课本实验指导书

数学实验课程实验指导

实验一：MATLAB软件入门

一、 实验目的及意义

[1] 熟悉MATLAB软件的用户环境；

[2] 了解MATLAB软件的一般目的命令； [3] 掌握MATLAB数组操作与运算函数； [4] 掌握MATLAB软件的基本绘图命令；

[5] 掌握MATLAB语言的几种循环、条件和开关选择结构。 通过该实验的学习，使学生能灵活应用MATLAB软件解决一些简单问题，能借助MATLAB软件的绘图功能，对函数的特性进行探讨，广泛联想，大胆猜想，发现进而证实其中的规律。

二、实验内容

1．MATLAB软件的数组操作及运算练习； 2．直接使用MATLAB软件进行作图练习；

3．用MATLAB语言编写命令M-文件和函数M-文件。

三、实验步骤

1. 在E盘建立一个自己的文件夹;

2．开启软件平台——MATLAB，将你建立的文件夹加入到MATLAB的搜索路径中。 3．利用帮助了解函数max, min, sum, mean, sort, length，rand, size和diag的功能和用法。

4．开启MATLAB编辑窗口,键入你编写的M文件（命令文件或函数文件）； 5．保存文件（注意将文件存入你自己的文件夹）并运行； 6．若出现错误，修改、运行直到输出正确结果； 7．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

四、实验任务

基础实验

1．设有分块矩阵A??E3?3??O2?32R3?2?，其中E,R,O,S分别为单位阵、随机阵、零阵和S2?2???ER?RS?。 ?S2??0?对角阵，试通过数值计算验证A?2．某零售店有9种商品的单件进价（元）、售价（元）及一周的销量如表1.1，问哪

1

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种商品的利润最大，哪种商品的利润最小；按收入由小到大，列出所有商品及其收入；求这一周该10种商品的总收入和总利润。

表1.1 货号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 单件进价 7.15 8.25 3.20 10.30 6.68 12.03 16.85 17.51 9.30 单件售价 11.10 15.00 6.00 16.25 9.90 18.25 20.80 24.15 15.50 销量 568 1205 753 580 395 2104 1538 810 694

3.在同一个坐标下作出

y1=ex,y2=1+x,y3=1+x+(1/2)x2,y4= 1+x+(1/2)x2+(1/6)x3这四条曲线的图形，要求在图上加

各种标注，观察、发现、联想、猜想，给出验证及理论证明。

4．用subplot分别在不同的坐标系下作出下列四条曲线，为每幅图形加上标题，

1）概率曲线 y?e?x； 2）四叶玫瑰线 ?=sin2?；

23t?x?,3??1?t 3）叶形线 ?23t?y?;3?1?t?1?1?y24）曳物线 x?ln?1?y2。

y5．作出下列曲面的3维图形，

221）z?sin(?x?y)；

?x?(1?cosu)cosv,u?(0,2?)?2）环面：?y?(1?cosu)sinv, 。

v?(0,2?)?z?sinu,?6．建立一个命令M-文件：求所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，

333

其各位数字的立方和等于该数本身。例如，153是一个水仙花数，因为153=1+5+3。

7．编写函数M-文件sq.m：用迭代法求x?a的值。求平方根的迭代公式为

xn?1?1a(xn?) 2xn5

迭代的终止条件为前后两次求出的x的差的绝对值小于10?。

8. 求函数的极限、导数或积分：

exsinx?x(x?1),x?0; 1）lim(x?3)当x??时； 2）lim3xx1xx2(n),3）f(x)?；4）已知f(x)?求,求f'(x)f(0)； 2?x1?xesinx?12

x2?2x?1数学实验课程实验指导

5）已知arctgydx?lnx2?y2，求； xdye2x?z?zdx; ,画函数图； 7）?x6）z?xarctgy,求,?x?ye?29. 作出函数y=x-4x+3x+5 （x?[0,6]）的图形，用小红点在函数曲线上标出其在[0,6]

之间的最小值点，并在最小值点附近标出该最小值点的坐标值。

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3

探究实验

10．自由发挥：自己提出问题，实验探索，广泛联想，发现规律，大胆猜想。比如函数cos(1/x)在x=0附近的振荡现象，有无规律可寻？

实验二：方程及方程组的求解

一、实验目的及意义

[1] 复习求解方程及方程组的基本原理和方法； [2] 掌握迭代算法；

[3] 熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句(特别是循环、条件、控制等语句)；

[4] 了解迭代过程的图形表示，分形与混沌学科等，学会参数的灵敏度分析； [5] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程； 通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等），观察非线性方程迭代过程中产生的奇特现象——分歧与混沌，学习参数的灵敏度分析，初步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。

二、实验内容

1．方程求解和方程组的各种数值解法练习

2．直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习 3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。

三、实验步骤

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M文件 3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)；

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5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

四、实验要求与任务

基础实验

1．用图形放大法求解方程 x sin(x) = 1. 并观察该方程有多少个根。

53

2．已知方程x +5x- 2x + 1 = 0 ，（1）将其改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是否收敛，给出解释，若不收敛，将其进行改进后再迭代，比较这些迭代序列的收敛速度。（2）分别用牛顿迭代法和区间迭代法求该方程的实根。 3．求解下列方程组

(1)

(2)

直接使用MATLAB命令：solve()和fsolve()对方程组求解。

?x??2x1?x2?e1??x2???x1?2x2?e22?x12?5x2?7x3??12??3x1x2?x1x3?11x1?0?2xx?40x?01?23应用实验

4．油价与船速的优化问题

油价的上涨，将影响大型海船确定合理的航行速度，以优化航行收入。直观地，油耗的多少直接影响船速的快慢，因而直接影响航行时间的长短，进而影响支付船员人工费用数量。过去有一些经验表明：(1) 油耗正比于船速的立方；(2) 最省油航速的基础上改变20%的速度；则引起50%的油耗的变化。作为一个例子：某中型海船，每天油耗40吨，减少20%的航速，省油50%、即20吨。每吨油价250美元，由此每天减少耗油费用5000美元，而航行时间的增加将增加对船员支付的费用的增加，如何最优化?

