(x0,y0),则x0?y0?4,设kPM?k

?y?y0?k(x?x0)?PM的方程为y?y0?k(x?x0),联立方程组 ?x2

2??y?1?322消去y得：(1?3k2)x2?6k(y0?kx0)x?3k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ------6分 22依题意：??0即??36k2(y0?kx0)2?41?3k23k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ---------8分 22化简得：(3?x0)k2?2x0y0k?1?y0?0

2221?y01?(4?x0)x0?3?????1 2223?x03?x03?x0????又kPM,kPN为方程的两根 ?kPM?kPN? PM?PN --------12分

法2：(1) 当P点横坐标为?3时，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM?PN----------5分 3时，设P(2cos?,2sin?),切线方程为y?2sin??k(x?2cos?)

(2) 当P点横坐标不为??y?2sin??k(x?2cos?)? ?x2 2??y?1?3 联立得：(1?3k)x?12k(sin??kcos?)x?12(sin??kcos?)?3?0 ------6分

2222令??0即??144k(sin??kcos?)?41?3k12(sin??kcos?)?3?0 -------8分

2222???? 化简得：(3?4cos kPM?kPN?)k2?4sin2??k?1?4sin2??0

1?4sin2?(4?4sin2?)?3????1? PM?PN ----------12分 223?4cos?3?4cos?

2、已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0）,且曲线C过A（

6322，），B（， ）两点，O为坐

6342标原点．

（Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）是曲线C上两点，且OM⊥ON，求证：直线MN恒与一个定圆相切．

1?1m?n?1,??8220.解：（1）由题可得：?解得m?4,n?1.

?1m?1n?1,?3?6所以曲线C方程为y2?4x2?1. ………………………4分

（2）由题得：y1?4x1?1,y2?4x2?1,x1x2?y1y2?0………………………6分 原点O到直线MN的距离

2222d?OA?OBAB22(x12?y12)(x2?y2)?? 222222x1?x2?y1?y2(x1?x2)?(y1?y2)22(x12?y12)(x2?y2)222(1?3x12)(1?3x2)1?3(x12?x2)?9x12x2??………………………8分 222?3(x12?x2)2?3(x12?x2)由x1x2?y1y2?0得：x1x2?y1y2?(1?4x1)(1?4x2)?1?4(x1?x2)?16x1x2 所以x1x2?2222222222224212(x1?x2)? 1515d?2?3(x12?x2)?122223222(x1?x2)??(x1?x2)555=55?.………………………11分 22222?3(x1?x2)2?3(x1?x2)522所以直线MN恒与定圆x?y?

1相切。………………………12分 5

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