《量子力学》复习提纲

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《量子力学》复习 提纲

一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释

2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别） 3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程 4、量子力学中力学量与算符之间的关系 5、自旋的基本假设 二、三个实验

1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章 2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章 3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明

1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化； 2、厄密算符的本征值为实数；

3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交； 4、力学量算符的本征函数组成完全系； 5、量子力学测不准关系的证明； 6、常见力学量算符之间对易的证明； 7、泡利算符的形成。

四、表象

算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。 五、计算

1、力学量、平均值、几率； 2、会解简单的薛定谔方程。

第一章 绪论

1、德布洛意假设：

德布洛意关系：

戴维孙-革末电子衍射实验的结果：

i2、德布洛意平面波：?

?p?Ae?(?p??r?Et)3、光的波动性和粒子性的实验证据：

4、光电效应：

5、康普顿散射：

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附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性

（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性

（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋

第二章 波函数和薛定谔方程

1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。 2．波函数统计解释：

?*?若粒子的状态用??r,t?描写，

?d???2d?表示在t时刻，空间r处体积元d?内找到粒子的几率（设

??是归一化的）。

3．态叠加原理：

???,?,????n设?是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加

?c?nnn也是体系的一个可能状态。

???cn?n??,??,??n?也可以说,当体系处于态 时，体系部分地处于态中。 n4.任何一个波函数??r,t?都可以看做是各种不同动量的平面波的迭加。 5．波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：

i????t?????

???????V(r,t)?

?V(r)不显含时间t时，其解是定态解

当势场

???iEnt?n(r,t)??n(r)e??,?n(r)

2????2H?n?En?n满足定态薛定谔方程 其中 H?????V(r,t)??2??

注：定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。

6．波函数的归一化条件： ??d??1（对整个空间积分）

相对几率分布：

波函数常数因子不定性；?(r)~c?(r) 波函数相位因子不定性：

7．波函数的标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性，单值性。

?i????***??????j???????????j??8．几率流密度与几率密度 满足连续性方程 ???t

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9.定态所需的条件 ：

10．一维无限深方势阱

0?x?a?0,（1）若 V(x)??x?0或x?a??, ??n?x???sin,?n????En?,n??,?,?,?本征函数 a?an本征值 ???a??,?

?x?a（2）若 ?0,V(x)?????,x?a

11.自由粒子波函数（推导过程）

?1n?sin(x?a),????n??2a则本征值 本征函数 ?n??aEn???0,??a?????E?n???????n12．一维谐振子 本征值 V???x????

本征函数

?n?Nne????能量x??或x?an?1,2,3,...x?ax?a??x?a，n??,?,?,?x??Hn(?x)Nn????n!n,?????13、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中）三维各向同性谐振子的能级和波函数。

3??E?n?n?n?????xyz能级 nxnynz2??nx,ny,nz?0,1,2,?

?nxnynz?NnxNnyNnze??2r22Hnx(?x)Hny(?y)H

nz(?z)第三章 量子力学中的力学量

1．量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，并且要求该算符的本征函数构成完备系。 2.厄米算符A的定义：

??A?dr?*??*(A?)?dr?此为坐标表像中的表示式

厄米算符的本征值是实数。厄米算符的属于不同本征值的本征函数一定正交。 附：力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备、封闭等条件。

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3．力学量的测量值：

在力学量F的本征态中测量F，有确定值，即它的本征值； 在非F的本征态?中测量F，可能值是F的本征值。 将?(x)用算符F的正交归一的本征函数展开： ?(x)??c?nn?n(x)??c???(x)dxc则在?(x)态中测量力学量F得到结果为?n的几率为n，得到结果在????d?范围内的几

率为

c??d?。 ?

*F?n??n?n??F?????*cn ???n(x)?(x)dx,

*c?????(x)?(x)dxF???(x)F?(x)dx力学量的平均值是 或 F?

?n?ncn????c??d?附：本书中五个基本原理

（1）量子力学中态的表示 波函数 ??r,t?（2）态叠加原理： （3）定态薛定谔方程： （4）力学量与算符的关系： （5）自旋：

4． 连续谱的本征函数可以归一化为?函数。

5．简并：属于算符的某一个本征值的线性无关的本征函数有若干个，这种现象称为简并。

?算符的属于本征值简并度：F??n?的第n个本征值?n是f度的线性无关的本征函数有f个，我们称F简并。

?p6． 动量算符的本征函数(即自由粒子波函数)

??p?(???)???e??ip?r?

*? 正交归一性 p???im??????(r)?p(r)d???(p?p?)7． 角动量z分量 Lz??i???????e

?m(?)?本征函数

,m??,??,??,?

??m?Lz的本征值 Lz

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8． 平面转子（设绕z轴旋转） 课本P101 3.5题

L2H?z?2d2哈密顿量

2I??2Id?2

?im?m(?)????e,m??,??,??,?能量本征态

??能量本征值

Em?m??I

9． ?L?,Lz?有共同的本征函数 — 球谐函数Ylm??,??：

Ylm??,???(??)mNlmPml(cos?)eim?N?l?m?!??l???!lm? ???l?m?!,?l??,?,?,?;m??,??,??,?,?l??

LYlm??,???l(l??)??Ylm??,??

LzYlm??,???m?Ylm??,??1．

(r?)?V(r),?L?中心力场中，势场V,H???L?，角动量为守恒量。

10．中心力场中，定态薛定谔方程

????????? ???r?r?r?L??r??V(r)????E??

选?H,L?,Lz?为体系的守恒量完全集，其共同的本征函数为

?(r,?,?)?R(r)Ylm(?,?)

l??,?,?,?,m?l,l??,?,?l

11．氢原子 ?? E?E?e?e?n?????n????an?,n??,?,?,?a??2?e2(玻尔半径）

?nlm(r,?,?)?Rnl(r)Ylm(?,?)

能级简并度 f?n?n轨道磁矩 Me?mez????c???Bm,?B????c——Bohr（为玻尔磁子）

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