算例：航程L=1536海里，标准最省油航速20节，油耗每天50吨，航行时间8天。最低航速10节，本次航行总收入为84600美元。油价250美元/吨，日固定开支1000美元。试确定最佳航速。

5．航空公司的预订票策略

在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。

设飞机容量为n，若公司限制只预订n张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。如果不限制订票数量，则当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，将会有乘客不能乘坐他们预订的航班，航空公司需要采取各种不同方法来应对这些乘客。有的不给予任何补偿，有的被改签后面的航班，有的给予一定赔偿金。这样，为极大化公司的经济利益，必然存在一个恰当的预订票数量的限额。

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假设已经知道飞行费用（可设与乘客人数无关）、机票价格（一般飞机满员50%_60%时不亏本，由飞行费用可确定价格）、飞机容量、每位被挤掉者的赔偿金等数据，以及由统计资料估计的每位乘客不按时前来登机的概率（不妨认为乘客间是相互独立的），建立一个数学模型，综合考虑公司经济利益（飞行费用、赔偿金与机票收入等），确定最佳的预订票数量。 1）对上述飞机容量、费用、迟到概率等参数给出一些具体数据，按你的模型计算，对结果进行分析。 2）对模型进行改进，如增设某类旅客（学生、旅游者）的减价票，迟到则机票作废。

提示：按时到达机场乘坐某航班的乘客数是一个随机变量，因此利润也是随机变量，需要给出利润的数学模型。

实验三：函数迭代

一、实验目的及意义

[1]了解迭代过程的图形表示，分形与混沌学科等，学会参数的灵敏度分析； [5] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；

通过该实验的学习，观察非线性方程迭代过程中产生的奇特现象——分歧与混沌，学习参数的灵敏度分析，初步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。

二、实验内容

1．方程求解和方程组的各种数值解法练习

2．直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习 3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。

三、实验步骤

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M文件 3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)；

5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

四、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）

基础实验

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1．迭代与分歧

对于非线性函数f(x) = ax(1 ?x)的迭代：

（1） 对于参数a分别取值于[1, 4]; [3, 4]; [3.8284, 4]，作出费根鲍图。 （2） 观察其2-周期的分裂现象，尽可能多地给出分裂出现的的参数取值。 （3） 观察其倍3-周期现象，并总结类似倍2-周期的规律。 （4） 观察其倍5-周期现象。

注意：选取同一个迭代初值，去掉前面若干项；将参数a的取值间距尽量地减小，以便于发现和总结规律。

应用实验

2．生物种群的数量问题

种群的数量（为方便起见以下指雌性）因繁殖而增加，因自然死亡和人工捕获而减少。记xk(t)为第t年初k岁（指满k-1岁，未满k岁，下同）的种群数量，bk为k岁种群的繁殖率（1年内每个个体繁殖的数量），dk为k岁种群的死亡率（1年内死亡数量占总量的比例），hk为k岁种群的捕获量（1年内的捕获量）。今设某种群最高年龄为5岁（不妨认为在年初将5岁个体全部捕获），b1=b2=b5=0，b3=2，b4=4，d1=d2=0.3，d3=d4=0.2，h1=400，

h2=200，h3=150，h4=100。

A. 建立xk(t+1)与xk(t)的关系（k=1,2,?5, t=0,1,?），如 x2(t?1)?x1(t)?d1x1(t)?h1。为简单起见，繁殖量都按年初的种群数量xk(t)计算，不考虑死亡率。

B. 用向量 x(t)?(x1(t),?x5(t))表示t年初的种群数量，用bk和dk定义适当的矩

Tx( t?1)?Lx(t)?h的形式。 阵L，用hk定义适当的向量h，将上述关系表成

C. 设t=0种群各年龄的数量均为1000，求t=1种群各年龄的数量。又问设定的捕获量能持续几年。

D. 种群各年龄的数量等于多少，种群数量x(t)才能不随时间t改变。

E. 记D的结果为向量x*, 给x* 以小的扰动作为x(0)，观察随着t的增加x(t)是否趋于x*, 分析这个现象的原因。

3．遗传模型

孟德尔(Mendel)第一定律：配子的基因是从其父倍的两个基因型中随机地选择的。 实际应用中，将比例作为概率：Pk(A)=Prob{AA或Aa}; Pk(a)=Prob{aa}，并记Xk=Pk(a)。得到如下遗传模型：

1) 致死基因遗传模型：Xk+1=

Xk。讨论Xk的变化趋势。

1?Xk(??1)Xk2?Xk2) 自然选择基因遗传模型：Xk+1=。其中：?=r1/r2。r1和r2分别表示21?(??1)Xk在总人口数量中，新生儿基因为(AA或Aa)和(aa)所占的比例。对不同的? 取值，讨论Xk的变化趋势，选取初值：X0=0.9。

3) 突变基因遗传模型：Xk+1=(1??)Xk+?。其中：?为A突变为a的概率(比例一般为：5 6

10??10?)。对不同的?讨论Xk的变化情况? 考虑初值X0=0.1。

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探究实验

4．迭代与分形

2

（1） 对于非线性函数f(z) = z ? 1，在复数平面上迭代过程：作出其迭代有界的初值点集，就是所谓的Julia集。

注意：迭代产生的（复数）数列可能有界，也可能无界，这完全依赖于迭代初值的选取。初值可以在整个复平面上任意选取。我们可以根据初值产生的迭代数列有界与否，将复平面上的点划分为两类：其中之一称为“迭代有界初值点集”，用实心黑点代表这些点，观察其几何形状，特别是其边缘的几何性质。

2

（2） 对于非线性函数f(z) = z+ c，参数c在复平面取值。对于每一个复数平面上的参数值，迭代产生的Julia集（迭代有界的初值点集）可能连通，也可能不连通。其中Julia集连通的参数取值的集合，就是所谓的Mandelbrot集。

具体地：对参数c的一个取值，例如c = ?1，可以得到一个Julia集，这个点集可能连通，也可能不连通。由于参数c的取值范围是整个复数平面，因此，参数c取值的复平面就可以根据迭代有界初值点集连通与否划分为两类。其中之一称为“Julia集连通的参数点集”，用实心黑点表示这些点，观察其几何形状，特别是其边缘的几何性质。

提示：快速确定Mandelbrot集的方法：对于一个c，如果迭代对初值z = 0，产生的迭代数列是有界的，那么这个c就是属于Mandelbrot集的。 5．迭代与混沌

使用牛顿方法求解非线性方程，自然希望找到好的初始点，能够快速地收敛到某个特定的根。根是一个吸引子，相应有一个该吸引子的控制域（收敛到该吸引子的初值范围）。利用计算机可以很方便地作出所有的吸引子与其控制域的图形，加上那些不是任何一个控制域的点，就构成了整个初值空间。这样的图形，不妨称为初值空间谱图。

（1） 对于用牛顿方法，只求实数根，作出初值空间谱图，当然应该是一维的。 （2） 对于用牛顿方法求所有根，也就是包括复数根，初值可以是任何一个复数，其初值空间谱图是二维的。试作出其初值空间谱图。

（3） 对问题2，作出彩色的初值空间谱图。注：用彩色替代黑色的点的方法是：不同的（吸引子的）控制域用不同颜色，并用颜色的暗淡（不同强度）表示收敛速度（指牛顿算法以此点为初值的迭代过程的收敛快慢程度）。可以先想一想，这个图色彩形状如何？五彩缤纷、千奇百怪、还是平淡无奇，很难想到，除非你自己亲自动手！

注意：可以采用如下两个方程进行实践：

实验四：常微分方程的求解与定性分析

一、实验目的及意义

[1] 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；

[2] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [3] 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；

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[4] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；

通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。

二、实验内容

1． 微分方程及方程组的解析求解法；

2． 微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法；

3． 直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)； 4． 利用图形对解的特征作定性分析；

5． 建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。

三、实验步骤

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2．根据微分方程求解步骤编写M文件 3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)；

5．根据观察到的结果和体会写出实验报告。

四、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）

基础实验

1．求微分方程的解析解, 并画出它们的图形， y’= y + 2x, y(0) = 1, 0

y’’+ycos(x) = 0, y(0)=1, y’(0)=0;

2．用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y’= y - 2x/y, y(0) = 1 (0≤x≤1,h = 0.1) 的数值解，要求编写程序，并比较两种方法的计算结果，说明了什么问题？ 3.Apollo卫星的运动轨迹的绘制

?(x??)?(x??1) ????x?13x?2y?,3rr 12

探究实验

????y?y??2x?1yr31??yr32,??1/82.45,?1?1??,r1?(x??)2?y2,r2?(x??1)2?y2?(0)?0,y(0)?0,y?(0)??1.04935751x(0)?1.2,x8

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4．Rossler微分方程组：

?x'??y?z?

?y'?x?ay当固定参数b=2, c=4a由小到大变化（如a∈(0,0.65))而方?z'?时，试讨论随参数b?z(x?c)?程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？

应用实验

5．盐水的混合问题 一个圆柱形的容器，内装350升的均匀混合的盐水溶液。如果纯水以每秒14升的速度从容器顶部流入，同时，容器内的混合的盐水以每秒10.5升的速度从容器底部流出。开始时，容器内盐的含量为7千克。求经过时间t后容器内盐的含量。

6．老鼠觅食

有一个连续的很多个小老鼠笼子（正方形），它们首尾相连。在其前后两边的中央都开有一个洞，可供老鼠自由进出。并在右边放置鼠粮，左边未放鼠粮。老鼠在笼子里面只能够沿着笼子边沿（正方形的四条边）沿左边或从右边向前通过。沿左边则吃不到鼠粮，只有沿右边才能够吃到鼠粮。在每个鼠笼子里，老鼠随机地选择左右之一向前行进。

1)奖励型：如果老鼠沿右边吃到鼠粮后，则下次将毫不犹豫地沿右边，如果沿左边未吃到鼠粮，则下次将以1?? 的概率向左。

2)奖惩兼顾型：如果向右吃到鼠粮后，则下次向右的概率为1??；如果向左未吃到鼠粮，则下次向左的概率为1??。

就这两种情况，分别建立并求解老鼠在第n次进入鼠笼子时向右能够吃到鼠粮的概率。 并考察其无穷趋势。

7．两种生物种群竞争模型

两种相似的群体之间为了争夺有限的同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时，往往是竞争力较弱的种群灭亡，而竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。假设有甲、乙两个生物种群，当它们各自生存于一个自然环境中，均服从 Logistic 规律。

1）x1(t), x2(t)是两个种群的数量； 2）r1, r2是它们的固有增长率； 3）n1, n2是它们的最大容量；

4）m2(m1)为种群乙(甲)占据甲(乙)的位置的数量，并且 m2=αx2; m1=βx1。计算x1(t),

x2(t), 画出图形及相轨迹图。解释其解变化过程。

5）改变r1, r2, n1, n2, x0, y0, 而α1，α2不变，计算并分析结果；若α1=1.5，α2=0.7，再分析结果。由此能得到什么结论。

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实验五：插值方法

一、实验目的及意义

[1] 了解插值的基本原理

[2] 了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想； [3] 了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；

[4] 掌握用MATLAB计算三种一维插值和两种二维插值的方法； [5] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；

通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。提高写作、文字处理、排版等方面的能力。

二、实验内容

1．编写拉格朗日插值方法的函数M文件；

2．用三种插值方法对已知函数进行插值计算，通过数值和图形输出，比较它们的效果；3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。

三、实验步骤

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M文件 3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)；

5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

四、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）

基础实验

1. 一维插值

利用以下一些具体函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。 （1）

1，x?[-5,5]； （2）sinx, x?[0,2?]; 21?x（3）cosx, x?[0,2?]．

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注意：适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。

2．高维插值

对于二维插值的几种方法：最邻近插值、分片线性插值、双线性插值、三次插值等，利用如下函数进行插值计算，观察其插值效果变化，得出什么结论？

10

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(1) f(x,t)?sin??(t?px)?，参数p=1/2000~1/200；采样步长为：t=4ms~4s；x=5~25m. (2) f(x,y)?3?16??16??16??16??sin?x????sin2?x????sin?y????sin2?y??? 10?15??15??15??15?参数? =1~2；x,y ? [?1,1]。

(3) 将（2）中的函数推广到三维情形，进行同样的处理，体会高维插值的运用。

应用实验

3．几何物理中的插值问题 采用适当的方法求解下列问题：

（1）轮船的甲板成近似半椭圆面形，为了得到甲板的面积。首先测量得到横向最大相间8.534米；然后等间距地测得纵向高度，自左向右分别为：

0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073， 计算甲板的面积。

（2）物体受水平方向外力作用，在水平直线上运动。测得位移与受力如表5.1

表5.1 X F 0 20 0.1 21 0.2 21 0.3 20 0.4 19 0.5 18.5 0.6 18.0 0.7 13.5 0.8 9 0.9 4.5 1.0 0 求(a) 物体从位移为0到0.4所做的功； (b) 位移为0.4时的速度是多少？

(3)火车行驶的路程、速度数据如表5.2，计算从静止开始20 分钟内走过的路程。

表5.2 t(分) v(km/h) 2 10 4 18 6 25 8 29 10 32 12 20 14 11 16 5 18 2 20 0 （4） 确定地球与金星之间的距离

天文学家在1914年8月份的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取其常用对数值，与日期的一组历史数据如表5.3。

表5.3 日期（号） 18 20 22 24 26 28 30 距离对数 9.9617724 9.9543645 9.9468069 9.9390950 9.9312245 9.9231915 9.9149925 由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.9351799？

4．社会经济中的插值问题

(1) 日照时间分布表5.4的气象资料是某一地区1985-1998年间不同月份的平均日照时间

的观测数据（单位：小时/月），试分析日照时间的变化规律。

表5.4 月份 日照 1 80.9 2 67.2 3 67.1 4 50.5 5 32.0 6 33.6 7 36.6 8 46.8 9 52.3 10 62.0 11 64.1 12 71.2

(2) 山区地貌图 在某山区（平面区域（0，2800）?（0，2400）内，单位：米）测得一些地点的高程（单位：米）如表5.5，试作出该山区的地貌图和等高线图。

表5.5

2400 2000 1600 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 11

数学实验课程实验指导

1200 800 400 0 Y/X 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800

实验六：数据拟合

一、实验目的及意义

[1] 了解最小二乘拟合的基本原理和方法；

[2] 掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；

[3] 通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意与插值方法的区别。 [4] 了解各种参数辨识的原理和方法；

[5] 通过范例展现由机理分析确定模型结构，拟合方法辨识参数，误差分析等求解实

际问题的过程；

通过该实验的学习，掌握几种基本的参数辨识方法，了解拟合的几种典型应用，观察不同方法得出的模型的准确程度，学习参数的误差分析，进一步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。

二、实验内容

1．用MATLAB中的函数作一元函数的多项式拟合与曲线拟合，作出误差图；

2．用MATLAB中的函数作二元函数的最小二乘拟合，作出误差图； 3．针对预测和确定参数的实际问题，建立数学模型，并求解。

三、实验步骤

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M文件 3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)；

5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

四、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）

12

数学实验课程实验指导

应用实验

1． 旧车价格预测

某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中xi表示轿车的使用年数，yi表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？

表6.1

xi yi 1 2615 2 1943 3 1494 4 1087 5 765 6 538 7 484 8 290 9 226 10 204

2． 经济增长模型

增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系。在科学技术发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的。

用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系Q(K,L)。经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：

Q(K,L) = aKαLβ， 0<α,β<1 （*）

式中α,β，a要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（*）中的参数α,β，a。

表6.2

t Q K L 1900 1.05 1.04 1.05 1901 1.18 1.06 1.08 1902 1.29 1.16 1.18 1903 1.30 1.22 1.22 1904 1.30 1.27 1.17 1905 1.42 1.37 1.30 1906 1.50 1.44 1.39 1907 1.52 1.53 1.47 1908 1.46 1.57 1.31 1909 1.60 2.05 1.43 1910 1.69 2.51 1.58 1911 1.81 2.63 1.59 1912 1.93 2.74 1.66 1913 1.95 2.82 1.68 t Q K L 1914 2.01 3.24 1.65 1915 2.00 3.24 1.62 1916 2.09 3.61 1.86 1917 1.96 4.10 1.93 1918 2.20 4.36 1.96 1919 2.12 4.77 1.95 1920 2.16 4.75 1.90 1921 2.08 4.54 1.58 1922 2.24 4.54 1.67 1923 2.56 4.58 1.82 1924 2.34 4.58 1.60 1925 2.45 4.58 1.61 1926 2.58 4.54 1.64

提示：由于（*）式对参数α,β，a是非线性的，因此，可以有两种方式进行拟合，一是直接使用MATLAB软件中的曲线或曲面拟合命令。另一个是将非线性函数转化成线性函数的形式，使用线性函数拟合。

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实验七：回归分析

一、实验目的及意义

[1] 学习回归分析的统计思想和基本原理；

[2] 掌握建立回归模型的基本步骤，明确回归分析的主要任务； [3] 熟悉MATLAB软件进行回归模型的各种统计分析；

[4] 通过范例学习，熟悉统计分析思想和建立回归模型的基本要素。

通过该实验的学习，使学生掌握回归分析的统计思想，认识面对什么样的实际问题可以建立回归模型，并且对回归模型作统计分析，同时使学生学会使用MATLAB软件进行回归分析和计算的基本命令，了解统计软件的功能和作用。熟悉处理大量数据的要领和方法是本科生重要的必备知识，具有十分重要的意义。

二、实验内容

1．多元线性回归模型的建立与分析步骤(问题假设→模型→参数估计→模型检验→确定最优回归方程→预测)；

2．非线性回归模型的建立与分析步骤；

3．使用MATLAB命令对回归模型进行计算与分析(包括模型检验与预测)； 4．利用某些数值与图形对统计特征作定性分析。

三、实验步骤

1． 开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2． 打开其它数据存放的软件平台，如excel、txt等软件； 3． 在matlab平台上调用数据文件；

4．根据问题和数据，建立的线性（或非线性）回归模型，并编写统计分析的M文件； 5．保存文件并运行；

6．观察运行结果(数值或图形)；

7．根据观察到的结果和体会，写出实验报告。

四、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）

应用实验

1、确定企业年设备能力与年劳动生产率的关系 某市电子工业公司有14个所属企业，各企业的年设备能力与年劳动生产率统计数据如表7.1。试分析企业年设备能力与年劳动生产率的关系。若该公司计划新建一个设备能力为9.2千瓦/人的企业，估计劳动生产率将为多少？

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表7.1

企业 1 2 3 4 5 6 7 设备能力 (千瓦/人） 2.8 2.8 3.0 2.9 3.4 3.9 4.0 劳动生产率 (千元/人) 6.7 6.9 7.2 7.3 8.4 8.8 9.1 企业 8 9 10 11 12 13 14 设备能力 (千瓦/人） 4.8 4.9 5.2 5.4 5.5 6.2 7.0 劳动生产率 (千元/人) 9.8 10.6 10.7 11.1 11.8 12.1 12.4

2、某公司出口换汇成本分析

对经营同一类产品出口业务的公司进行抽样调查, 被调查的13家公司,其出口换汇成本与商品流转费用率资料如表7.2。试分析两个变量之间的关系,并估计某家公司商品流转费用率是6.5%的出口换汇成本。

表7.2

公司 1 2 3 4 5 6 7 出口换汇成本 人民币元/美元 1.40 1.20 1.00 1.90 1.30 2.40 1.40 商品流转费 用率(%) 4.20 5.30 7.10 3.70 6.20 3.50 4.80 公司 8 9 10 11 12 13 出口换汇成本 人民币元/美元 1.60 2.00 1.00 1.60 1.80 1.40 商品流转费 用率(%) 5.50 4.10 5.00 4.00 3.40 6.90

3、某建筑材料公司的销售量因素分析

表7.3中的数据是某建筑材料公司去年20个地区的销售量（Y，千方），推销开支、实际帐目数、同类商品竞争数和地区销售潜力分别是影响建筑材料销售量的因素。1）试建立回归模型，且分析哪些是主要的影响因素。2）建立最优回归模型。

表7.3

地区i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 推销开支(x1) 5.5 2.5 8.0 3.0 3.0 2.9 8.0 9.0 4.0 6.5 5.5 5.0 6.0 5.0 3.5 8.0 6.0 4.0 7.5 7.0 实际帐目数(x2) 31 55 67 50 38 71 30 56 42 73 60 44 50 39 55 70 40 50 62 59 同类商品竞争数(x3) 10 8 12 7 8 12 12 5 8 5 11 12 6 10 10 6 11 11 9 9 地区销售潜力(x4) 8 6 9 16 15 17 8 10 4 16 7 12 6 4 4 14 6 8 13 11 销售量 Y 79.3 200.1 163.2 200.1 146.0 177.7 30.9 291.9 160.0 339.4 159.6 86.3 237.5 107.2 155.0 201.4 100.2 135.8 223.3 195.0 15

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实验八：线性规划

一、实验目的及意义

[1] 学习最优化技术和基本原理，了解最优化问题的分类； [2] 掌握线性规划的建模技巧和求解方法； [3] 学习灵敏度分析问题的思维方法；

[4] 熟悉MATLAB软件求解线性规划模型的基本命令；

[5] 通过范例学习，熟悉建立线性规划模型的基本要素和求解方法。

通过该实验的学习，使学生掌握最优化技术，认识面对什么样的实际问题，提出假设和建立优化模型，并且使学生学会使用MATLAB软件进行线性规划模型求解的基本命令，并进行灵敏度分析。解决现实生活中的最优化问题是本科生学习阶段中一门重要的课程，因此，本实验对学生的学习尤为重要。

二、实验内容

1．最优化问题的提出，提出不同的假设可以建立不同的最优化模型； 2．建立线性规划模型的基本要素和步骤；

3．使用MATLAB命令对线性规划模型进行计算与灵敏度分析； 4．利用优化数值解与图形解对最优化特征作定性与定量分析；

三、实验步骤

1．开启MATLAB软件平台，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据问题，建立的线性规划模型，并编写求解规划模型的M文件； 3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)，并不断地改变参数设置观察运行结果； 5．根据观察到的结果和体会，写出实验报告。

四、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）

应用实验

1、两种面包产品的产量配比问题

田园食品公司生产的面包很出名。他们生产两种面包：一种是叫“唐师”的白面包，另一种是叫“宋赐”的大黑面包。每个唐师面包的利润是0.05元，宋赐面包是0.08元。两种面包的月生产成本是固定的4000元，不管生产多少面包。

该公司的面包生产厂分为两个部：分别是烤制和调配。

烤制部有10座大烤炉，每座烤炉的容量是每天出140台，每台可容纳10个唐师面包

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数学实验课程实验指导

或5个更大的宋赐面包。可以在一台上同时放两种面包，只需注意宋赐面包所占的空间是唐师面包的两倍。

调配部每天可以调配最多8000个唐师面包和5000个宋赐面包。有两个自动调配器分别用于两种面包的调配而不至于发生冲突。

田园公司决定找出这两种面包产品的最佳产量配比，即确定两种面包的日产量，使得在公司面包厂的现有生产条件下利润最高。

2、运动员营养配餐

每种食品含有特定种类和比例的营养成份，从医学上也知道每人每天对每种营养成份的最低需求量。梦逑足球俱乐部的食堂总管，想拟定一个科学的食品日采购计划，使得既完全保障球员的营养需要，又费用最低。

假设：

1）在指定的季节或时期，可能购得的食品总数为n. 2）球员所需的营养成份种类总数为m. 3）第j种食品的第i种营养成份含量为aij (克/公斤) (i=1,2,?,m; j=1,2, ?,n). 4）每个球员每天对第i种营养成份的最低需求量为bi (克) (i=1,2, ?,m). 5）第j种食品的单价为cj (元) (j=1,2,?,n).

6）每天平均为每人购买第j种食品xj (公斤) (i=1,2,?,n). 则，每天为每人提供的n种食品中含第i种营养成份的总量为∑j=1 to naijxj (i=1,2,?,m), 相应的食品购买费用为∑j=1 to ncjxj , 于是这一问题的数学模型如下：

求一组变量的值使得

∑j=1 to naijxj ? bi (i=1,2,?,m) (满足人的营养最低需求量) xj ?0 (j=1,2,?,n) (食品购买量不能为负) min ∑j=1 to ncjxj (费用最少) 试自己寻找或拟定具体数据并求解。

3、投资策略

某部门现有资金10万元，五年内有以下投资项目可供选择： 项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；

项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元； 项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元； 项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%； 问如何确定投资策略使第五年末本息总额达最大？ 4．运输问题

从Toronto和Detroit两市分别有两批货物途径Chicago和Buffalo最 终到达New York、Phila.和St.louis市.之间的路线表述如图8.1:

Transshipment

SourceDestinationPoint

New

York 5 ChicagoToronto31 Phila.

6Detroit2Buffalo4图8.1 货物运输路线

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St. louis7数学实验课程实验指导

其中Toronto和 Detroit 分别有600和500的货物需要运出,New York、Phila. 和St.louis的货物需求分别是450、350和300.每一段上的运输单价如表1和表2。问：如何进行运输安排使整个的运输费用最少？试建立问题的数学模型并求出最优解。

表1 第一段的运输单价

From Toronto Detroit Chicago $4 $ 5

表2 第二段的运输单价

From Chicago Buffalo Demand New York $3 $ 1 450 To Phila. $ 2 $ 3 350 St.louis $ 2 $ 4 300 To Buffalo $ 7 $ 7 Supply 600 500

实验九：非线性规划

一、实验目的及意义

[1] 学习非线性规划模型的标准形式和建模方法； [2] 掌握建立非线性规划模型的基本要素和求解方法； [3] 熟悉MATLAB软件求解非线性规划模型的基本命令；

[4] 通过范例学习，了解建立非线性规划模型的全过程，与线性规划比较其难点何在。 通过该实验的学习，使学生掌握最优化技术，认识面对什么样的实际问题，提出假设和建立优化模型，并且使学生学会使用MATLAB软件进行非线性规划模型求解的基本命令，并进行灵敏度分析。解决现实生活中的最优化问题是本科生学习阶段中一门重要的课程，因此，本实验对学生的学习尤为重要。

二、实验内容

1．建立非线性规划模型的基本要素和步骤；

2．熟悉使用MATLAB命令对非线性规划模型进行计算与灵敏度分析； 3．学会计算无约束优化问题和有约束优化问题的技巧。

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数学实验课程实验指导

三、实验步骤

1．开启MATLAB软件平台，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据问题，建立非线性规划模型，并编写求解规划模型的M文件； 3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)，并不断地改变参数设置观察运行结果； 5．根据观察到的结果和体会，写出实验报告。

四、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）

基础实验

1、求解无约束优化

1) 画出该曲面图形, 直观地判断该函数的最优解;

minf(x1,x2)??20e?0.2s..t

220.5(x1?x2)?e0.5(cos(2?x1)?cos(2?x2))?22.713?5?xi?5,i?1,22) 使用fminunc命令求解, 能否求到全局最优解? 2、求解非线性规划试判定你所求到的解是否是最优?

20.201x14x2x3maxz?107s..t675?x12x2?02x12x30.419?7?0100?x1?36,0?x2?5,0?x3?125应用实验

3、资金最优使用方案

设有400万资金,要求4年内使用完,若在一年内使用资金x万元,则可以获得效益 万元(效益不能再使用). 当年不用的资金可存入银行,年利率为10%, 试制定出这笔资金的实用方案,以使4年的经济效益为最大.

4、车间的优化布局

随着经济形势的发展, 制造业的竞争逐步从规模竞争、质量竞争转向速度竞争，缩短从订货到交货的周期是赢得市场的首要因素。据统计，在一个产品中，等待的时间占的比例达到90%以上，真正用于产品加工的实践所占的比例很小，其中车间物流流动的时间是影响效率的主要因素之一。因此需要改变车间内设备的布局，使设备尽可能按照产品的工艺流程顺序布置，可以有效地减少搬运时间和降低生产成本。从数学的角度看，设备布局优化问题属于非线性规划问题，由于约束较多，对规模较大的问题，将很难找到最优解。遗传算法可以解决这个问题。下面是一个算例，试建立模型，并给出布局方案。

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数学实验课程实验指导

车间大小(5m×5m)，放置5台设备，工件在各设备间的传输次数如下： m1 m2 m3 m4 m5

0 572 1559 157 0

15 0 26 0 2 6 54 0 64 36 0 14 37 0 38

7 4 0 22 0 设备的尺寸(单位：m)

m1 m2 m3 m4 m5 3×3 1×0.8 1.5×0.8 1.5×0.8 0.8×0.7 dxij = 0.8, dyij = 0.5

实验十：计算机模拟

一、实验目的及意义

[1] 学习连续系统和离散系统的计算机模拟建模思想； [2] 掌握连续和离散系统的计算机模拟的基本方法； [3] 熟悉MATLAB软件编程的基本命令；

[4] 通过范例学习，初步了解计算机仿真技术。

通过该实验的学习，使学生掌握利用计算机技术对连续系统和离散系统进行模拟，了解计算机模拟技术适合于解决那些规模大、难以解析化以及不确定的数学模型，从而深刻体会计算机模拟技术在工程计算中的重要性。

二、实验内容

1． 连续系统模拟技术的基本要素和步骤； 2． 离散系统模拟技术的基本要素和步骤； 3． 熟悉使用MATLAB命令的编程要领；

三、实验步骤

1．开启MATLAB软件平台，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据问题，建立计算机模拟的数学模型，并写出算法步骤和编写M文件； 3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)，并不断地改变参数设置观察运行结果； 5．根据观察到的结果和体会，写出实验报告。

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数学实验课程实验指导

四、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）

应用实验

1、 盐水浓度问题

某水池有2000立方米的水,其中含盐2千克, 以每分钟6千克的速度向池中注入含盐率为0.5千克/立方米的盐水, 同时又以每分钟4立方米的速度从水池流出搅拌均匀的盐水. 每隔10分钟计算水池中水的体积、含盐量和含盐率, 列出一表. 从表中查出含盐量达到0.2千克/立方米时用去多少时间？

2、 定货策略问题

在物资的供应过程中, 由于到货与销售不可能做到同步、同量, 故总要保持一定的库存储备. 如果库存过多，就会造成积压浪费以及保管费用的上升；如果库存过少，会造成缺货。如何选择库存和订货策略，就是一个需要研究的问题。现要研究以下问题：

某自行车商店的仓库管理人员采取一种简单的订货策略, 当库存降低到P辆自行车时就向厂家订货Q辆, 如果某一天的需求量超过了库存量, 商店就有销售损失和信誉损失, 但如果库存量过多, 将会导致资金积压和保管费增加. 若现在已有如表10.1中的五种库存策略, 试比较选择一种策略以使花费最少. 已知该问题的条件 1） 从发出订货到收到货物需隔3天;

2） 每辆自行车保管费为0.75元/天,每辆自行车的缺货损失为1.80元/天,每次的订货

费为75元;

3） 每天自行车的需求量服从0到99之间的均匀分布; 4） 原始库存为115辆,并假设第一天没有发出订货.

表10.1

方案编号 重新订货量P辆 重新订货量Q辆 1 125 150 2 125 250 3 150 250 4 175 250 5 175 300

3、机器看管系统

一个机器看管系统，有m台机器，并由c个工人共同负责看管与修理。并假设

1）各台机器的质量相同，机器的连续运转时间相互独立且服从同一 负指数分布。平均寿命为1/v（v>0）；

2）每个工人技术相同，且修理时间相互独立并服从同一负指数分布， 平均修理时间为1/u（u>0）；

3）工人对故障机器的修理与其他机器连续运转是否正常无关，修复 后的机器其寿命分布与新的一样。

4）机器停止运转每单位时间的损失费为C1元，工人单位时间的产值 为C2元。

若机器的等待时间为E，工人总的空闲时间为F，则系统总的损失费为S=C1*E+C2*F。试求当机器数m固定时，为使系统的总损失费最小，应配备多少工人为最优？假设已知 m = 86，1/v = 500小时，1/u = 34小时，C1=3.46元/小时, C2=3.2元/小时。

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实验十一：图的模型和算法初步

一、 实验目的及意义

[1] 学习如何建立图的模型； [2] 了解图的存储结构；

[3] 掌握图的表示与矩阵表示之间的转化；

[4] 初步认识算法及其复杂性, 树立算法有效性的观点。

通过该实验的学习，使学生了解图论适合于解决那些工具描述离散问题的计算机技术对连续系统和离散系统进行模拟，了解计算机模拟技术适合于解决那些规模大、难以解析化以及不确定的数学模型，从而深刻体会图论工具在处理离散问题的重要性。

二、实验内容

1．熟悉图的矩阵表示及其运算； 2．理解可达性矩阵的基本特性；

3．熟悉使用MATLAB命令的编程要领；

三、实验步骤

1．开启MATLAB软件平台，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据问题，建立计算机模拟的数学模型，并写出算法步骤和编写M文件； 3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)，并不断地改变参数设置观察运行结果； 5．根据观察到的结果和体会，写出实验报告。

四、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）

基础实验

1．网络的可达度

可达度对于交通网络或通信网络来说非常重要，它是人员、货物或信息流动能力的直接表征，一个发达而有效的传输系统可达度较高。可达度定义为一个点到达其它点或能由其它点到达的能力的一种度量。

假设有5个站点，我们以图11.6所示的方式把它们连接起来，可按下述方法来比较它们的可达性。

22

数学实验课程实验指导

1 3 2 5 4 (a)

1 3 5 2 4 (b)

1 5 2 1 5 2 3 4 3 4 (c) (d)

图11.6

234

1） 求出图11.6中四个图的邻接矩阵A的幂矩阵A，A, A, A的i行j列元素正好是图中

k

顶点i到顶点j的长度为1的路径数，A(k=2, 3, 4)的i行j列元素呢？； 2） 图的直径d为相距最远的两顶点之间的距离，总可达矩阵为 T?k?1?Ak

d 计算图11.6的总可达矩阵，其元素的意义是什么？

3） 如何求出图11.6中四个图的距离矩阵D, D=(dij)n?n , dij为顶点i到顶点j的最短路径

的长度。每个顶点的易到达性指标为它到其余各点的距离总和，试求出每个图的最易到达顶点。

应用实验

2．交通网络的可达性

某城市计划新修建一条环线，市政部门想知道它对现有交通网络的影响以及对市区经济活动的影响。城市的交通网络如图11.7所示，每个点的人口分别为：a – 5000，b – 15000，c – 25500，d – 11100，e – 9500，f – 7000，g – 4500，h – 17500，i – 18300，j – 8700，k – 3000。假设聘请你作为顾问来评估该城市交通网可达性的变化情况。 f

d e a

b c

h g k 图11.7

i j 23

数学实验课程实验指导

你的任务是：

1） 计算现有交通网络（不包括点线）的可达性矩阵，给出最易到达的地点；

2） 如果增加这条环线，计算该交通网络（包括点线）的可达性矩阵，并给出最易到达的

地点；

3） 在可达性方面有什么改进，哪些地点的可达性增长最大。

已知商业活动较大程度地依赖于可达性级别，在市区范围的商业活动会如何？换言之，如果环线建好，城市的商业活动地点可能会有哪些？

3．田径赛的时间安排

假设某校的田径选拔赛共设六个项目的比赛，即跳高，跳远，标枪，铅球，100米和200米短跑，规定每个选手至多参加三个项目的比赛。现有七名选手报名，选手所选项目如表11.3所示。现在要求设计一个比赛日程安排表，使得在尽可能短的时间内完成比赛。

表11.3 参赛选手比赛项目表

姓 名 赵 宁 钱 虎 孙 正 李 江 杨 众 刘 平 王 跃 项目1 跳 高 跳 远 跳 高 200米 跳 远 铅 球 标 枪 项目2 跳 远 100米 200米 标 枪 铅 球 跳 高 跳 远 项目3 铅 球 铅 球 跳高 200米 100米

综合实验一：改进技术的最佳实施问题

一、实验目的及意义

[1] 学习由实际问题去建立数学模型的全过程；

[2] 训练综合应用经营管理、函数拟合和非线性规划的知识分析和解决实际问题； [3] 熟练应用matlab软件的优化工具箱、函数拟合等功能，设计matlab程序来求解其

中的数学模型；

[4] 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力； [5] 培养团结协作的精神。 通过多人合作完成该实验，学习如何分工合作，学习如何从模糊而不太精确的信息中，经查阅资料、分析和讨论，弄清受制约的因素，与其他方面之间的关系，各种可行方案，特别要弄清要达到的目标，以及公司现阶段的总体经营目标和策略。学习在做出对任务及其目标的精确陈述的基础上，建立数学模型，确定求解方法求出结果，对模型及结果进行检验。这对于培养团队精神，提高学生综合处理问题的能力是很有意义的。

二、 实验内容

1. 数学建模的基本要素和步骤； 2. 函数拟合与优化技术的灵活应用；

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数学实验课程实验指导

3． 熟悉使用MATLAB语言的编程要领；

三、实验步骤

1．归纳提炼问题，给出简练而精确的问题重述； 2．根据问题的条件和要求作出合理假设； 3．建立函数拟合与优化模型；

4．编写M文件,保存文件并运行观察运行结果(数值或图形)，并进行误差分析和灵敏度分析；

5．分析模型的优缺点，提出改进思路，进一步还可实现对模型的改进思路； 6．写出论文。

四、实验要求与任务

学生2——3人自由组合解决下述问题，写出论文，论文应包括：1）摘要（300字左右）；2）问题的重述3）模型假设及符号说明；4）问题的分析及模型的设计（可设计多个模型）；5）求解方法、结果的分析和检验；6）模型的优缺点及改进方向；7）作为附录附上必要的计算机程序。

改进技术的最佳实施问题

维那高技术研究所是开发军用光学仪器的机构。它所属的公司也生产民用照相机，该研究所开发了一种新的军用数字技术被允许商用。公司对新老两种类型的相机拥有专利，老型号为W100，新型号为W200X。公司计划将它现有的工厂升级，以便能生产W200X型的相机。

公司现在拥有三个生产企业，都生产普通的W100型相机。这些企业需要一定费用才能升级（技术革新和工人培训）。工人数和升级费用如下：

工厂 工人数 升级费 Gotham 30 $100,000 Bludhaven 40 $175,000 Metropolis 60 $200,000

Gotham离维那高技术研究所很近，Metropolis是最新最大的工厂。升级涉及到添置新机器，机器改造和工人培训。升级过程要花一个星期，在此期间，工厂将停产。一旦工厂升级，将能生产两类相机。升级只在一个月的第一个星期进行。

公司在过去几个月进行了大量市场调研，W100型相机现在的批发价为$50，他们对W200X新型相机的需求进行了预测，收集到以下每种相机一个月需求随价格变化的数据：

W100： 价格 需求量 W200X：价格 需求量 30 15850 40 27000 50 11300 75 16500 60 9350 95 12100 75 6650 125 5400 100 1950 150 2950 市场部现在用一个线性模型来表示这个价格—需求关系。

公司现在是以$15/小时付给工人工资，工厂一个星期运作40小时。由于合同的关系，工人数不能改变。一个W100型相机的零件成本为$5，需要1.5人小时的工作量；一个W200X

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型相机的零件成本为$8，需要1.75人小时的工作量。这些费用是原材料费用的平均值，它也包括从精密相机零件和镜头到组装，测试和包装全过程的费用。另外，每个相机还利用大量由维那计算机工业公司提供的计算机芯片，芯片的费用已包括在材料费中了。每个W100型相机要用两个老芯片，每个W200X型相机要用两个新芯片，维那计算机工业公司按照下列生产方程来提供这些芯片：

8*老芯片数+3*新芯片数?100,000/月

公司老板想知道下一个月可达到的最大利润，在下个月的第一周几个工厂升级，每种相机的产量和定价。他想在引入新的生产线后得到尽可能高的利润。他的指导思想是让生产与需求相适应，使手上的发明尽量少，反对由于会有额外的费用，把任何有意义的发明束之高阁。

两位副总裁提出了他们各自的观点。瑞克认为只让Gotham厂升级，这样可使新技术离研究基地近，减少不可预期的问题，公司慢慢向新技术过渡。他建议优先保证这个新工厂的材料，制造尽量多（不超过需求）的新相机。凯尔则比较激进，想让所有工厂都立即升级，她认为最初的投入可使他们以引人注目的方式导出新产品，打好一个坚实的基础以保持成功。一旦所有工厂都升级，她建议建立在剩余时间内产品的最佳搭配。

假设你是决策部的成员，你必须研究每一个提案，包括你自己的提案至少一个，总裁希望你基于你的研究推荐一个你认为最好的方案，他也关注非货币损失和利益。你的报告应包括问题陈述，方案（至少三个）的模型和分析，寻求最佳策略的方法，问题的详细解答，结果的分析。

综合实验二：人口增长模型及其数量预测

一、实验目的及意义

[1] 学习由实际问题去建立数学模型的全过程；

[2] 训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题； [3] 应用matlab软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab程序来求解

其中的数学模型；

[4] 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力；

通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。

二、实验内容

1．数学建模的基本方法；

2．查阅资料理解Malthus人口指数增长模型和Logistic模型； 3. Matlab软件中曲线拟合函数的异常情况处理； 4．误差分析与模型检验。

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三、实验步骤

1．分析理解Malthus人口指数增长模型和Logistic模型； 2．利用Matlab软件求解上述两个模型； 3．设计数据拟合方法；

4．编写M文件,保存文件并运行观察运行结果(数值或图形)，并进行误差分析； 5．利用至少两种模型预测人口数量； 6．分析、整理和总结，写出实验报告。

四、实验要求与任务

学生2——3人自由组合解决下述问题，从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示：

表综2.1

年 份 6人口(×10) 年 份 6人口(×10) 年 份 6人口(×10) 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 1930 1940 1950 1960 1970 1980 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5

用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔

萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。 提示1：Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r。记时刻t的人口为x(t），（即x(t）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x0，于是得到如下微分方程：

?dx??rx ?dt??x(0)?x0提示2：阻滞增长模型（或Logistic模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作

用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x的减函数，如设r(x)=r(1-x/xm)，其中r为固有增长率(x很小时)，xm为人口容量（资源、环境能容纳的

x?dx?rx(1?)?xm最大数量），于是得到如下微分方程：?dt?x(0)?x0?27

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综合实验三：River-bay 系统水污染问题

一、实验目的及意义

[1] 学习由实际问题去建立数学模型的全过程； [2] 综合应用数学模型、高等数学、微分方程以及河流污染的知识建立河湾中水污染状

况的数学模型； [3] 熟练应用matlab软件求微分方程数值解和解析解的功能，设计matlab程序来求解

其中的数学模型；

通过该实验，学习如何根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的理想化假设，并根据假设建立数学模型的方法。加强对数学概念的实际意义和实际问题的数学描述的训练，培养对事物的洞察力和判断力都是很有意义的。

二、实验内容

1．数学建模的基本要素和步骤；

2．用Matlab软件求微分方程的数值解和精确解； 3．分析微分方程解的性态及其实际意义。

三、实验步骤

1．归纳提炼问题，给出简练而精确的问题重述； 2．根据问题的条件和要求作出合理假设； 3．建立微分方程模型；

4．编写M文件,保存文件并运行观察运行结果(数值或图形)；

5．分析模型的优缺点，提出改进思路，进一步还可实现对模型的改进思路； 6．写出论文。

四、实验要求与任务

学生2——3人自由组合解决下述问题，写出论文，论文应包括：1）摘要；2）问题的重述3）模型假设及符号说明；4）问题的分析及模型的设计；5）求解方法、结果的分析和检验；6）模型的优缺点及改进方向；7）作为附录附上必要的计算机程序。

River-bay 系统水污染问题

一条河流和河湾与大湖相连，位于湾上游的小河是造成湾污染的主要因素，另有一座铝厂恰好建在湾旁,也造成污染。当湾中污染物平均浓度达到1.6mg/l时，铝厂将被迫暂时关闭。假使该湾的容量为4,000,000公升， 流入和流出河湾的水流速度均为40,000公升/天，若当前该河湾水中的污染物浓度为0.8mg/l，河水中污染物的浓度为0.5mg/l。要求

1） 建立湾中水污染状况的模型；

2） 计算30天后该河湾水的污染物浓度；

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3） 该河湾水的污染物浓度是否能达到一个稳定值？ 4） 如将4,000,000mg污染物瞬间排入河水中，求铝厂最多在多长时间之后必须关闭； 5） 列出并讨论影响河湾污染的模型中未考虑到的因素至少四种。

综合实验四：炮弹发射角的确定

一、实验目的及意义

[1] 学习由实际问题去建立数学模型的过程； [2] 训练综合应用物理学、解析几何、高等数学和微分方程的知识分析和解决实际问题； [3] 熟练应用matlab软件的作图，方程求解，微分方程求解等功能来求解其中涉及的

数学问题；

[4]提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力

通过该实验，学习如何灵活应用力学、运动学及数学的知识建立数学模型，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想。这对于学生深入理解数学、物理概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。

二、实验内容

1．建立两种描述炮弹发射轨迹的数学模型（忽略和考虑空气阻力两种情况）； 2．用Matlab软件求解方程和微分方程； 3．结合实际对解的合理性进行分析。

三、实验步骤

1．建立描述在忽略空气阻力情况下炮弹发射轨迹的数学模型； 2．借助Matlab软件，用图形放大法和迭代法求解方程组模型； 3．建立描述在考虑空气阻力情况下炮弹发射轨迹的数学模型； 4．编写Matlab程序,求解第二个模型； 5．结合实际对解的合理性进行分析；

6．编写动态模拟炮弹发射过程的Matlab程序； 7．分析、整理和总结，写出实验报告。

四、实验要求与任务

学生2——3人自由组合解决下述问题，写出论文，论文应包括：1）摘要；2）问题的重述3）模型假设及符号说明；4）问题的分析及模型的设计；5）求解方法、结果的分析和检验；6）模型的优缺点及改进方向；7）作为附录附上必要的计算机程序。

炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为 200 m/s，问要击中水平距离360m、垂直距离160m 的目标，当忽略空气阻力时，发射角应多大？此时炮弹的运行轨迹如何？试进行动态模拟。

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进一步思考：如果要考虑水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为 0.1（1/s），结果又如何？此时炮弹的运行轨迹如何？试进行动态模拟。

综合实验五：拓展实验

一、实验目的及意义

通过该实验，对某些数学中的现象用直观的图形来展现，深入观察，去体会数学中有关理论的基本思想和典型方法，从而加深对数学中抽象概念的感性认识。启发学生的灵感，促进学生观察思考、发现问题和解决问题，培养主动求索的良好习惯和兴趣。

二、实验内容

1．提出问题，实际问题或数学中的奇特现象； 2．研究、探讨所提出的问题和现象。

三、实验步骤

1．提出问题；

2．若是实际问题，则建立模型，构建算法，编写程序，给出结论。若是数学中的奇特

现象，则借助Matlab软件和数学知识对该现象进行多方面的展示，仔细观察、思考和研究，找出规律。

3．分析、整理和总结，写出实验报告。

四、实验要求与任务

自由发挥，比如可以自己提出实际问题，建立模型，构建算法，给出结论。也可以是对数学中的奇特现象的探讨，如对函数的特性、迭代、分形与混沌现象进行一些实验，观察并找出一些规律。

综合实验六：开采沙子

一、实验目的及意义

[1] 学习由实际问题去建立数学模型的全过程；

[2] 训练综合应用数学模型、二维插值、数值积分的知识分析和解决实际问题； [3] 应用matlab软件做二维插值、数值积分、作图等功能，设计matlab程序来求解其

中的数学模型；

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mhpp.html